Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Câu 4. Hình dáng phần đất liền của hai xã thuộc tỉnh Quảng Ninh được mô hình hoá bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$; biết đồ thị có một điểm cực trị là $(1;1)$, với hệ trục toạ độ $Oxy$ như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là $10$ mét. Để thuận tiện cho giao thông hai xã, lãnh đạo tỉnh đã phê duyệt dự án xây một chiếc cầu nối phần đất liền của hai xã này. Nhằm tiết kiệm chi phí cho công trình, người kỹ sư trưởng thiết kế có nhiệm vụ nghiên cứu để chọn được vị trí $A,B$ trên phần đất liền hai xã sao cho độ dài chiếc cầu là ngắn nhất có thể.



Hỏi độ dài ngắn nhất của chiếc cầu đó là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Câu 11. Cho hàm số $f(x)=\left|\frac{1}{4}{x}^4-\frac{7}{3}{x}^3+6x^2+a\right|$ (với $a$ là tham số). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;4]$. Tổng các số nguyên $a$ thuộc $[-20;20]$ sao cho $M\le 4m$ bằng bao nhiêu?

Câu 2. Một chiếc đèn được đặt trên đỉnh của một cột đèn cao $h\text{ (m)}$ để chiếu sáng một vòng xuyến giao thông đông đúc có bán kính $12\text{ m}$. Cường độ ánh sáng $I$ tại một điểm $P$ trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc $\theta$ và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $d\text{ (m)}$ từ nguồn sáng đến điểm $P$ (hình dưới).

Câu 5. Số lượt tải xuống (đơn vị: nghìn lượt) của một ứng dụng trò chơi mới ra mắt được mô hình hóa bởi hàm số $N(t)=\frac{a{t}^2+bt}{t^2+ct+d}$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng ngày kể từ lúc phát hành). Biết rằng tại thời điểm khảo sát hết ngày đầu tiên, ứng dụng đạt tổng cộng $17,5$ nghìn lượt tải. Đến hết ngày thứ $2$, tổng số lượt tải tích lũy đạt $30$ nghìn lượt tải. Khi chiến dịch quảng cáo kéo dài ra vô hạn, tổng số lượt tải của ứng dụng sẽ tiến dần về mức tối đa bão hòa thị trường là $100$ nghìn lượt. Tốc độ tăng trưởng lượt tải tại thời điểm khởi đầu được ghi nhận $20$ nghìn lượt/ngày. Kể từ ngày thứ $3$ trở đi, chi phí để duy trì chiến dịch quảng cáo này là $10$ triệu đồng/ngày cho tiền chạy quảng cáo. Biết rằng mỗi một nghìn lượt tải tăng thêm sẽ đem lại doanh thu cố định là $4$ triệu đồng. Để tối ưu hóa lợi nhuận, nhà phát hành nên dừng chạy chiến dịch quảng cáo này ngay sau khi kết thúc ngày thứ bao nhiêu?

Câu 2. Người ta cần làm một khay chứa thóc cho máy xát gạo có dạng hình chóp đều bằng cách cắt mảnh tôn hình vuông cạnh $1,5\text{ m}$ theo các tam giác cân $AEB,BFC,CGD,DHA$ và sau đó gò các tam giác $AEH,BEF,CFG,DGH$ sao cho bốn đỉnh $A,B,C,D$ trùng nhau tạo thành khối chóp. Đặt $HG=x$.

Bạn Trung có một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $15\text{ cm}$ và chiều rộng $10\text{ cm}$. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh $B$ của góc đó chạm lên cạnh $CD$. Biết nếp gấp $MN$ có độ dài nhỏ nhất bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast },b,c$ là các số nguyên tố. Tính tổng $a+b+c$.

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $3\text{ m}$ và cách bờ $AD$ là $9\text{ m}$, rồi dùng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để nuôi vịt (tam giác $APQ$ như hình vẽ) sao cho cây sào chạm vào hai bờ $AB,AD$ và cây cọc $K$. Tính diện tích của góc hồ nuôi vịt khi chiều dài của cây sào $PQ$ là ngắn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của đơn vị ${\text{m}}^2$)

Cho một tấm bìa hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $10\text{ cm}$. Cắt tấm bìa theo các tam giác cân $AEB,BFC,CGD,DHA$ sau đó gấp các tam giác $AEH,BEF,CFG,DGH$ sao cho bốn đỉnh $A,B,C,D$ trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khi đó thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}{\text{ (cm}}^3\text{)}$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương. Tính $P=a+b+c$.

Trong quy hoạch giao thông của một địa phương, phần đất liền ở hai bờ của một nhánh sông uốn cong được mô hình hóa bởi hai nhánh của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$, trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (hình vẽ), trong đó mỗi đơn vị trên các trục tọa độ tương ứng với $100\text{ m}$ trên thực địa.

Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $(1;1)$. Người ta dự kiến xây dựng một cây cầu thẳng nối một điểm $A$ ở bờ bên này sang một điểm $B$ ở bờ đối diện sao cho chiều dài cây cầu ngắn nhất. Chiều dài của cây cầu đó bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?