Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $C(2;2;0)$, $S(0;0;2)$. Trung điểm $M$ của $SD$ là $M(0;1;1)$. Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $A$ và chứa các vectơ $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{AS}=(0;0;2)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AS}=(4;-4;0)\parallel (1;-1;0)$, tức $(SAC):x-y=0$. Khoảng cách từ $M(0;1;1)$ đến $(SAC)$: $d(M,(SAC))=\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Độ dài $CM=\sqrt{(2-0{)}^2+(2-1{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{6}$. Khi đó $\sin \alpha =\frac{d}{CM}=\frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{12}}$, suy ra $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}}{11}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $A^{\prime }$ trên $(ABCD)$, do đó $AC$ là hình chiếu của $A^{\prime }C$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Vậy góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là góc giữa $A^{\prime }C$ và $AC$, tức là $\widehat{A^{\prime }CA}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $O(0;0;0)$, $A(a;0;0)$, $C(-a;0;0)$, $B(0;a\sqrt{3};0)$, $D(0;-a\sqrt{3};0)$. Vì $SO\perp (ABCD)$, $SD=2a$ nên $S{O}^2=S{D}^2-O{D}^2=4a^2-3a^2=a^2$, suy ra $S(0;0;a)$.
Ta có $SB=\sqrt{O{B}^2+S{O}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$.
Vectơ $\overrightarrow{SC}=(-a;0;-a)$, $\overrightarrow{SD}=(0;-a\sqrt{3};-a)$, nên $\vec{n}=\overrightarrow{SC}\times \overrightarrow{SD}=(-a^2\sqrt{3};-a^2;a^2\sqrt{3})$, chọn $\vec{n}=(\sqrt{3};1;-\sqrt{3})$.
Mặt phẳng $(SCD)$: $\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z+\sqrt{3}a=0$.
Khoảng cách từ $B(0;a\sqrt{3};0)$ đến $(SCD)$: $d=\frac{|a\sqrt{3}+\sqrt{3}a|}{\sqrt{3+1+3}}=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}$.
$\sin \alpha =\frac{d}{SB}=\frac{2\sqrt{3}a/\sqrt{7}}{2a}=\sqrt{\frac{3}{7}}\approx 0,6547\approx 0,65$. Khớp với đáp án nguồn 0,65.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Hình chiếu của $C^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $C$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$), nên góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc $C^{\prime }AC$. Ta có $C{C}^{\prime }=a$, $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông), nên $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Do đó $\sin (C^{\prime }AC)=\frac{C{C}^{\prime }}{A{C}^{\prime }}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt đáy, góc giữa $SB$ và mặt đáy là $\widehat{SBA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\widehat{SBA}=30^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $A_1(0;0;a\sqrt{2})$, $B_1(a;0;a\sqrt{2})$, $C_1(0;a;a\sqrt{2})$ (tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AC=AB=a$, $BC=a\sqrt{2}$).

a) Vì lăng trụ đứng nên $B_{1}B\perp (ABC)$, hình chiếu của $C{B}_1$ lên $(ABC)$ là $CB$. Góc giữa $C{B}_1$ và $(ABC)$ là $\widehat{B_{1}CB}$. Trong tam giác $B_{1}BC$ vuông tại $B$: $\tan \widehat{B_{1}CB}=\frac{B_{1}B}{BC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{B_{1}CB}=45^{\circ }$.

b) Giao tuyến của $(ABC)$ và $(A_{1}BC)$ là $BC$. Vì $AB=AC$ nên $A$ có hình chiếu $H$ lên $BC$ là trung điểm $BC$, $AH=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Ta có $AH\perp BC$ và $A_{1}A\perp (ABC)\Rightarrow A_{1}H\perp BC$, nên góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{A_{1}HA}$. Trong tam giác $A_{1}AH$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{A_{1}HA}=\frac{A_{1}A}{AH}=\frac{a\sqrt{2}}{a/\sqrt{2}}=2\Rightarrow$ góc bằng $\arctan 2\approx 63^{\circ }26^{\prime }$.

c) Khối chóp $A_1.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ có đáy $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình chữ nhật với $BC=a\sqrt{2}$, $B{B}_1=a\sqrt{2}$, diện tích $S=2a^2$; đường cao là khoảng cách từ $A_1$ (hoặc $A$) đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, bằng $AH=\frac{a}{\sqrt{2}}$ (do $A_{1}A\perp (ABC)$ và $AH\perp BC$). Vậy $V=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

d) Dùng tọa độ: đường thẳng $AB$ có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(1;0;0)$ qua $A(0;0;0)$; đường thẳng $B^{\prime }C$ đi qua $B^{\prime }(a;0;a\sqrt{2})$ và $C(0;a;0)$ có $\vec{v}=\overrightarrow{B^{\prime }C}=(-a;a;-a\sqrt{2})\parallel (-1;1;-\sqrt{2})$. Lấy $\vec{w}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a\sqrt{2})$. Khi đó $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(0;\sqrt{2};1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{3}$, và $\vec{w}\cdot \vec{n}=a\sqrt{2}$. Khoảng cách $d(AB,B^{\prime }C)=\frac{|\vec{w}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$; lại có $ABCD$ hình vuông nên $BC\perp AB$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$. Trong mặt phẳng $(SBC)$, $SB\perp BC$; trong mặt đáy, $AB\perp BC$. Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $BC$, nên góc giữa hai mặt phẳng là góc $\widehat{SBA}$. Đúng.

b) Hình chiếu của $S$ trên đáy là $A$, nên góc giữa $SC$ và đáy là $\widehat{SCA}$. Ta có $AC=a\sqrt{2}$, $SA=a\sqrt{2}$, nên $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=1\Rightarrow \widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đúng.

c) Vì $BC\perp (SAB)$ nên $B$ là hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$, góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{SCB}$. Tam giác $SBC$: $BC=a$, $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{2a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$, nên $\sin \widehat{SCB}=\frac{BC}{SC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 35,26^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.

d) $SA\perp (ABCD)$ tại $A$ và $BD\subset (ABCD)$, nên $d(SA,BD)=d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a\cdot a}{a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a\sqrt{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp BC$ (vì $SA\perp$ đáy) và $AB\perp BC$, suy ra $BC\perp (SAB)$ nên $SB\perp BC$. Giao tuyến là $BC$, góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và đáy là $\widehat{SCA}$ với $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, nên góc bằng $45^{\circ }$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$ là $B$ (vì $BC\perp (SAB)$), góc cần tìm là $\widehat{SCB}$ với $\sin \widehat{SCB}=\frac{BC}{SC}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc $\approx 35,26^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(SA,BD)=d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a^2}{a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a\sqrt{2}$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì $SAB$ đều nên $SH\perp AB$ với $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do $(SAB)\perp (ABC)$, giao tuyến $AB$, nên $SH\perp (ABC)$. Tam giác $ABC$ đều nên $CH\perp AB$ và $CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Ta có $S{C}^2=S{H}^2+C{H}^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}=\frac{3a^2}{2}\Rightarrow SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCH}$ với $\sin \widehat{SCH}=\frac{SH}{SC}=\frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{6}/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, vậy góc bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$, tức là góc $SCA$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB,BC,BD$ đôi một vuông góc nên $BC\perp AB$ và $BC\perp BD$, suy ra $BC\perp (ABD)$; tương tự $AB\perp (BCD)$. Xét từng phương án:
- A: Góc giữa $CD$ và $(ABD)$: hình chiếu của $C$ lên $(ABD)$ là $B$, nên góc là $CDB$, không phải $CBD$ → sai.
- B: Góc giữa $AC$ và $(BCD)$: $AB\perp (BCD)$, hình chiếu của $A$ lên $(BCD)$ là $B$, nên góc giữa $AC$ và $(BCD)$ là góc $ACB$ → đúng.
- C: Góc giữa $AD$ và $(ABC)$: $BD\perp (ABC)$, hình chiếu của $D$ là $B$, góc là $DAB$, không phải $ADB$ → sai.
- D: Góc giữa $AC$ và $(ABD)$: $BC\perp (ABD)$, hình chiếu của $C$ là $B$, góc là $CAB$, không phải $CBA$ → sai.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BD\perp AB$ và $BD\perp BC$ nên $BD\perp (ABC)$. Do đó $B$ là hình chiếu của $D$ trên mặt phẳng $(ABC)$, hình chiếu của $AD$ lên $(ABC)$ là $AB$. Suy ra góc giữa $AD$ và $(ABC)$ là góc giữa $AD$ và $AB$, tức là góc $BAD$. Vậy đáp án C. (Phương án D của câu 38 nằm ở đầu trang 6: 'Góc giữa AD và mặt phẳng (ABC) là góc ADB' — sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\perp BC$ và $AB\perp BD$ với $BC,BD\subset (BCD)$ và cắt nhau tại $B$, suy ra $AB\perp (BCD)$. Do đó hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(BCD)$ là $B$, nên hình chiếu của $AC$ trên $(BCD)$ là $BC$. Vậy góc giữa $AC$ và mặt phẳng $(BCD)$ là góc giữa $AC$ và $BC$, tức là góc $ACB$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=a$, do đó $AC=a\sqrt{2}$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $S{A}^2=S{B}^2-A{B}^2=7a^2-a^2=6a^2\Rightarrow SA=a\sqrt{6}$. Góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$ trên đáy, tức góc $SCA$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60^0$. Vậy góc giữa $SC$ và mặt đáy bằng $60^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp (ABCD)$ nên $C$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu $CA$ của nó trên mặt phẳng, tức là $\widehat{SAC}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\perp AC$ (đáy vuông tại $A$) và $AB\perp SC$ (do $SC\perp (ABC)$) nên $AB\perp (SCA)$. Hình chiếu của $SB$ lên $(SCA)$ là $SA$, do đó góc giữa $SB$ và $(SCA)$ là góc giữa $SB$ và $SA$, tức $\widehat{BSA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp (ABCD)$ nên $SC\perp DO$. Tam giác $ACD$ vuông cân tại $D$ (đáy hình vuông cạnh $\sqrt{30}a$) nên $DO\perp AC$ với $DO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{30}a\cdot \sqrt{2}}{2}=\sqrt{15}a$. Suy ra $DO\perp (SCA)$. Góc giữa $SD$ và $(SCA)$ là góc giữa $SD$ và hình chiếu của nó trên $(SCA)$, tức là $\widehat{DSO}$ (hình chiếu của $D$ lên $(SCA)$ là $O$, hình chiếu của $S$ là $S$). Ta có $SD=\sqrt{S{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{39a^2+30a^2}=\sqrt{69}a$. Khi đó $\sin \alpha =\frac{DO}{SD}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{69}}=\sqrt{\frac{5}{23}}\approx 0,4663$, nên $\alpha \approx 27,79^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp (ABCD)$ nên $BC$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBC}$. Tam giác $SBC$ vuông tại $C$ với $BC=8a$, $SC=\sqrt{79}a$, nên $\tan \widehat{SBC}=\frac{SC}{BC}=\frac{\sqrt{79}}{8}\approx 1,1110$, suy ra $\widehat{SBC}\approx 48,01^{\circ }$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AC=a\sqrt{3}$, $AB=a\sqrt{2}$ nên $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=a$. Cạnh $SA=2a\perp (ABCD)$.

a) Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$: $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 54,7356^{\circ }\approx 54,75^{\circ }$. Đúng.

b) $BC\perp AB$ (hình chữ nhật) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy) $\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$. Đúng.

c) Vì $BC\perp (SAB)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ tại giao tuyến $SB$, do đó $d(D,(SBC))=d(A,(SBC))=d(A,SB)$ trong mặt $(SAB)$: $d=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2a\cdot a\sqrt{2}}{\sqrt{4a^2+2a^2}}=\frac{2a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Sai.

d) $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot BC\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}\ne \frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{SBA}\approx 54,75^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(D,(SBC))=d(A,SB)=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}\ne \frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Lăng trụ đứng ABC.A'B'C', đáy ABC vuông cân tại B, AB = a nên BC = a, AA' = a√2.

1) Vì ABC vuông tại B nên BC ⊥ AB. Vì lăng trụ đứng nên cạnh bên BB' ⊥ mp(ABC), suy ra BB' ⊥ BC. Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ BB' với AB, BB' là hai đường thẳng cắt nhau trong mp(ABB'A'), nên BC ⊥ (ABB'A').

2) Vì lăng trụ đứng nên AA' ⊥ mp(ABC). Gọi φ là góc giữa A'B và mp(ABC), khi đó φ = góc giữa A'B và BA (hình chiếu của A'B trên mp(ABC) là BA), tức φ = góc A'BA. Trong tam giác A'AB vuông tại A: tan φ = A'A / AB = a√2 / a = √2, suy ra φ = arctan√2 ≈ 54°44' (≈ 54,74°).

3) Vì BC ⊥ (ABB'A') (chứng minh ở câu 1) nên d(C, (ABB'A')) = BC. Tam giác ABC vuông cân tại B với AB = a nên BC = a. Vậy khoảng cách từ C đến mp(ABB'A') bằng a.