Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

Ta có góc giữa cạnh bên $SD$ và mặt $(ABCD)$ là $\widehat{SDO}=\alpha$. Ta có $BD=3\sqrt{2}\Rightarrow OD=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $SD=4\sqrt{2}$. và $\cos \alpha =\frac{OD}{SD}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{3}{8}\approx 0,38$.

a) Ta có $$\{\begin{array}{l}BC\perp AM\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAM)$$

b) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SM$ thì $AH\perp SM$.

Theo chứng minh trên ta có $BC\perp (SAM)$ nên $(SBC)\perp (SAM)$.

Vậy ta có $$\{\begin{array}{l}(SBC)\perp (SAM)\\ (SBC)\cap (SAM)=SM\Rightarrow AH\perp (SBC)\\ AH\perp SM\end{array}$$

Khi đó góc giữa $SA$ và mặt bên $(SBC)$ là $\widehat{ASH}=\widehat{ASM}=\beta$.

Ta có $AM=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $S{M}^2=S{A}^2-A{M}^2={\left(a\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{5a^2}{4}\Rightarrow SM=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Khi đó $\sin \beta =\frac{AM}{SM}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$, do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$. Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và $AC$, tức góc $SCA$ (đỉnh $C$). Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm đáy hình vuông ABCD. Đường chéo đáy AC = 230√2, nên AO = 115√2 ≈ 162,635 m. Vì các cạnh bên bằng nhau nên SO ⊥ (ABCD). Trong tam giác vuông SOA: SO² = SA² − AO² = 219² − (115√2)² = 47961 − 26450 = 21511, suy ra SO ≈ 146,67 m. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là α = SAO, nên tan α = SO/AO ≈ 146,67/162,635 ≈ 0,9018 ≈ 0,9. Kết quả trùng với đáp án nguồn (0,9).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $ABED$ là hình chữ nhật với $AB=0,3m$, $BCFE$ là hình vuông cạnh $1,2m$; mặt phẳng $(ACFD)$ chứa cạnh bậc thềm, $AB$ vuông góc với mặt phẳng này.
a) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (do $AB\perp BC$), có $AB=0,3$, $BC=1,2$ nên $AC=\sqrt{0,3^2+1,2^2}=\sqrt{1,53}$. Suy ra $\sin BCA=\frac{AB}{AC}=\frac{0,3}{\sqrt{1,53}}\approx 0,2425\ne 0,5$. Mệnh đề SAI.
b) Vì $ABED$ là hình chữ nhật nên $ED\perp AD$, và $ED\perp DF$ (do $ED\perp$ mặt chứa hình vuông $BCFE$ theo cấu trúc hình). Từ đó $ED\perp (ACFD)$. Mệnh đề ĐÚNG.
c) Vì $AB\perp (ACFD)$ (do $AB\perp AD$ và $AB\perp AC$) nên hình chiếu của $B$ trên $(ACFD)$ là $A$, do đó $\sin \alpha =\frac{AB}{BF}=\frac{0,3}{1,2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\approx 0,177\ne \frac{3\sqrt{2}}{20}\approx 0,212$. Mệnh đề SAI.
d) $BF$ là đường chéo hình vuông $BCFE$ cạnh $1,2m$ nên $BF=1,2\sqrt{2}\approx 1,697m\ne \sqrt{2}m$. Mệnh đề SAI.
Kết quả khớp bảng đáp án nguồn (Mã đề 1102): 1a = S, 1b = Đ, 1c = S, 1d = S.
a) Vì $ABED$ là hình chữ nhật nên $AB\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $AB=0,3$, $BC=1,2$ nên $AC=\sqrt{0,3^2+1,2^2}=\sqrt{1,53}$. Suy ra $\sin BCA=\frac{AB}{AC}=\frac{0,3}{\sqrt{1,53}}\approx 0,2425\ne 0,5$. Mệnh đề sai.
b) Vì $ABED$ là hình chữ nhật nên $ED\perp AD$. Trong hình vuông $BCFE$ (nằm trong mặt phẳng $(ACFD)$ cùng với $A,C,F,D$ theo cấu trúc hình vẽ), ta có $ED\perp DF$. Từ đó $ED\perp (ACFD)$. Mệnh đề đúng.
c) Vì $AB\perp (ACFD)$ (do $AB\perp AD$ và $AB\perp AC$) nên $B$ cách đều mặt phẳng $(ACFD)$ một khoảng $AB=0,3$. Hình chiếu của $B$ trên $(ACFD)$ là $A$, do đó $\sin \alpha =\frac{AB}{BF}=\frac{0,3}{1,2\sqrt{2}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\approx 0,177\ne \frac{3\sqrt{2}}{20}\approx 0,212$. Mệnh đề sai.
d) $BF$ là đường chéo của hình vuông $BCFE$ có cạnh $1,2m$ nên $BF=1,2\sqrt{2}m\approx 1,697m\ne \sqrt{2}m$. Mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hình học: ABED là hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng thẳng đứng với AB = ED = 0,3 m; AD = BE = 1,2 m; mặt phẳng (ACFD) là mặt phẳng nằm ngang nên AB ⊥ (ACFD) và ED ⊥ (ACFD).
a) Vì ABED là hình chữ nhật nên ED ∥ AB, mà AB ⊥ (ACFD) (AB vuông góc với mặt nằm ngang) nên ED ⊥ (ACFD). Đúng.
b) Tam giác ABC vuông tại A: sin∠BCA = AB/BC = 0,3/1,2 = 0,25 ≠ 0,5. Sai.
c) Hình chiếu của B lên (ACFD) là A nên sin α = AB/BF. BCFE là hình vuông cạnh 1,2 m nên BF = 1,2√2 (đường chéo). Suy ra sin α = 0,3/(1,2√2) = √2/8 ≈ 0,177 ≠ 3√2/20 ≈ 0,212. Sai.
d) BF là đường chéo hình vuông BCFE cạnh 1,2 m nên BF = 1,2√2 ≈ 1,697 m ≠ √2 m. Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
ABED là hình chữ nhật nên ED ∥ AB; AB ⊥ (ACFD) (mặt nằm ngang) nên ED ⊥ (ACFD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A: sin∠BCA = AB/BC = 0,3/1,2 = 0,25 ≠ 0,5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của B trên (ACFD) là A nên sin α = AB/BF = 0,3/(1,2√2) = √2/8 ≈ 0,177 ≠ 3√2/20.
d) (AI giải đề cho tôi)
BF là đường chéo hình vuông cạnh 1,2 m: BF = 1,2√2 ≈ 1,697 m ≠ √2 m.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu $AB$ của nó trên mặt phẳng, tức là $\widehat{SBA}$. Do đó đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$. Đường thẳng $SC$ cắt $(ABC)$ tại $C$, hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$ là $AC$. Do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$, do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SCA}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $SA=2a$, $AC=2a$ nên $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2a}{2a}=1$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$, do đó $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$, tức là $\widehat{SCA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$ (vì $AB=a$, $AD=2a$, $BC=a$, $AD\parallel BC$, góc vuông tại $A,B$).
a) $BC\perp AB$ (đáy) và $BC\perp SA$ ($SA\perp (ABCD)$) nên $BC\perp (SAB)$. Đúng.
b) $SD=\sqrt{A{D}^2+S{A}^2}=\sqrt{4a^2+3a^2}=a\sqrt{7}$. Góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$, $\sin =\frac{SA}{SD}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{BD}=(-a;2a;0)$, tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2\ne 0$ nên $SC$ không vuông góc $BD$. Sai.
d) $\overrightarrow{DC}=(a;-a;0)\perp \overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ và $DC\perp SA$ nên $DC\perp (SAC)$, chân đường vuông góc từ $D$ xuống $(SAC)$ là $C$, $DC=a\sqrt{2}$, $SH=\sqrt{S{D}^2-D{C}^2}=\sqrt{7a^2-2a^2}=a\sqrt{5}$. Góc giữa $SD$ và $(SAC)$: $\tan =\frac{DC}{S{C}^{\prime }}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\ne \frac{\sqrt{10}}{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SD=a\sqrt{7}$, $\sin \widehat{SDA}=\frac{SA}{SD}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{BD}=a^2\ne 0$ nên $SC$ không vuông góc $BD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $D$ đến $(SAC)$ là $DC=a\sqrt{2}$, $\tan =\frac{\sqrt{10}}{5}\ne \frac{\sqrt{10}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\perp (ADFC)$ nên hình chiếu của $BC$ lên mặt phẳng $(ADFC)$ là $AC$, do đó góc giữa $BC$ và $(ADFC)$ là $\widehat{BCA}=10^{\circ }$. $BCFE$ là hình vuông cạnh $CE=2m$ nên $BC=2m$. Chiều cao độc kê là $AB=BC\cdot \sin 10^{\circ }=2\sin 10^{\circ }\approx 2\cdot 0,173648\approx 0,35m$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$, do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{SBA}=60^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CB\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CB$. Mà $CB\perp AB$, $CB\perp SA$, với $AB,SA\subset (SAB)$ và cắt nhau tại $A$, suy ra $CB\perp (SAB)$.

b) Vì $CB\perp (SAB)$ nên $B$ là hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$, do đó góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là góc giữa $SC$ và $SB$, tức góc $\widehat{CSB}$.
Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$, nên $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{4a^2+3a^2}=a\sqrt{7}$.
Tam giác $SBC$ vuông tại $B$ với $CB=AD=a\sqrt{2}$, nên $\sin \widehat{CSB}=\frac{CB}{SC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{2}{7}}$.
Vậy $\cos \widehat{CSB}=\sqrt{1-\frac{2}{7}}=\sqrt{\frac{5}{7}}=\frac{\sqrt{35}}{7}$, tức góc giữa $SC$ và $(SAB)$ có cosin bằng $\frac{\sqrt{35}}{7}$ (góc khoảng $32,3^{\circ }$).

c) Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a\sqrt{2};0)$, $C(a;a\sqrt{2};0)$, $S(0;0;2a)$. $I$ là trung điểm $CD$ nên $I\left(\frac{a}{2};a\sqrt{2};0\right)$.
$\overrightarrow{SB}=(a;0;-2a)$, $\overrightarrow{AI}=\left(\frac{a}{2};a\sqrt{2};0\right)$.
$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{AI}=\frac{a^2}{2}$; $|SB|=a\sqrt{5}$; $|AI|=a\sqrt{\frac{1}{4}+2}=\frac{3a}{2}$.
$\cos (SB,AI)=\frac{a^2/2}{a\sqrt{5}\cdot \frac{3a}{2}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{15}$.

Kiểm tra lại: các kết quả $\cos \widehat{CSB}=\frac{\sqrt{35}}{7}$ và $\cos (SB,AI)=\frac{\sqrt{5}}{15}$ đều đúng, khớp với phần giải nguồn (đã loại bỏ ghi chú meta thừa).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt đáy, do đó góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\alpha =\widehat{SCA}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $SA=2a$, $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$). Suy ra $\tan \alpha =\frac{SA}{AC}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SC\perp (ABC)$ nên $C$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$, do đó $AC$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABC)$ (với $A\in (ABC)$). Theo định nghĩa, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SA$ và hình chiếu $AC$ của nó, tức là góc $\widehat{SAC}$. Vậy đáp án là $SA$ và $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A$ là gốc, mặt đất là mặt phẳng $(ACFD)$ (mặt phẳng $z=0$), $AB$ thẳng đứng. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (có dấu vuông ở $A$), có $BC$ là cạnh của hình vuông $BCFE$ nên $BC=1m$, $AB=0,3m$ nên $AC=\sqrt{1-0,09}=\sqrt{0,91}$. Vậy $B=(0;0;0,3)$, $C=(\sqrt{0,91};0;0)$.

Vì $BCFE$ là hình vuông nên $CF\perp CB$, $CF=1$ và $CF$ nằm trên mặt đất (hình chiếu của $E$ là $D$ trên mặt đất, $ED$ thẳng đứng). Vector $\overrightarrow{CF}=(x;y;0)$ thỏa $\overrightarrow{CF}\cdot \overrightarrow{CB}=-\sqrt{0,91}x=0\Rightarrow x=0$, suy ra $\overrightarrow{CF}=(0;1;0)$. Do đó $F=(\sqrt{0,91};1;0)$, $E=(0;1;0,3)$, $D=(0;1;0)$ (kiểm tra $ED\perp FD$ đúng như hình vẽ).

a) $\sin \widehat{BCA}=\frac{AB}{BC}=\frac{0,3}{1}=0,3\ne 0,5$ → SAI.

b) Góc giữa $BF$ và mặt phẳng $(ACFD)$: hình chiếu của $B$ lên mặt đất là $A$, nên góc là góc giữa $BF$ và $AF$. $\overrightarrow{BF}=(\sqrt{0,91};1;-0,3)$, $|BF|=\sqrt{0,91+1+0,09}=\sqrt{2}$. $\sin \theta =\frac{0,3}{\sqrt{2}}\approx 0,2121\Rightarrow \theta \approx 12,25^{\circ }\ne 15,25^{\circ }$ → SAI.

c) Góc giữa $BC$ và $(ACFD)$: $\sin \phi =\frac{d(B,(ACFD))}{BC}=\frac{0,3}{1}=0,3\Rightarrow \phi \approx 17,46^{\circ }$ → ĐÚNG.

d) $BF=\sqrt{0,91+1+0,09}=\sqrt{2}m$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $BC=1$ (cạnh hình vuông), $AB=0,3$ nên $\sin \widehat{BCA}=\frac{AB}{BC}=0,3\ne 0,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B$ lên mặt đất $(ACFD)$ là $A$. Với $\overrightarrow{BF}=(\sqrt{0,91};1;-0,3)$, $|BF|=\sqrt{2}$, ta có $\sin \theta =\frac{0,3}{\sqrt{2}}\approx 0,2121$, suy ra $\theta \approx 12,25^{\circ }\ne 15,25^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(ACFD)$ là $AB=0,3$, nên $\sin \phi =\frac{0,3}{BC}=0,3\Rightarrow \phi \approx 17,46^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BF=\sqrt{A{C}^2+C{F}^2+A{B}^2}=\sqrt{0,91+1+0,09}=\sqrt{2}m$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Lại có $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (đường $BC$ vuông với hai đường cắt $SA,AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$), do đó $BC\perp SB$. Vậy tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

b) Hình chiếu vuông góc của $B$ trên $(SAC)$ là $O$ (vì $AC\perp BD$ và $SA\perp BD$ nên $BD\perp (SAC)$, với $O=AC\cap BD$). Do đó hình chiếu của $SB$ trên $(SAC)$ là $SO$, góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là $\angle BSO$.
Tính: $SA=a\sqrt{3}$, $AB=a$ nên $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$. Nửa đường chéo $BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác $SBO$ vuông tại $O$: $\sin \angle BSO=\frac{BO}{SB}=\frac{a\sqrt{2}/2}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Vậy góc giữa $SB$ và $(SAC)$ bằng $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}\approx 20,7^{\circ }$ (tức $\cos \angle BSO=\frac{\sqrt{14}}{4}$).

c) Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$.
$\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$.
$\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$; $|\overrightarrow{SB}|=2a$; $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$.
$$\cos (\overrightarrow{SB},\overrightarrow{AC})=\frac{a^2}{2a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$
Vậy $\cos$ góc giữa $SB$ và $AC$ bằng $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Vì chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$, do đó góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SAO}$. Ta có $AC=a\sqrt{2}$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tam giác $SAO$ vuông tại $O$: $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$. Khi đó $\sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA}=\frac{a\sqrt{3/2}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\widehat{SAO}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ bằng $60$ độ.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Giao điểm của $SC$ với $(ABC)$ là $C$, hình chiếu của $S$ là $A$, do đó góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $AC$, tức là $\widehat{SCA}$. Chọn đáp án A.