Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $B^{\prime }D$ cắt mặt phẳng $(ABCD)$ tại $D$. Vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B$ là hình chiếu vuông góc của $B^{\prime }$ trên $(ABCD)$, do đó $BD$ là hình chiếu của $B^{\prime }D$ trên $(ABCD)$. Vậy góc giữa $B^{\prime }D$ và $(ABCD)$ là góc $B^{\prime }DB$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $SAB$ cân tại $A$ ($SA=AB$, vì $SA\perp AB$ và tam giác vuông tại $A$ không thể cân tại $S$ hay $B$ một cách xác định — cân nghĩa là $SA=AB$), lại vuông tại $A$ nên góc $SBA=45^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu của SC lên (ABC) là AC, do đó góc giữa SC và (ABC) là $\angle SCA$. Tam giác ABC đều cạnh a nên AC = a. Tam giác SAC vuông tại A có $\tan (\angle SCA)=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a}=1$, suy ra $\angle SCA=45^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có $AD=a$, $SA=a\sqrt{3}$, nên $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SDA}=60^{\circ }$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O$ là tâm đáy, do đó $SO\perp (ABCD)$. Hình chiếu của $A$ trên mp$(ABCD)$ là $A$ (thuộc mặt phẳng), hình chiếu của $S$ là $O$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mp$(ABCD)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu $OA$ của nó trên mặt phẳng, tức là góc $SAO$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy là góc SCA. Tam giác ABC vuông tại A: AC = √(AB² + BC²) = √(a² + 4a²) = a√5. Tam giác SAC vuông tại A: tan(SCA) = SA/AC = a√15/(a√5) = √3, nên góc SCA = 60°. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì SA ⊥ (ABCD) nên đường cao của hình chóp là SA. Góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy là góc giữa SB và hình chiếu AB trên mặt đáy, tức góc SBA = 60°. Tam giác SAB vuông tại A có AB = a, nên SA = AB·tan60° = a√3. Vậy độ dài đường cao bằng a√3, đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 75: SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa SB và mặt đáy là góc SBA = 60° (vì AB nằm trong mặt đáy). Tam giác SAB vuông tại A có AB = a, góc B = 60°, nên SB = AB / cos60° = a / (1/2) = 2a. (Kiểm tra: SA = AB·tan60° = a√3, đúng với câu a chọn C.) Vậy SB = 2a, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SBC$ đều cạnh $a$ nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì $ABC$ đều cạnh $a$, $H$ trung điểm $BC$ nên $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Góc giữa $SA$ và $(ABC)$ là góc $SAH$: $\tan (SAH)=\frac{SH}{AH}=1$, suy ra góc $=45^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên $A^{\prime }$ có hình chiếu xuống $(ABC)$ là $A$. Góc giữa $A^{\prime }M$ và $(ABC)$ là góc $A^{\prime }MA$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$, $M$ trung điểm $BC$ nên $AM=a\sqrt{3}$. Trong tam giác vuông $A{A}^{\prime }M$ (vuông tại $A$): $\tan (A^{\prime }MA)=\frac{A{A}^{\prime }}{AM}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra góc $A^{\prime }MA=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA = 60°, với AC = a√2 nên SA = AC·tan60° = a√6, SC = √(SA²+AC²) = 2a√2.
a) Trong tam giác SBC: SB = √(SA²+AB²) = a√7, cos∠SCB = (SC²+BC²−SB²)/(2·SC·BC) = (8a²+a²−7a²)/(2·2a√2·a) = 1/(2√2), suy ra ∠SCB ≈ 69,3° ≠ 60°. Sai.
b) Đường cao SA = a√6 ≠ a√3. Sai.
c) BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ SB, do đó góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc giữa BA và SB: cosφ = AB/SB = 1/√7, φ ≈ 67,79° ≈ 68° ≠ 67°. Sai.
d) Gọi O là tâm hình vuông, AO ⊥ BD với AO = a√2/2. Mặt phẳng (SOA) ⊥ BD nên góc nhị diện [S,BD,C] là góc nhị diện tương ứng với góc SOA, nhưng A và C nằm khác phía đối với BD nên số đo góc nhị diện = 180° − ∠SOA. tan∠SOA = SA/AO = a√6/(a√2/2) = 2√3, ∠SOA ≈ 73,90°, vậy góc nhị diện ≈ 106,10° ≈ 106°. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SC và (ABCD) là ∠SCA = 60°, không phải ∠SCB. Tính trực tiếp: cos∠SCB = 1/(2√2) nên ∠SCB ≈ 69,3° ≠ 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA = AC·tan60° = a√2·√3 = a√6 ≠ a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc SBA (vì BC ⊥ AB, BC ⊥ SB): cosφ = AB/SB = 1/√7, φ ≈ 67,79° làm tròn thành 68°, không phải 67°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gọi O tâm hình vuông, (SOA) ⊥ BD, tan∠SOA = SA/AO = 2√3 nên ∠SOA ≈ 73,90°. Vì A và C khác phía đối với BD, góc nhị diện [S,BD,C] = 180° − 73,90° ≈ 106,10° ≈ 106°. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chóp đều S.ABCD, cạnh đáy 2,2m, cạnh bên 2,8m. AC = 2,2√2 nên AO = 1,1√2 ≈ 1,5556; SO = √(2,8² − 1,5556²) = √(7,84 − 2,42) = √5,42 ≈ 2,328m.
a) Đúng: MN là đường trung bình của tam giác SBO nên MN ∥ SO; SO ⊥ (ABCD) (chóp đều) nên MN ⊥ (ABCD).
b) Sai: Hình chiếu của B trên (SAC) là O (vì BO ⊥ AC và BO ⊥ SO), nên góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO, tức góc BSO. tan(BSO) = BO/SO = 1,5556/2,328 ≈ 0,668 → BSO ≈ 33,7° ≈ 34°, không phải 38°.
c) Đúng: AC ⊥ BD (hình vuông) và AC ⊥ SO (SO ⊥ (ABCD)) nên AC ⊥ (SBD).
d) Sai: CD ∥ AB. Trong tam giác SAB cân với SA = SB = 2,8, AB = 2,2, ta có cos(góc giữa SB và AB) = (SB² + AB² − SA²)/(2·SB·AB) = 4,84/12,32 ≈ 0,393 ≠ 0, nên SB không vuông góc với AB, do đó SB không vuông góc với CD. Khớp đáp án mã 211: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình tam giác SBO nên MN ∥ SO; SO ⊥ (ABCD) nên MN ⊥ (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SB và (SAC) là góc BSO với tan(BSO) = BO/SO ≈ 1,5556/2,328 ≈ 0,668, suy ra góc ≈ 34°, không phải 38°.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ SO nên AC ⊥ (SBD).
d) (AI giải đề cho tôi)
CD ∥ AB và cos góc giữa SB và AB = 4,84/12,32 ≈ 0,393 ≠ 0 nên SB không vuông góc CD.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD đáy vuông cạnh 2,2m, các cạnh bên bằng nhau 2,8m nên chân đường cao S là tâm O đáy. OB = AC/2 = 2,2√2/2 = 1,1√2 ≈ 1,5556m; SO = √(SB² − OB²) = √(7,84 − 2,42) = √5,42 ≈ 2,328m.
a) Hình chiếu của B trên (SAC) là O nên hình chiếu của SB trên (SAC) là SO. Góc giữa SB và (SAC) là góc BSO: sin∠BSO = OB/SB ≈ 1,5556/2,8 ≈ 0,5556 ⇒ ∠BSO ≈ 34° ≠ 38°. Mệnh đề SAI.
b) CD ⊥ BC nhưng CD không vuông với OB (OB nằm trên đường chéo BD, góc BDC = 45°), nên SB không vuông CD. Mệnh đề SAI.
c) MN là đoạn nối trung điểm của SB và BO trong tam giác SBO nên MN ∥ SO. Vì SO ⊥ (ABCD) nên MN ⊥ (ABCD). Mệnh đề ĐÚNG.
d) AC ⊥ BD (đáy vuông) và AC ⊥ SO (đường cao) ⇒ AC ⊥ (SBD). Mệnh đề ĐÚNG.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng — khớp đáp án chính thức mã đề 111 (SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B$ trên $(SAC)$ là $O$ (vì $BO\perp AC$ và $BO\perp SO$), còn $S\in (SAC)$, nên hình chiếu của $SB$ trên $(SAC)$ là $SO$. Góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là góc $BSO$ với $\sin \angle BSO=\frac{OB}{SB}=\frac{1,1\sqrt{2}}{2,8}\approx 0,5556\Rightarrow \angle BSO\approx 34^0\ne 38^0$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
CD ⊥ BC nhưng CD không vuông với hình chiếu OB của SB trên đáy (OB nằm trên đường chéo BD, góc BDC = 45°), nên SB không vuông CD; sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác SBO, MN nối trung điểm SB, BO nên MN ∥ SO; mà SO ⊥ (ABCD) nên MN ⊥ (ABCD); đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ SO ⇒ AC ⊥ (SBD); đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt phẳng đáy, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ với $AC=1$ nên $BC=1$, do đó $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{2}$. Trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan (\widehat{SBA})=\frac{SA}{AB}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1,41$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,41.

(AI giải đề cho tôi)
Lều là hình chóp S.ABCDEF đều, hình chiếu của S trên đáy là tâm O nên chiều cao cột giữa là SO. Đáy lục giác đều cạnh a có diện tích $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=18\Rightarrow a^2=4\sqrt{3}\Rightarrow a\approx 2,632$ m. Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều bằng cạnh: $OA=a\approx 2,632$ m. Góc giữa thanh tre SA và mặt sàn là góc giữa SA và hình chiếu OA, bằng $30^{\circ }$, nên $\tan 30^{\circ }=\frac{SO}{OA}\Rightarrow SO=2,632\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 1,52$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $1,5$ m, khớp bảng đáp án mã đề 112, Phần III câu 4: 1,5.

Gọi $E$ là trung điểm của đoạn $KH$, ta có $\Delta AHK$ vuông cân tại $A$ vì $AH=AK=\frac{1}{2}a$ nên $AE\perp KH$ (0,25 điểm)
do đó $\{\begin{array}{l}AE\perp SH\\ AE\perp HK\end{array}\Rightarrow AE\perp (SHK)$,
suy ra $\left(SA,(SHK)\right)=(SA,SE)=\widehat{ASE}=\alpha$. (0,5 điểm)
Mà $AE=\frac{1}{2}KH=\frac{1}{2}\sqrt{A{H}^2+A{K}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$
$\Delta SEA$ vuông tại $E$ có $\sin \alpha =\frac{AE}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{4}$. (0,25 điểm)
Vậy $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt đáy, góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $SBA$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ với $AC=1$ nên $BC=1$, $AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\approx 1,41$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,41.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là cạnh lục giác đều đáy. Diện tích đáy $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=12\sqrt{3}\Rightarrow a^2=8\Rightarrow a=2\sqrt{2}$. Thanh tre là cạnh bên của chóp, hình chiếu của cạnh bên lên mặt sàn là bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác $R=a=2\sqrt{2}$. Góc giữa cạnh bên và mặt sàn là $30^{\circ }$ nên chiều cao cột giữa (từ đỉnh xuống tâm đáy) là $h=R\tan 30^{\circ }=2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx 1,63\approx 1,6$ m. Khớp với đáp án nguồn 1,6.

Gọi $E$ là trung điểm của đoạn $KH$, ta có $\Delta AHK$ vuông cân tại $A$ vì $AH=AK=\frac{1}{2}a$ nên $AE\perp KH$ (0,25 điểm)
do đó $\{\begin{array}{l}AE\perp SH\\ AE\perp HK\end{array}\Rightarrow AE\perp (SHK)$,
suy ra $\left(SA,(SHK)\right)=(SA,SE)=\widehat{ASE}=\alpha$. (0,5 điểm)
Mà $AE=\frac{1}{2}KH=\frac{1}{2}\sqrt{A{H}^2+A{K}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$
$\Delta SEA$ vuông tại $E$ có $\sin \alpha =\frac{AE}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{4}$. (0,25 điểm)
Vậy $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}$.