Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(ABCD)$. Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SB$ và $AB$, tức là $\widehat{SBA}$. Chọn đáp án D.

Ta có $SA\perp (ABC)\Rightarrow \left(SC,(ABC)\right)=\widehat{SCA}$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt đáy, do đó $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SB$ và hình chiếu của nó, tức góc giữa $SB$ và $AB$ (góc $SBA$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng đáy, do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đáy, tức là góc giữa $SC$ và $AC$ (góc $SCA$). Vậy đáp án là D.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ lên mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SB$ và $BA$. Chọn C. (Lưu ý: đáp án do AI giải thích bổ sung, nguồn không in đáp án chính thức.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $DA$ là hình chiếu của $SD$ trên mặt phẳng đáy. Do đó góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SDA}$, tức là góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $AD$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt đáy. Hình chiếu của $SC$ trên mặt đáy là $AC$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$ của nó, tức góc $\widehat{SCA}$. Vậy đáp án là $SC$ và $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AC=a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $SA=AC=a$, nên $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=1\Rightarrow \widehat{SCA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$ của nó, tức là góc $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (do $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$), có $SA=a$ và $AB=a$ (tam giác $ABC$ đều cạnh $a$). Khi đó $\tan (\widehat{SBA})=\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a}=1$, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $SB$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ }$, chọn đáp án B. Giải thích này khớp đúng với dữ kiện của Câu 51 (S.ABC, tam giác ABC đều cạnh a, SA = a, góc giữa SB và (ABC)).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Đáy là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=a$ nên $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=a\sqrt{2}$ nên $AC=AB\sqrt{2}=2a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2a}{2a}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên $(ABCD)$ là $AC$, nên góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }CA}$. Hình lập phương cạnh $a\sqrt{6}$: $A{A}^{\prime }=a\sqrt{6}$, $AC=a\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}=a\sqrt{12}$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }CA}=\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 35,26^{\circ }\approx 35^{\circ }$. Lưu ý: đề in trên trang 15 cho cạnh $a\sqrt{6}$ (không phải $a\sqrt{7}$), và kết quả khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $A^{\prime }D$ trên $(ABCD)$ là $AD$ vì $A^{\prime }A\perp (ABCD)$ nên $A^{\prime }A\perp AD$. Góc giữa $A^{\prime }D$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }DA}$. Tam giác $A^{\prime }AD$ vuông tại $A$ với $A^{\prime }A=AD=a$, do đó $\tan \widehat{A^{\prime }DA}=\frac{A^{\prime }A}{AD}=1$, suy ra $\widehat{A^{\prime }DA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $A^{\prime }D$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$ là $AC$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AC=a$. Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a}{a}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$ là $AC$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ với $AB=\sqrt{3}a$ nên $AC=AB\sqrt{2}=\sqrt{6}a$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{6}a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\widehat{SCA}=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt đáy, do đó góc giữa $SB$ và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AB=a$, $SB=2a$, nên $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Khi đó $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra $(SB,(ABCD))=\widehat{SBA}=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$. Đáy là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Kết quả khớp đáp án nguồn 5B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Hình chiếu của $A{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AC$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$), nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\alpha =\angle C^{\prime }AC$. Tam giác $AC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ có $C{C}^{\prime }=a$, $AC=a\sqrt{2}$, $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$. Suy ra $\sin \alpha =\frac{C{C}^{\prime }}{A{C}^{\prime }}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$. Hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy là $AC$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và $AC$, tức góc $SCA$. Đáp án C.