Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có hai điểm cực trị tại $(0;2)$ và $(2;-2)$, và đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=3$ (các điểm được đánh dấu trên hình). Vậy $f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)$. Tại $x=0$: $f(0)=a(1)(-1)(-3)=3a=2\Rightarrow a=\frac{2}{3}$. Kiểm tra: $f(2)=a(3)(1)(-1)=-3a=-2$ ✓. Do đó $S=a+b+c+d=f(1)=a(2)(0)(-2)=0$. Vậy $S=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (đúng với mẫu $x+1$) và tiệm cận ngang $y=a$. Từ hình, tiệm cận ngang nằm trên trục hoành nên $a>0$. Hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh nên $y^{\prime }=\frac{a-b}{(x+1{)}^2}<0\Rightarrow a-b<0\Rightarrow a<b$. Tại $x=0$, $y=b$ và đồ thị cắt trục tung tại điểm dương nên $b>0$. Vậy $0<a<b$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x+2}{x+2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x+2)-(x^2+x+2)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2{)}^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2{)}^2}$. a) Trên $(-4,-2)$ và $(-2,0)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên các khoảng đó, mệnh đề SAI. b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-4$ (đều thuộc tập xác định), hàm đổi dấu qua hai điểm này nên có hai điểm cực trị: cực đại tại $x=-4$ với $f(-4)=\frac{16-4+2}{-2}=-7$, cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=1$; mệnh đề ĐÚNG. c) Giá trị cực đại bằng $-7$, tuy nhiên $-7$ chỉ là giá trị cực đại chứ không phải giá trị lớn nhất: vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định, mệnh đề SAI. d) Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, hàm số không có GTLN và GTNN trên tập xác định; mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=x(x+4)/(x+2)^2 < 0 trên (-4,-2) và (-2,0), nên hàm không đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=0 tại x=-4 và x=0, hàm đổi dấu qua mỗi điểm nên có hai điểm cực trị (cực đại f(-4)=-7, cực tiểu f(0)=1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại của hàm số là f(-4)=-7, nhưng -7 chỉ là giá trị cực đại chứ không phải giá trị lớn nhất: khi x→+∞ thì f(x)→+∞ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định. Mệnh đề SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì lim f(x) khi x→+∞ là +∞ và khi x→−∞ là −∞, hàm không có GTLN và GTNN trên tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên (đường nét đứt) có hệ số góc $1$, cực tiểu tại $(1;3)$, cực đại tại $(-3;-5)$. Xét phương án B: $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}=x+\frac{4}{x+1}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$; $y(1)=1+2=3$ (cực tiểu), $y(-3)=-3-2=-5$ (cực đại); TCX $y=x$, TCĐ $x=-1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án A: $2x^2+3x+1=(x+1)(2x+1)$ nên $y=2x+1$ (đường thẳng, không có TCĐ). Phương án C: $y=-x-3+\frac{13}{x+1}$, TCX $y=-x-3$ (hệ số góc âm), không khớp. Phương án D: $y=3x+2-\frac{4}{x+1}$, có $y(1)=3$, $y(-3)=-5$ nhưng TCX là $y=3x+2$ (hệ số góc 3), không khớp đường nét đứt hệ số góc 1. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có TCĐ $x=-1$ và TCX $y=x+1$ (đường thẳng đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$). Nhánh phải đi qua $(0;2)$, nhánh trái có điểm 'đỉnh' $(-2;-2)$.

a) Sai. Trên $(-2;0)$ hàm số không xác định tại $x=-1$ (TCĐ), và nhánh trái có cực đại tại $x=-2$ nên hàm không nghịch biến trên khoảng này.
b) Đúng. Đồ thị tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
c) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của TCĐ và TCX: $I(-1;0)$.
d) Đúng. Đồ thị tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+1$ (hệ số góc 1, đi qua $(0;1)$ và $(-1;0)$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=-1$ thuộc khoảng $(-2;0)$, hơn nữa nhánh trái đạt cực đại tại $x=-2$ nên hàm không nghịch biến trên $(-2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên TCĐ là $x=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của TCĐ $x=-1$ và TCX $y=x+1$, tức $I(-1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tiệm cận xiên trong hình là đường thẳng qua $(0;1)$ và $(-1;0)$, có phương trình $y=x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=0$, không có tiệm cận ngang (giới hạn khi $x\to \pm \infty$ là $\pm \infty$). Xét $y=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x$: có $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}-1<0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$. Khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to -\infty$, khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$; khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án A, B có tiệm cận đứng $x=-1$ và có tiệm cận ngang, không phù hợp; phương án D có $y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}>0$ (đồng biến) và có tiệm cận ngang $y=x$, cũng không phù hợp. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên có: tiệm cận đứng $x=-1$, cực đại tại $x=-3$ với $y=-4$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=4$; trên $(-\infty ;-1)$ hàm tăng từ $-\infty$ đến $-4$ rồi giảm về $-\infty$, trên $(-1;+\infty )$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $4$ rồi tăng lên $+\infty$. Xét $y=\frac{x^2+2x+5}{x+1}=x+1+\frac{4}{x+1}$, có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=-3$ hoặc $x=1$. Tại $x=-3$: $y=\frac{9-6+5}{-2}=-4$ (cực đại, vì $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$). Tại $x=1$: $y=\frac{1+2+5}{2}=4$ (cực tiểu, vì $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<1$, $y^{\prime }>0$ khi $x>1$). Khi $x\to (-1{)}^{\pm }$, $y\to \pm \infty$ phù hợp nhánh trái đi xuống $-\infty$ và nhánh phải đi xuống từ $+\infty$. Các phương án A, B có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{x^2+2x-2}{(x+1{)}^2}$ (A) hoặc $y^{\prime }=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$ (B) cho cực trị tại các điểm khác, và C có tiệm cận đứng $x=0$, đều không khớp bảng biến thiên. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên (trang 19): hàm số có tiệm cận đứng $x=1$; đạt cực đại $y=-5$ tại $x=-1$; đạt cực tiểu $y=3$ tại $x=3$; khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$, khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$.
a) Sai: do mẫu số $dx+e=0$ tại $x=1$ (tiệm cận đứng), tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}$.
b) Đúng: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
c) Đúng: khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$, nên đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận xiên).
d) Đúng: trên $(1;+\infty )$, hàm số nghịch biến trên $(1;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=3$ với $y_{\min }=3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì mẫu số bằng 0 tại x=1 (tiệm cận đứng), tập xác định là D=R\{1}, không phải R.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
y'>0 trên (-∞;-1) và y'>0 trên (3;+∞) nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khi x→-∞ thì y→-∞ và khi x→+∞ thì y→+∞, nên đồ thị không có tiệm cận ngang (có tiệm cận xiên).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên (1;+∞) hàm số nghịch biến trên (1;3), đồng biến trên (3;+∞), nên GTNN đạt tại x=3 với giá trị y=3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-3}$ có $y^{\prime }=\frac{(x-3)-(x+1)}{(x-3{)}^2}=\frac{-4}{(x-3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 3$. a) Sai: vì $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;3)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. b) Đúng: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$. c) Sai: trên $[4;7]$ hàm nghịch biến nên GTLN $=y(4)=\frac{5}{1}=5$, GTNN $=y(7)=\frac{8}{4}=2$, tỉ số $=\frac{5}{2}\ne \frac{5}{4}$. d) Đúng: phương trình $\frac{x+1}{x-3}=x-m\iff x+1=(x-m)(x-3)\iff x^2-(m+4)x+(3m-1)=0$ có $\Delta =(m+4{)}^2-4(3m-1)=m^2-4m+20=(m-2{)}^2+16>0$ với mọi $m$. Kiểm tra $x=3$ không phải nghiệm (thay vào được $-4=0$, vô lý), nên đường thẳng luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt với mọi $m\in \mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-4}{(x-3{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;3)$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+1}{x-3}=1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[4;7]$ hàm nghịch biến: GTLN $=y(4)=5$, GTNN $=y(7)=2$, tỉ số $=\frac{5}{2}\ne \frac{5}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm $x^2-(m+4)x+(3m-1)=0$ có $\Delta =m^2-4m+20=(m-2{)}^2+16>0$ với mọi $m$, và $x=3$ không phải nghiệm, nên luôn có 2 giao điểm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x)=3ax^2+2bx+c có hai nghiệm x=-2 và x=0 nên c=0 và f'(-2)=0 ⇒ 12a-4b=0 ⇒ b=3a. f(0)=4 ⇒ d=4. Vì y→-∞ khi x→+∞ nên a<0. Chọn a=-1: f(x)=-x^3-3x^2+4 (kiểm tra f(-2)=8-12+4=0 đúng).
a) Khi x→-∞ thì y→+∞ nên hàm số không có GTLN trên ℝ; giá trị 4 chỉ là cực đại. Sai.
b) Trên (-∞;-2) hàm giảm từ +∞ xuống 0, trên (-2;0) tăng từ 0 lên 4, trên (0;+∞) giảm từ 4 xuống -∞, nên đường thẳng y=2 cắt đồ thị tại đúng 3 điểm phân biệt. Đúng.
c) f(-4)=-(-64)-3(16)+4=64-48+4=20, nên đồ thị đi qua (-4;20). Đúng.
d) a<0, b=3a<0, c=0, d=4>0: có đúng hai hệ số âm (a và b). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì y→+∞ khi x→-∞ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên ℝ; 4 chỉ là cực đại tại x=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đơn điệu từng khoảng: giảm từ +∞ về 0 trên (-∞;-2), tăng từ 0 lên 4 trên (-2;0), giảm từ 4 về -∞ trên (0;+∞), nên y=2 cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với f(x)=-x^3-3x^2+4 thì f(-4)=64-48+4=20, nên đồ thị đi qua điểm (-4;20).
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ bảng: c=0, b=3a, d=4, a<0 nên a<0, b<0, c=0, d>0: đúng hai hệ số âm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=-4$, cực đại tại $x=2$ với $f(2)=0$, và đi qua điểm $(-1;0)$. Vậy $f(x)=a(x+1)(x-2{)}^2$; vì $f(0)=4a=-4\Rightarrow a=-1$, suy ra $f(x)=-(x+1)(x-2{)}^2=-x^3+3x^2-4$. Khi đó $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$.
a) Trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến → sai.
b) Đồ thị cho thấy $x=0$ là điểm cực tiểu (đáy lòng chảo, $f(0)=-4$); điểm cực đại là $x=2$ → sai.
c) Trên đoạn $[-1;1]$ hàm số nghịch biến nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=1$ (và $x=0$) bằng $-4$ → đúng.
d) $a+b+c+d=f(1)=-4\ne 10$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=-3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cho thấy $x=0$ là điểm cực tiểu (đáy lòng chảo, $f(0)=-4$); điểm cực đại là $x=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=-x^3+3x^2-4$: $f(-1)=0$, $f(0)=-4$, $f(1)=-4$. Trên đoạn $[-1;1]$ hàm số nghịch biến nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=1$ (và $x=0$) bằng $-4$ → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$a+b+c+d=f(1)=-4\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Chia đa thức: $y=\frac{(x+2)(2x-3)+5}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$. Suy ra $y^{\prime }=2-\frac{5}{(x+2{)}^2}=\frac{2(x+2{)}^2-5}{(x+2{)}^2}=\frac{2x^2+8x+3}{(x+2{)}^2}$. Vì $(x+2{)}^2>0$ với mọi $x\ne -2$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $2x^2+8x+3$. Cho $y^{\prime }=0$: $2x^2+8x+3=0\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{10}}{2}$. Tam thức $2x^2+8x+3$ dương khi $x<\frac{-4-\sqrt{10}}{2}$ hoặc $x>\frac{-4+\sqrt{10}}{2}$, âm khi $\frac{-4-\sqrt{10}}{2}<x<\frac{-4+\sqrt{10}}{2}$ (loại $x=-2$). Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;\frac{-4-\sqrt{10}}{2}\right)$ và $\left(\frac{-4+\sqrt{10}}{2};+\infty \right)$; nghịch biến trên $\left(\frac{-4-\sqrt{10}}{2};-2\right)$ và $\left(-2;\frac{-4+\sqrt{10}}{2}\right)$. Hàm số đạt cực đại tại $x_1=\frac{-4-\sqrt{10}}{2}$: do $x_1+2=-\frac{\sqrt{10}}{2}$ nên $\frac{5}{x_1+2}=-\sqrt{10}$, và $2x_1-3=-7-\sqrt{10}$, do đó $y_{CĐ}=2x_1-3+\frac{5}{x_1+2}=-7-2\sqrt{10}$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x_2=\frac{-4+\sqrt{10}}{2}$: do $x_2+2=\frac{\sqrt{10}}{2}$ nên $\frac{5}{x_2+2}=\sqrt{10}$, và $2x_2-3=-7+\sqrt{10}$, do đó $y_{CT}=-7+2\sqrt{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $bx+c=0$ tại $x=-2$, tức $c=2b$. Tiệm cận ngang $y=-2$ nên $\frac{a}{b}=-2$, tức $a=-2b$. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng nên $f^{\prime }(x)=\frac{ac+5b}{(bx+c{)}^2}>0$, suy ra $ac+5b>0$. Thay $c=2b,a=-2b$: $-4b^2+5b>0\iff 0<b<\frac{5}{4}$, do đó $b>0$, $a=-2b<0$, $c=2b>0$. Kiểm tra chiều tiệm cận: khi $x\to (-2{)}^{-}$, mẫu $b(x+2)<0$, tử $-2bx-5\to 4b-5<0$ (vì $b<5/4$) nên $f\to +\infty$; khi $x\to (-2{)}^{+}$ thì $f\to -\infty$ — khớp bảng biến thiên. Vậy trong ba số chỉ có $a$ âm: đúng 1 số âm. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x = -2, tiệm cận xiên y = x + 1, cực tiểu tại (-1; 1), cực đại tại (-3; -3). Suy ra f(x) = x + 1 + k/(x+2); vì f(-1) = 1 nên k = 1 (kiểm tra f(-3) = -2 - 1 = -3 đúng). Vậy f(x) = x + 1 + 1/(x+2) với m = 1, n = 2.
a) f'(x) = 1 - 1/(x+2)^2 > 0 với mọi x ≠ -2, nên hàm đồng biến trên (-∞; -2) và (-2; +∞), do đó đồng biến trên các khoảng con (-∞; -3) và (-1; +∞). Đúng.
b) Vì f đồng biến trên (-2; +∞) và 2025, 2026 thuộc khoảng này nên f(2025) < f(2026). Đúng.
c) Tiệm cận đứng là x = -2 (không phải x = -3), tiệm cận xiên y = x + 1. Do khẳng định x = -3 sai. Sai.
d) Với m = 1: y = f(x) + 3m = x + 4 + 1/(x+2) trên (-2; 0). y' = 1 - 1/(x+2)^2 = 0 tại x = -1, y(-1) = -1 + 4 + 1 = 4. Giá trị nhỏ nhất bằng 4, không phải 7. Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai — khớp đáp án mã đề 1202 (DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) = 1 - 1/(x+2)^2 > 0 với mọi x ≠ -2, nên f đồng biến trên (-∞; -2) và (-2; +∞), kể cả trên các khoảng con (-∞; -3) và (-1; +∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên (-2; +∞) nên với 2025 < 2026 ta có f(2025) < f(2026).
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận đứng là x = -2 (không phải x = -3); tiệm cận xiên y = x + 1 đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với m = 1: y = f(x) + 3 = x + 4 + 1/(x+2) trên (-2; 0) đạt最小 tại x = -1 với giá trị 4, không phải 7.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực tiểu tại $x=0$ với $y=-4$ và điểm cực đại tại $x=2$ với $y=0$. Xét $y=-x^3+3x^2-4$: $y(0)=-4$, $y(2)=-8+12-4=0$; $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $y^{\prime \prime }=-6x+6$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu ($y=-4$), $x=2$ là điểm cực đại ($y=0$). Ngoài ra $y(3)=-27+27-4=-4$ khớp với đồ thị đi qua điểm có hoành độ 3, tung độ $-4$. Các phương án khác không khớp: A có cực đại tại $x=0$, B có cực đại tại $x=0$ và $y(0)=-4$ nhưng cực tiểu tại $x=-2$ với $y=-8+12-4=0$ (không khớp vị trí cực đại tại $x=2$), C có $y^{\prime }=3x^2-3$ cho cực trị tại $x=\pm 1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1202, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-2$, nhánh phải đạt cực tiểu tại $(-1;-3)$, đồ thị đi qua $(0;1)$. Viết $f(x)=\alpha x+\beta +\frac{k}{x+2}$. Vì $f^{\prime }(x)=\alpha -\frac{k}{(x+2{)}^2}=0$ tại $x=-1$ nên $k=\alpha$; $f(-1)=-\alpha +\beta +\alpha =\beta =-3$; $f(0)=\beta +\frac{\alpha }{2}=1\Rightarrow \alpha =8$. Vậy $f(x)=8x-3+\frac{8}{x+2}=\frac{8x^2+13x+2}{x+2}$, tiệm cận xiên $y=8x-3$, tiệm cận đứng $x=-2$.
a) $f^{\prime }(x)=8-\frac{8}{(x+2{)}^2}>0\iff (x+2{)}^2>1\iff x<-3$ hoặc $x>-1$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$ → Đúng.
b) $2025,2026\in (-1;+\infty )$ và hàm đồng biến trên khoảng này nên $f(2025)<f(2026)$ → Đúng.
c) Tiệm cận đứng là $x=-2$ (không phải $x=-3$) và tiệm cận xiên là $y=8x-3$ (không phải $y=x+1$) → Sai.
d) Trên $(-2;0)$, $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ với $f(-1)=-3$. Khi $m=2$, $y=f(x)+3m=f(x)+6$ có giá trị nhỏ nhất $-3+6=3\ne 7$ → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai — khớp đáp án mã đề 1201 (DDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=8-\frac{8}{(x+2{)}^2}>0\iff x<-3$ hoặc $x>-1$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;+\infty )$ hàm số đồng biến nên với $2025,2026$ thuộc khoảng này ta có $f(2025)<f(2026)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận đứng là $x=-2$ và tiệm cận xiên là $y=8x-3$, không phải $x=-3$ và $y=x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;0)$, $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$ với $f(-1)=-3$; với $m=2$, $y=f(x)+6$ có giá trị nhỏ nhất $3\ne 7$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) Theo quy tắc thương: $f^{\prime }(x)=\frac{(-2x+1)(x+1)-(-x^2+x-2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{-2x^2-2x+x+1+x^2-x+2}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2}$. Mệnh đề đúng.

b) $f^{\prime }(x)>0\iff -x^2-2x+3>0\iff -3<x<1$. Trên $(1;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến. Mệnh đề sai.

c) Chia đa thức: $\frac{-x^2+x-2}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$, nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=-x+2$. Mệnh đề đúng, khớp với đáp án nguồn (ý c) được gạch chân trên trang đáp án, trang 7).

d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Ta có $f(1)=\frac{-1+1-2}{2}=-1$ và $f(-3)=\frac{-9-3-2}{-2}=7$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;-1)$ và $(-3;7)$ có hệ số góc $\frac{7-(-1)}{-3-1}=-2$, phương trình $y=-2x+1\ne -x+1$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(-2x+1)(x+1)-(-x^2+x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2}$. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)>0\iff -3<x<1$; trên $(1;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến. Mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{-x^2+x-2}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=-x+2$. Mệnh đề đúng, khớp với đáp án nguồn (ý c) được gạch chân trên trang đáp án, trang 7).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực trị tại $x=1$, $x=-3$ với $f(1)=-1$, $f(-3)=7$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y=-2x+1$, không phải $y=-x+1$. Mệnh đề sai.

Lời giải. Đáp số: 7280.
$f(x)=x^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$.
Từ đồ thị ta được $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(-1)=0\\ f^{\prime }(2)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3-2b+c=0\\ 12+4b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=\frac{-3}{2}\\ c=-6\end{array}$.
Suy ra $f(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2-6x+d\Rightarrow f(20)-f(0)=7280$.