Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba: đi xuống từ trái, đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ âm (bên trái trục tung), đi lên đạt cực đại tại điểm có hoành độ dương (bên phải trục tung), rồi đi xuống. Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$, nên cực tiểu tại $x=-1<0$ và cực đại tại $x=1>0$ — khớp với hình. Với $y=x^3-3x+1$ (D) thì cực đại tại $x=-1$ (bên trái) và cực tiểu tại $x=1$ (bên phải), ngược với hình. Các hàm A, B là hàm phân thức có tiệm cận, không phải đường cong trong hình. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ Câu 30 (trang 49): đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đường đứt nét bên phải trục $Oy$) và tiệm cận ngang $y=1$ (đường đứt nét phía trên trục hoành); hai nhánh đều nghịch biến; nhánh trái đi qua điểm $y(0)=-1$ gần gốc tọa độ, cắt trục hoành tại $x=-1$.
- Loại A, B vì có tiệm cận đứng $x=-1$.
- Loại C vì $y=\frac{-2x+1}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=-2$.
- Với $y=\frac{x+1}{x-1}$: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng nhánh; $y(0)=-1$, cắt $Ox$ tại $x=-1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Câu 37, trang 50): đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, nhánh trái nằm dưới trục hoành với cực đại giá trị âm, nhánh phải nằm trên trục hoành với cực tiểu giá trị dương.
- Loại C vì tiệm cận đứng $x=-1$; loại D vì tiệm cận đứng $x=2$.
- Xét A: $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, cực đại tại $x=0$ với $y(0)=1>0$, mâu thuẫn với hình (cực đại âm) → loại.
- Xét B: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$: cực đại tại $x=0$, $y(0)=-1<0$ (phù hợp); cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=3>0$ (phù hợp); tiệm cận xiên $y=x$ cũng phù hợp.
Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Câu 41, trang 50): đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (đường nét đứt thẳng đứng) và tiệm cận ngang $y=1$ (đường nét đứt song song với trục $Ox$, phía trên trục hoành). Do đó hàm số có dạng $y=\frac{x-a}{x-2}$ với hệ số của tiệm cận ngang bằng $1$, tức $a=-2$, suy ra $y=\frac{x+2}{x-2}$. Kiểm tra: $y=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$, có $y^{\prime }=\frac{-4}{(x-2{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh; nhánh phải ($x>2$) nằm trên tiệm cận ngang $y=1$ và giảm dần về $1$, nhánh trái ($x<2$) nằm dưới tiệm cận và đi xuống $-\infty$ khi $x\to 2^{-}$; tại $x=0$ có $y=-1<0$ nên đồ thị cắt trục tung phía dưới gốc $O$ — hoàn toàn khớp hình vẽ. Các phương án khác: A có TCĐ $x=-2$ (loại); B có TCN $y=2$ (loại); C có TCN $y=1$ nhưng $y=1+\frac{3}{x-2}$ nên nhánh phải nằm dưới tiệm cận và $y(0)=-\frac{1}{2}$, không khớp hình (loại). Vậy đáp án là $y=\frac{x+2}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục $Oy$ có hoành độ $x=0$. Thay vào hàm số: $y=\frac{2\cdot 0-4}{0-1}=\frac{-4}{-1}=4$. Vậy giao điểm là $(0;4)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm bậc ba đi xuống từ trái, có một cực tiểu dưới trục hoành (gần gốc tọa độ) và một cực đại nằm trên trục hoành (tiếp xúc trục hoành), nên loại A (hàm phân số có tiệm cận). Xét $y=-x^3+3x^2-4$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=-4$ (cực tiểu, dưới trục hoành); tại $x=2$: $y=-8+12-4=0$ (cực đại nằm trên trục hoành). Điều này khớp hoàn toàn với hình vẽ. Phương án B: $y=x^3+3x^2-4$ có cực đại tại $x=0$, $y=-4$ và cực tiểu tại $x=-2$, $y=-8$ — dạng ngược, không khớp. Phương án C: $y=-x^3+3x-4$ có cực đại tại $x=1$, $y=-2$ (không nằm trên trục hoành) và cực tiểu tại $x=-1$, $y=-6$, không khớp hình. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba với hệ số $a>0$ (nhánh trái đi xuống, nhánh phải đi lên), có cực đại tại $x<0$ và cực tiểu tại $x>0$, và cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương. Loại A (parabol) và D (hàm phân thức có tiệm cận). Xét B: $y=-x^3+3x+1$ có $a<0$, cực đại tại $x=1>0$, cực tiểu tại $x=-1<0$ — trái với hình. Xét C: $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, cực đại tại $x=-1$ với $y(-1)=3>0$, cực tiểu tại $x=1$ với $y(1)=-1<0$, và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với đường cong trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ (nằm bên trái trục $Oy$), nên loại B, D (có tiệm cận đứng $x=1$). Còn lại xét A và C, cả hai đều có tiệm cận ngang $y=2>0$ đúng với hình. Xét giao điểm với trục $Oy$: với A, $y(0)=\frac{1}{1}=1>0$; với C, $y(0)=\frac{-1}{1}=-1<0$. Trên đồ thị, nhánh phải cắt trục $Oy$ tại điểm âm (đồ thị đi lên từ dưới cắt trục hoành gần gốc rồi tiến tới tiệm cận ngang dương), nên $y(0)<0$, tương ứng với phương án C. Kiểm tra thêm: với $y=\frac{2x-1}{x+1}$, $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi nhánh, đúng như hình.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị Câu 52: khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống), nên hệ số $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $y(0)=d$ nằm dưới gốc tọa độ, nên $d<0$. Vậy $a<0,d<0$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ ở trang 54 cho thấy: tiệm cận đứng là $x=1$ (nằm bên phải trục $Oy$), nên loại C, D (mẫu $x+1$ cho tiệm cận đứng $x=-1$). Xét A: $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, có tiệm cận xiên $y=x+2$ với hệ số góc dương, đúng như hình. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$; nhánh trái có cực đại tại $x=0$ với $y(0)=1>0$ (cực đại nằm trên trục hoành, khớp hình), rồi giảm xuống $-\infty$ khi $x\to 1^{-}$; nhánh phải có cực tiểu tại $x=2$ với $y(2)=5>0$ (cực tiểu phía trên trục hoành, khớp hình). Với B: $y=x+2+\frac{3}{x-1}$, cực đại nhánh trái tại $x=1-\sqrt{3}\approx -0,73$ có giá trị $3-2\sqrt{3}\approx -0,46<0$, nhánh trái nằm dưới trục hoành — trái với hình. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành khi $y=0$, tức tử số bằng 0 (với $x\ne 1$). Xét từng phương án:
- A: $3x+2=0\Rightarrow x=-\frac{2}{3}<0$.
- B: $-2x+4=0\Rightarrow x=2>0$, thỏa mãn.
- C: $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}<0$.
- D: $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}<0$.
Vậy chỉ có hàm số $y=\frac{-2x+4}{x-1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=a{x}^3+3x+d$ có $y^{\prime }=3a{x}^2+3$. Đồ thị có cực đại và cực tiểu nên $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt, do đó $a<0$. Khi đó $y^{\prime }=3(1-|a|x^2)$... chính xác $y^{\prime }=0\iff x^2=-1/a$, hai cực trị tại $x=\pm \sqrt{-1/a}$. Trên hình, cực đại nằm bên phải trục tung ($x>0$) và cực tiểu nằm bên trái ($x<0$), phù hợp với $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (điểm $y(0)=d<0$), nên $d<0$. Vậy $a<0,d<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$: tiệm cận đứng $x=1$ nên $-\frac{d}{c}=1\Rightarrow d=-c$; tiệm cận ngang $y=-1$ nên $\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-c$; đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$ nên $ax+b=0$ tại $x=2$, tức $-\frac{b}{a}=2\Rightarrow b=-2a=2c$. Do đó $$T=\frac{a-2b+3d}{c}=\frac{-c-4c-3c}{c}=-8.$$ Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đi từ $-\infty$ đến $+\infty$), có cực đại tại $x<0$ và cực tiểu tại $x>0$, cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương. Loại C (parabol) và A (hàm bậc ba đi xuống). Xét D: $y=x^3-3x+1$, $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ với $y=3$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=-1$, và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Xét B: $y=x^3-3x^2-1$ có $y^{\prime }=3x(x-2)=0$ tại $x=0,2$, cực đại tại $x=0$ với $y=-1<0$, không khớp. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho hàm bậc ba với $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$ và $x=1$, giảm – tăng – giảm, cực tiểu $f(-1)=-2$, cực đại $f(1)=2$, và ${\lim }_{x\to -\infty }f=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f=-\infty$ (hệ số của $x^3$ âm). Xét $y=-x^3+3x$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime }<0$ khi $|x|>1$, $y^{\prime }>0$ khi $|x|<1$; $y(-1)=1-3=-2$ (cực tiểu), $y(1)=-1+3=2$ (cực đại). Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án A ngược dấu, B và D là hàm bậc hai nên loại.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi xuống khi $x\to +\infty$ nên $a<0$. Tại $x=0$, đồ thị cắt trục tung dưới gốc tọa độ nên $d=y(0)<0$. Vậy $a<0,d<0$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với $a<0$ (chiều đi xuống từ trái trên xuống, rồi lên, rồi xuống). Loại A, D. Đồ thị có điểm cực tiểu tại $x=0$ với tung độ âm và điểm cực đại tại $x=2$ với tung độ dương. Xét $y=-x^3+3x^2-2$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=-2<0$ (cực tiểu), $y(2)=-8+12-2=2>0$ (cực đại) — khớp với đồ thị. Với $y=-x^3+3x^2+2$ thì $y(0)=2>0$, không khớp. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hypebol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;-1)$, tức $a=1,b=-1$. Khi đó $T=2a-3b=2\cdot 1-3\cdot (-1)=2+3=5$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $y=0^3-3\cdot 0^2-2=-2$. Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $-2$, chọn D.