Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và trên mỗi nhánh hàm số nghịch biến (nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ về $1$, nhánh trái đi từ $1$ xuống $-\infty$), tức hệ số $a<0$ với dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$.
- A: $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có TCN $y=2$ và $a=1>0$ (đồng biến) → loại.
- B: $y=\frac{-x+1}{x+1}$ có TCĐ $x=-1$, TCN $y=-1$ → loại.
- C: $y=\frac{2x-2}{2x+1}$ có TCĐ $x=-\frac{1}{2}$ → loại.
- D: $y=\frac{x+1}{x-1}$ có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ (nghịch biến) → khớp đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên a) đúng. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$, đổi dấu qua cả hai điểm nên hàm số có hai điểm cực trị (cực đại tại $x=0$, $y(0)=1$; cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=5$) nên b) đúng. Trên $(0;1)$ và $(1;2)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$, do đó c) sai. Điểm $(2;5)$ là điểm cực tiểu chứ không phải cực đại (cực đại là $(0;1)$) nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}=0$ tại $x=0,2$ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua cả hai điểm, nên hàm có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;1)$ thì $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến trên $(0;1)$ (chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=2$, $y=5$ và $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $(2;5)$ là điểm cực tiểu; điểm cực đại là $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua $(0;1)$, có cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$, đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(0)=1$ — khớp hoàn toàn. Phương án A là parabol; B có cực đại tại $x=1$ giá trị $3$ và cực tiểu tại $x=-1$ giá trị $-1$ (ngược hình); C có $y(0)=1$ nhưng cực đại tại $x=-1$ giá trị $5$, không khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình có hai cực trị: cực đại bên trái gốc toạ độ, cực tiểu bên phải, đồ thị đi qua gốc toạ độ (hoặc rất gần gốc), và hai đầu đường cong đi lên bên phải, đi xuống bên trái nên hệ số của $x^3$ dương. Do đó loại B và D (hệ số của $x^3$ âm). Xét C: $y=x^3-3x^2+2024$ có $y(0)=2024\ne 0$, đồ thị không đi qua gốc toạ độ, và cực đại tại $x=0$ nằm đúng trên trục tung — không khớp hình vẽ. Xét A: $y=x^3-2024x$ là hàm lẻ, đồ thị đi qua gốc toạ độ, có cực đại tại $x=-\sqrt{2024/3}<0$ và cực tiểu tại $x=\sqrt{2024/3}>0$, dạng hình chữ N với hệ số dẫn dắt dương — khớp với đường cong trong hình. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với trục tung là điểm có hoành độ $x=0$. Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ $-2$ (điểm $(0;-2)$ được đánh dấu trên hình). Vậy tọa độ giao điểm với trục tung là $(0;-2)$, chọn đáp án A. Lưu ý: $(2;0)$ là giao điểm với trục hoành nên các phương án B, C, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba (loại C, D vì parabol không có cực đại lẫn cực tiểu). Hàm $y=-x^3+3x^2-4$ có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=-4$ và cực đại tại $x=2$ với $y(2)=-8+12-4=0$. Điều này khớp hoàn toàn với đồ thị: điểm cực tiểu $(0;-4)$, điểm cực đại $(2;0)$, và đi qua $x=-1$ với $y(-1)=1+3-4=0$. Hàm $y=x^3-4$ đơn điệu tăng, không có cực trị, không khớp. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=2$, và $y^{\prime }<0$ trên từng khoảng (hàm nghịch biến). Với $y=\frac{2x+1}{x-2}$: $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$; giới hạn ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$ — khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Kiểm tra phương án B: $y=\frac{2x-5}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ (đồng biến) nên sai. Các phương án C, D có mẫu $x+2$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$, sai. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có điểm cực đại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu $(1;-2)$, đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.
a) Đúng: điểm cực đại là $(-1;2)$.
b) Sai: đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (một điểm $x<-1$, điểm $x=0$ và một điểm $x>1$), vì $y_{CD}=2>0$, $y_{CT}=-2<0$.
c) Đúng: hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nên đồng biến trên $(1;+\infty )$.
d) Đúng: hai điểm cực trị $(-1;2)$ và $(1;-2)$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$ (tọa độ đối nhau).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại trên đồ thị là $(-1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y_{CD}=2>0$ và $y_{CT}=-2<0$, đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (trong đó có điểm $O(0;0)$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nên đồng biến trên $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị $(-1;2)$ và $(1;-2)$ có tọa độ đối nhau nên đối xứng qua gốc tọa độ $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=4x-3+\frac{1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=4x-3$. Đồ thị hàm số dạng này có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận đó, nên $I(2;5)$, tức $a=2$, $b=5$. Khi đó $a-3b=2-3\cdot 5=2-15=-13$. Kiểm tra: với mọi $x\ne 2$, $f(2+t)+f(2-t)=\left(8+4t-3+\frac{1}{t}\right)+\left(8-4t-3-\frac{1}{t}\right)=10=2b$, đúng là tâm đối xứng $I(2;5)$. Vậy $a-3b=-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba (có 2 điểm cực trị, đi từ $-\infty$ đến $+\infty$), loại C, D (hàm bậc bốn có dạng W/M). Trên hình, hàm đồng biến rồi nghịch biến rồi đồng biến, cực đại nằm bên trái gốc tọa độ với giá trị dương, cực tiểu bên phải với giá trị âm. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; tại $x=-1$ đạt cực đại $y=2>0$, tại $x=1$ đạt cực tiểu $y=-2<0$, đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Hàm $y=-x^3+3x$ cho cực đại bên phải, cực tiểu bên trái, ngược với hình. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=a{x}^3+3x+d$ có $y^{\prime }=3a{x}^2+3$. Đồ thị đi lên ở bên trái ($x\to -\infty ,y\to +\infty$) và đi xuống ở bên phải ($x\to +\infty ,y\to -\infty$), nên $a<0$. Giao điểm với trục tung là $(0;d)$ nằm dưới gốc tọa độ O (đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ âm theo trục y), nên $d<0$. Vậy $a<0,d<0$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có điểm cực tiểu tại $x=-1$ với $f(-1)=0$ và điểm cực đại tại $x=1$ với $f(1)=4$; đạo hàm $f^{\prime }(x)$ có dạng $-3x^2+3$ (dương trên $(-1;1)$). Xét $y=-x^3+3x+2$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=1-3+2=0$ (cực tiểu vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$), $y(1)=-1+3+2=4$ (cực đại). Các phương án khác: A có $y^{\prime }=-3x^2-6x$ với nghiệm $x=0,-2$; C có $y^{\prime }=3x^2-6x$ với nghiệm $x=0,2$; D có $y^{\prime }=3x^2-3$ nhưng $y(-1)=6\ne 0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh đều nghịch biến, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (dưới trục hoành). Loại C, D vì không có tiệm cận đứng. Xét A: $y=\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=2$, loại. Xét B: $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh; $y(0)=-1<0$ khớp với hình vẽ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0$ nên $\frac{d}{c}>0$ ($c$, $d$ cùng dấu). Tiệm cận ngang $y=\frac{b}{d}>0$ nên $b$, $d$ cùng dấu. Hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh nên $\frac{a}{c}<0$, tức $a$ trái dấu với $c$, do đó $a$ trái dấu với $d$ và với $b$: $ad<0$ và $ab<0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. a) Trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến → đúng. b) $y^{\prime }=0$ tại $x=\pm 1$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ nên điểm cực đại là $x=-1$ (không phải $x=1$) → sai. c) Trên đoạn $[2;5]$, $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến; GTNN tại $x=2$: $y(2)=8-6+1=3\ne 111$ (111 là $y(5)=125-15+1$) → sai. d) $A(-1;3)$ (cực đại), $B(1;-1)$ (cực tiểu), $C(1;2)$. $BC$ là đoạn thẳng đứng dài $|2-(-1)|=3$, khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $x=1$ là $2$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$, nên điểm cực đại là $x=-1$; tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;5]$ hàm đồng biến nên GTNN là $y(2)=3$, không phải 111 (111 = $y(5)$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(1;2)$: $BC=3$, khoảng cách từ $A$ đến $x=1$ bằng 2, $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là trục $Oy$ ($x=0$), tiệm cận xiên là đường $y=-x$ (đường thẳng đi qua gốc, hệ số góc $-1$), và đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$. Xét $y=\frac{-x^2+1}{x}=-x+\frac{1}{x}$: có TCĐ $x=0$, TCX $y=-x$, và $y=0\iff x=\pm 1$ (điểm $x=1$ nằm trong hình). Các phương án khác: A có TCĐ $x=-1$; C có TCĐ $x=1$ và TCX $y=x$; D là hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ và $x=0$, hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$; cực đại $f(-2)=2$, cực tiểu $f(0)=-2$. Xét đáp án A: $f(x)=x^3+3x^2-2$ có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$, nên $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>0$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<0$ — đúng dấu biến thiên. Ngoài ra $f(-2)=-8+12-2=2$ (cực đại) và $f(0)=-2$ (cực tiểu) khớp bảng biến thiên. Các đáp án khác: B có $f^{\prime }=-3x(x-2)$ với cực trị tại $x=0;2$ (sai); C có $f^{\prime }=x^2+2x=x(x+2)$, $f(-2)=-8/3+4-2=-2/3\ne 2$ (sai); D có $f^{\prime }=3x^2+3>0$ luôn đồng biến (sai). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{2x-1}$ xác định khi $2x-1\ne 0\iff x\ne \frac{1}{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$: mệnh đề a đúng.
Ta có $y^{\prime }=\frac{1\cdot (2x-1)-2(x+2)}{(2x-1{)}^2}=\frac{2x-1-2x-4}{(2x-1{)}^2}=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$, nên mệnh đề c sai (không phải $\frac{3}{(2x-1{)}^2}$).
Vì $y^{\prime }=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}\ne 0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$, hàm số không có cực trị: mệnh đề b đúng.
Vì $y^{\prime }<0$ trên mỗi khoảng xác định $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$: mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-1\ne 0\iff x\ne \frac{1}{2}$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}\ne 0$ trên tập xác định nên hàm số không có cực trị: đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(2x-1)-2(x+2)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{3}{(2x-1{)}^2}$: sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên từng khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$: sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng đường cong bậc ba đi lên từ $-\infty$ (nhánh trái đi xuống từ $+\infty$), có một điểm cực tiểu bên trái trục tung và một điểm cực đại bên phải trục tung, cắt trục tung tại điểm $(0;1)$. Loại A (parabol bậc hai) và C (bậc bốn có 2 nhánh cùng hướng). Xét B: $y=-x^3+3x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+3$, cực đại tại $x=-1$ (bên trái) và cực tiểu tại $x=1$ (bên phải) — trái với hình vẽ. Xét D: $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3$, cực tiểu tại $x=-1$ với $y(-1)=-1$ (dưới trục hoành, bên trái) và cực đại tại $x=1$ với $y(1)=3$ (bên phải), $y(0)=1$ — khớp hoàn toàn với đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $c-1=0\Rightarrow c=1$. Tiệm cận ngang là $y=-1$ nên $\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=2$: $\frac{2a+b}{2c-1}=0\Rightarrow 2a+b=0\Rightarrow b=2$. Vậy $S=a+b+c=-1+2+1=2$.