Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có cực đại tại $x=0$ với giá trị $3$, cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $-1$.
a) Sai: Đường thẳng $y=2$ (với $-1<2<3$) cắt đồ thị hàm bậc ba tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình $f(x)-2=0$ có 3 nghiệm, không phải đúng hai nghiệm.
b) Đúng: Trên $(0;+\infty )$, điểm cực tiểu $x=2$ thuộc khoảng này và $f(2)=-1$ là giá trị nhỏ nhất (về $+\infty$ hàm số tăng lên $+\infty$).
c) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức trên $(0;2)$.
d) Sai: Giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-1$ (tại $x=2$), không phải $2$ (2 là hoành độ điểm cực tiểu).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1<2<3$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt nên phương trình $f(x)-2=0$ có 3 nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu $x=2\in (0;+\infty )$ với $f(2)=-1$, nên GTNN trên $(0;+\infty )$ bằng $-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa cực đại $x=0$ và cực tiểu $x=2$, tức trên $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu bằng $-1$; số 2 là hoành độ điểm cực tiểu, không phải giá trị cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ (nên mẫu là $x-1$, loại A, D) và tiệm cận xiên là $y=x$. Xét phương án B: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$, có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$; $y(0)=-1$ khớp với đồ thị cắt trục tung tại $-1$; nhánh bên phải có cực tiểu tại $x=2$ với $y=3$ (vì $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\Rightarrow x=2$), khớp với đồ thị. Phương án C: $y=\frac{x^2-4x+5}{x-1}=x-3+\frac{2}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-3$, không khớp đường tiệm cận $y=x$ trong hình. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ (loại C, D vì có mẫu $x+1$, tiệm cận đứng $x=-1$). Tiệm cận xiên là $y=x$ (đường $y=x$ vẽ trên hình). Xét A: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x$; trên nhánh $x>1$ hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y=3$, phù hợp hình vẽ. Xét B: $y=\frac{x^2-4x+5}{x-1}=x-3+\frac{2}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-3$, không khớp đường $y=x$ trên hình. Vậy hàm số là $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, khớp đáp án A trong bảng mã đề 1121.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có cực đại $f(0)=3$ và cực tiểu $f(2)=-1$.
a) Sai: Đường thẳng $y=2$ nằm giữa $-1$ và $3$, cắt đồ thị hàm bậc ba tại 3 điểm phân biệt, nên $f(x)-2=0$ có 3 nghiệm (không phải 2).
b) Đúng: Trên $(0;2)$ hàm đi từ cực đại xuống cực tiểu nên nghịch biến.
c) Sai: Giá trị cực tiểu là $f(2)=-1$, không phải 2.
d) Đúng: Trên $(0;+\infty )$, hàm nghịch biến trên $(0;2)$ rồi đồng biến trên $(2;+\infty )$, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=2$ và bằng $-1$.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã 1121, Phần 2 câu 3: SĐSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $y=2$ (với $-1<2<3$) cắt đồ thị hàm bậc ba tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm, không phải 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm tăng đến cực đại tại $x=0$ rồi giảm đến cực tiểu tại $x=2$, nên nghịch biến trên $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(2)=-1$, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$, hàm nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên GTNN bằng $f(2)=-1$.

Bảng đáp án chính thức (trang 7) ghi đáp án câu 8 là "S", không tương ứng với phương án nào A–D; đáp án không xác định được.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=x^3+27x$, suy ra $y^{\prime }=3x^2+27$. Tại $x_0=-1$: $y(-1)=-1-27=-28$ và $y^{\prime }(-1)=3+27=30$. Phương trình tiếp tuyến: $y=y^{\prime }(-1)(x+1)+y(-1)=30(x+1)-28=30x+2$. Vậy tiếp tuyến là $y=30x+2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đạt cực tiểu $f(-2)=0$; đồng biến trên $(-2;0)$, đạt cực đại $f(0)=4$; nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
a) Trên $(-2;0)$ hàm số đồng biến (dấu của $y^{\prime }$ là $+$) → đúng.
b) Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=4$, nên điểm cực đại là $A(0;4)$ → đúng.
c) Trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số nghịch biến, nên giá trị nhỏ nhất trên khoảng này (không đạt được) là ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=f(-1)=2$, không phải 0 (giá trị 0 đạt tại $x=-2\notin (-\infty ;-1)$) → sai.
d) Điểm uốn của hàm bậc ba là trung điểm của hai điểm cực trị: $x_U=\frac{-2+0}{2}=-1$, $y_U=\frac{0+4}{2}=2$, tức $U(-1;2)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đổi chiều biến thiên từ đồng biến sang nghịch biến tại $x=0$ với $f(0)=4$, nên điểm cực đại là $A(0;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ hàm số nghịch biến nên giá trị nhỏ nhất (không đạt được) bằng $f(-1)=2$, không phải 0; giá trị 0 đạt tại $x=-2$ không thuộc khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm uốn là trung điểm hai điểm cực trị: $x_U=\frac{-2+0}{2}=-1$, $y_U=\frac{0+4}{2}=2$, nên $U(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+1)-(1-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}$. Tiếp tuyến $(D)$ song song với $y=-3x+1$ nên hệ số góc $k=-3$: $\frac{-3}{(x_0+1{)}^2}=-3\iff (x_0+1{)}^2=1\iff x_0=0$ hoặc $x_0=-2$.
- Với $x_0=0$: $y_0=f(0)=1$, tiếp tuyến: $y=-3(x-0)+1=-3x+1$.
- Với $x_0=-2$: $y_0=f(-2)=\frac{1-2(-2)}{-2+1}=\frac{5}{-1}=-5$, tiếp tuyến: $y=-3(x+2)-5=-3x-11$.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: $y=-3x+1$ và $y=-3x-11$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$. Tiếp tuyến song song với $\Delta :9x-y+6=0$ (hệ số góc $k=9$) nên $3x^2-6x=9\iff x^2-2x-3=0\iff x=3$ hoặc $x=-1$.
- Với $x_0=3$: $y_0=27-27+1=1$, tiếp tuyến: $y=1+9(x-3)=9x-26$.
- Với $x_0=-1$: $y_0=-1-3+1=-3$, tiếp tuyến: $y=-3+9(x+1)=9x+6$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $y=9x-26$ và $y=9x+6$.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 102: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $f(-1)=-1+3=2$ (cực đại), $f(1)=1-3=-2$ (cực tiểu), $f(0)=0$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Hàm $y=-x^3+x$ có cực đại $1$, cực tiểu $-1$ (sai giá trị); $y=x^4-2x^2$ là bậc bốn (sai dạng); $y=\frac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận (sai dạng). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=\frac{-2x+3}{x-2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x-2)-(-2x+3)}{(x-2{)}^2}=\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ → đúng.

b) $f(0)=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$, đồ thị cắt trục tung tại $M\left(0;-\frac{3}{2}\right)$ → đúng.

c) Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{-2x+3}{x-2}=x-2m\iff -2x+3=(x-2)(x-2m)=x^2-(2m+2)x+4m$ (với $x\ne 2$).
$\iff x^2-2mx+4m-3=0$. $\Delta =4m^2-16m+12=4(m-1)(m-3)$. Hai điểm phân biệt khi $\Delta >0\iff m<1$ hoặc $m>3$ → đúng. (Kiểm tra: với $m$ bất kỳ, $x=2$ cho $4-4m+4m-3=1\ne 0$ nên không có nghiệm loại trừ.)

d) $\frac{-2x+3}{x-2}=x+2\iff -2x+3=x^2-4\iff x^2+2x-7=0$. Hai nghiệm phân biệt có tổng $x_1+x_2=-2$, nên hoành độ trung điểm $I$ là $\frac{x_1+x_2}{2}=-1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2-2mx+4m-3=0$ có $\Delta =4(m-1)(m-3)>0\iff m<1$ hoặc $m>3$; $x=2$ không bao giờ là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+2x-7=0$ có tổng hai nghiệm bằng $-2$, nên hoành độ trung điểm $I$ là $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$: $y=\frac{0+0}{0-1}=0$, nên đồ thị đi qua $(0;0)$. Kiểm tra các điểm khác: $x=-1\Rightarrow y=\frac{1-1}{-2}=0\ne \frac{1}{2}$; $x=2\Rightarrow y=\frac{4+2}{1}=6\ne 1$; điểm $(0;1)$ sai vì $y(0)=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$. a) Tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=2$: đúng. b) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(2;1)$, không phải $I(1;1)$: sai. c) Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+2}{x-2}=x-1\Rightarrow x+2=x^2-3x+2\Rightarrow x^2-4x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=4$. Hai giao điểm $(0;-1)$ và $(4;3)$, độ dài $=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\ne 4\sqrt{5}$: sai. d) Với $M\in (C)$, tổng khoảng cách đến $x=2$ và $y=1$ là $|x-2|+\frac{4}{|x-2|}\ge 2\sqrt{4}=4$, đạt được khi $|x-2|=2$: đúng, giá trị nhỏ nhất bằng 4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x=2$ làm mẫu bằng 0 và ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}\frac{x+2}{x-2}=\pm \infty$ nên $(C)$ có tiệm cận đứng $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị $y=1+\frac{4}{x-2}$ là giao của tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$, tức $I(2;1)$, không phải $I(1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{x+2}{x-2}=x-1\Rightarrow x^2-4x=0\Rightarrow x=0,x=4$. Hai giao điểm là $(0;-1)$ và $(4;3)$, độ dài $\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}\ne 4\sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng khoảng cách từ $M(x;1+\frac{4}{x-2})$ đến hai tiệm cận $x=2$, $y=1$ là $|x-2|+\frac{4}{|x-2|}\ge 2\sqrt{4}=4$, đạt khi $|x-2|=2$ (tức $x=0$ hoặc $x=4$). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 4.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $x<0$ (giá trị dương) và cực tiểu tại $x>0$ (giá trị âm), tăng – giảm – tăng. Loại C, D vì đồ thị hàm bậc bốn có hai nhánh cùng hướng. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y(-1)=2>0$ (cực đại bên trái), $y(1)=-2<0$ (cực tiểu bên phải), hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Hàm $y=-x^3+3x$ cho dạng ngược lại (cực đại bên phải, cực tiểu bên trái). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba (hai cực trị), loại A, B. Với $y=-x^3+3x^2-1$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $y^{\prime \prime }=-6x+6$ nên tại $x=0$ hàm đạt cực tiểu $y=-1<0$ (gần gốc tọa độ, phía dưới trục hoành), tại $x=2$ đạt cực đại $y=3>0$ (bên phải trục $y$, phía trên) — khớp với hình vẽ. Với $y=x^3+3x^2-1$ thì cực đại tại $x=-2$ (bên trái), không khớp. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(0)=-1$ và $f(2)=3$, đồng thời hàm giảm – tăng – giảm nên hệ số $a<0$. Xét $y=-x^3+3x^2-1$: có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, nên $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ,0)$, $y^{\prime }>0$ trên $(0,2)$, $y^{\prime }<0$ trên $(2,+\infty )$; hơn nữa $f(0)=-1$, $f(2)=-8+12-1=3$, và khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$ tương ứng. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có $a>0$ và $f(0)=-1$ nhưng $f(2)=8+12-1=19$; B có $a>0$, $f(2)=-5$; C có $f(0)=1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=-1$ nên tiệm cận ngang $y=-1$, tức hệ số của $x$ ở tử số bằng $-1$ (loại A). Tiệm cận đứng $x=1$: khi $x\to 1^{-}$ thì $f\to -\infty$, khi $x\to 1^{+}$ thì $f\to +\infty$, nên tử số tại $x=1$ phải dương. Xét các phương án có tử $-x+b$: với B, $b=-2$ thì tại $x=1$ tử số $=-3<0$, cho $x\to 1^{-}$ giới hạn $+\infty$ (sai). Với C, $y=\frac{-x+3}{x-1}$: tại $x=1$ tử số $=2>0$, nên $x\to 1^{-}$ cho $-\infty$ và $x\to 1^{+}$ cho $+\infty$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$; $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(-x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm nghịch biến trên cả hai khoảng, đúng bảng biến thiên. Với D, $b=-3$ cũng sai như B. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng tại $x=1$ (nên mẫu là $x-1$, loại C) và $f(0)=2$. Với D: $f(0)=\frac{2}{-1}=-2\ne 2$, loại D. Xét B: $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$, có $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, nên $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$; $y^{\prime }>0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$ hoặc $1<x<2$ — đúng bảng biến thiên. Giá trị: $f(0)=\frac{-2}{-1}=2$ (cực đại), $f(2)=\frac{4+4-2}{1}=6$ (cực tiểu), giới hạn khi $x\to \pm \infty$ theo $x$ là $+\infty$. Khớp hoàn toàn. (A có $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-6}{(x-1{)}^2}$, nghiệm không phải $0,2$.) Vậy đáp án B.