Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=-3x^2-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, đồ thị đi qua $(0;2)$ và $(1;0)$, tương ứng với Hình 4.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$ và cắt trục tung tại $(0;-1)$, tương ứng với hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

a) Tiệm cận ngang là $y=1$ (Sai). b) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0,\forall x\ne 1$, nên hàm số không có cực trị (Đúng). c) Hàm số không xác định tại $x=1$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (Sai). d) Trên $[2;5]$, hàm số đồng biến nên ${\max }_{[2;5]}f(x)=f(5)=\frac{3}{4}$ (Đúng).

Giao điểm hai đường tiệm cận $x=\frac{1}{2}$ và $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ là điểm $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, đó là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$ và đi qua $(0;1)$, $\left(-\frac{1}{2};0\right)$, tương ứng với hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$.

Hàm số $y=-x^3+3x^2-1$ có điểm cực tiểu $(0;-1)$ và điểm cực đại $(2;3)$, tương ứng với Hình 2.

Bảng biến thiên là của hàm bậc ba có hệ số $a<0$, đạt cực tiểu tại $x=-1$ ($y=-2$) và cực đại tại $x=1$ ($y=2$), phù hợp với hàm số $y=-x^3+3x$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x$ và đi qua điểm $(0;2)$, phù hợp với hàm số $y=x+\frac{2}{x+1}=\frac{x^2+x+2}{x+1}$.

Ta có $y=x+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0⟺x=0$ (cực đại) hoặc $x=2$ (cực tiểu) (Đúng). b) Hàm số gián đoạn tại $x=1\in (0;2)$ (Sai). c) Tiệm cận đứng là $x=1$ (Đúng). d) Tiệm cận xiên là $y=x$, vuông góc với đường thẳng $x+y+6=0$ (Sai).

a) Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $(-\infty ;2)$ (Sai). b) $f(x)+1=0⟺f(x)=-1\in (-2;1)$, nên phương trình có $3$ nghiệm thực phân biệt (Đúng). c) Điểm cực tiểu của hàm số là $x=2$ (Đúng). d) Hàm số nghịch biến trên $(-1;2)$ nên nghịch biến trên $(0;1)$ (Đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0110, trang 5), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án D.

Đường cong là đồ thị hàm đa thức bậc ba có nhánh cuối đi xuống khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a<0$. Đồ thị đi qua điểm cực tiểu $(0;-4)$ và cực đại $(2;0)$. Hàm số thỏa mãn là $y=-x^3+3x^2-4$.

a) Sai. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3$.
b) Đúng. Vì $f^{\prime }(x)=3(x^2-1)<0,\forall x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
c) Đúng. Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6x=0\iff x=0\Rightarrow y=f(0)=-1$, nên điểm uốn $I(0;-1)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
d) Đúng. Đồ thị đi qua $(-1;1)$, $(0;-1)$, $(1;-3)$ và có nhánh phải đi lên nên đúng như hình vẽ.

a) Đúng. Điều kiện xác định $x+1\ne 0\iff x\ne -1$, nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) Sai. Ta có $y^{\prime }=\frac{2\cdot 1-1\cdot (-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$.
c) Sai. Vì $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in (-\infty ;-1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.
d) Đúng. Do hàm số đồng biến trên nửa khoảng $[-2;-1)$ nên ${\min }_{[-2;-1)}y=y(-2)=\frac{2(-2)-1}{-2+1}=5$.

Ta có $y=3-\frac{4}{x-1}$ ($x\ne 1$), tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=3$.
a) Tích khoảng cách từ $M(x;y)\in (C)$ đến hai tiệm cận là $|x-1|\cdot |y-3|=|x-1|\cdot \frac{4}{|x-1|}=4$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=\frac{4}{(x-1{)}^2}>0,\forall x\ne 1$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. Đúng.
c) Vì $f(x)$ đồng biến trên $[-1;1)$ nên ${\min }_{[-1;1)}f(x)=f(-1)=\frac{-10}{-2}=5\ne 2$. Sai.
d) Giao điểm hai đường tiệm cận $I(1;3)$ là tâm đối xứng của $(C)$. Đúng.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$ và cắt trục hoành tại điểm $(3;0)$, cắt trục tung tại $\left(0;\frac{3}{2}\right)$, phù hợp với hàm số $y=\frac{x-3}{x-2}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3$ (ý c đúng). Tại $x=3$: $y(3)=20,y^{\prime }(3)=24$, tiếp tuyến là $y=24(x-3)+20=24x-52$ (ý a đúng). Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $y_{\text{CĐ}}=4$ và đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{\text{CT}}=0$ (nên ý b sai, và bảng biến thiên ở ý d ghi giá trị cực tiểu bằng $2$ là sai).

a) Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ (Đúng). b) $y=-x+4-\frac{9}{x+2}⟹y^{\prime }=-1+\frac{9}{(x+2{)}^2}=\frac{-(x+2{)}^2+9}{(x+2{)}^2}$ (Sai). c) Hàm số không xác định tại $x=-2\in (-5;1)$ (Sai). d) Tiệm cận xiên là $y=-x+4\ne -x$ (Sai).

a) Đồ thị cắt trục hoành tại $(4;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-1)$ (Sai). b, c) $y^{\prime }=\frac{1\cdot 4-2(-4)}{(2x+4{)}^2}=\frac{12}{(2x+4{)}^2}>0,\forall x\ne -2$, nên ý c sai và hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ (ý b đúng). d) Tiệm cận đứng là $x=-2$ (Đúng).

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=-3$, nên tâm đối xứng là $I(-2;-3)$, suy ra hoành độ $a=-2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 1 (Phần II, câu 13): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Lời giải chi tiết:

- a) ĐÚNG: Điều kiện xác định $x-1\ne 0⟺x\ne 1$. Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

- b) SAI: Cho $x=0⟹y=\frac{6}{-1}=-6$. Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $M(0;-6)$, không phải $(0;-5)$.

- c) ĐÚNG: Chia đa thức: $\frac{x^2-3x+6}{x-1}=x-2+\frac{4}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x-2)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$. Vậy đường thẳng $y=x-2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

- d) SAI: Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0⟺x=-1$ hoặc $x=3$. Qua $x=-1$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên $x=-1$ là điểm cực đại của hàm số, không phải điểm cực tiểu.