Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng x=2 nên d=-2. f(0)=2 nên c/(0-2)=2 => c=-4. f(4)=-6 nên (16a+4b-4)/(4-2)=-6 => 4a+b=-2. f'(x) có tử số (2ax+b)(x-2)-(ax^2+bx-4)=ax^2-4ax+(4-2b), có nghiệm x=0, x=4 nên 4-2b=0 => b=2, suy ra 4a=-4 => a=-1. Vậy f(x)=(-x^2+2x-4)/(x-2). a) Hai điểm cực trị (0;2) và (4;-6), đường thẳng qua chúng có hệ số góc (-6-2)/(4-0)=-2, phương trình y=-2x+2 tức 2x+y-2=0: ĐÚNG. b) Hàm chỉ có hai điểm cực trị x=0 (cực tiểu) và x=4 (cực đại); x=2 là tiệm cận đứng, không phải điểm cực trị: SAI. c) a+b+c+d=-1+2-4-2=-5: ĐÚNG. d) Hàm đồng biến trên (0;2) và (2;4) nhưng không liên tục tại x=2 (tiệm cận đứng), nên không đồng biến trên (1;3): SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (0;2) và (4;-6) nằm trên đường thẳng 2x+y-2=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị (x=0 và x=4); x=2 là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tìm được a=-1, b=2, c=-4, d=-2 nên a+b+c+d=-5.
d) (AI giải đề cho tôi)
f' > 0 trên (0;2) và (2;4) nhưng f không liên tục tại x=2 nên không đồng biến trên (1;3).

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}=x-4+\frac{9}{x+1}$.
a) Tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+1$ → Sai.
b) Tại $x=-1$ mẫu bằng 0 và tử khác 0, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng → Đúng.
c) $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-4$. $y(2)=1$, $y(-4)=-11$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $\frac{1-(-11)}{2-(-4)}=2$, phương trình $y=2x-3$, không phải $y=2x+3$ → Sai.
d) $y^{\prime }<0$ khi $(x+1{)}^2<9$, tức $-4<x<-1$ hoặc $-1<x<2$ (loại $x=-1$) → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-4+\frac{9}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+1=0$ tại $x=-1$ và tử số khác 0 tại đó, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=-4$ và $x=2$ với $y(-4)=-11$, $y(2)=1$; đường thẳng qua hai điểm là $y=2x-3$, không phải $y=2x+3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}<0\iff -4<x<-1$ hoặc $-1<x<2$, nên hàm số nghịch biến trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(0;10)$, $B(10;0)$ (tiếp xúc trục $Ox$), $C(15;1)$. Với $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}$:
- $f(0)=10\Rightarrow \frac{c}{d}=10\Rightarrow c=10d$.
- $f(10)=0\Rightarrow 100a+10b+c=0$.
- Tiếp xúc tại $B$: $f^{\prime }(10)=0$. Vì $f^{\prime }(x)=\frac{(2ax+b)(x+d)-(a{x}^2+bx+c)}{(x+d{)}^2}$ và $f(10)=0$ nên $(20a+b)(10+d)=0\Rightarrow b=-20a$.
- Suy ra $100a-200a+c=0\Rightarrow c=100a\Rightarrow d=10a$.
- $f(15)=1$: $\frac{225a+15b+c}{15+d}=\frac{25a}{15+10a}=1\Rightarrow 25a=15+10a\Rightarrow a=1$.
Vậy $f(x)=\frac{(x-10{)}^2}{x+10}$. Khi cách vị trí ban đầu theo phương ngang 6 m: $f(6)=\frac{16}{16}=1$. Bạn Việt cách mặt đất 1 mét.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời nhánh phải cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=2$ (đồ thị đi qua điểm $(2;-2)$ gần trục $x$ và cắt trục hoành tại $x=2$). Giao điểm của đồ thị với trục hoành có tung độ $y=0$, tức $\frac{ax+b}{cx+d}=0\iff ax+b=0\iff x=2$ (theo hình vẽ). Vậy tọa độ giao điểm là $(2;0)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi lên ở hai đầu nên hệ số của $x^3$ dương, loại C, D. Hàm $y=x^3+3x$ có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ luôn đồng biến, không có cực trị, loại A. Đồ thị có cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$; với $y=x^3-3x$ ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, $y(-1)=2$, $y(1)=-2$ khớp với đồ thị. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba đơn điệu giảm trên R, không có cực trị, đi qua điểm (0;1) và cắt Ox tại điểm gần gốc O (khoảng x ≈ 0,6), tức là đồ thị dốc hơn nhiều so với y = -x³ + 1 (có nghiệm x = 1).
- Loại C: y = 3x² + 1 là parabol hướng lên, không phải hàm bậc ba giảm.
- Loại B: y = -2x³ + x² có đạo hàm y' = -6x² + 2x = 0 tại x = 0 và x = 1/3, nên có cực trị, đồ thị không đơn điệu giảm hoàn toàn.
- So sánh A và D: cả hai đều giảm và đi qua (0;1), nhưng với y = -x³ + 1 thì nghiệm là x = 1, còn y = -4x³ + 1 có nghiệm x = 4^{-1/3} ≈ 0,63, khớp với giao điểm của đồ thị với Ox trong hình (gần gốc O hơn). Do đó đồ thị là của hàm số y = -4x³ + 1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$, và nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$: mẫu bằng 0 tại $x=2$ (tiệm cận đứng), ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ (tiệm cận ngang $y=1$), và $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$ nên hàm nghịch biến trên từng khoảng — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$; B có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$; D có tiệm cận đứng $x=2$ nhưng tiệm cận ngang $y=1$ và $y^{\prime }=\frac{2}{(x-2{)}^2}>0$ đồng biến — không khớp. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ (trục $Oy$), tiệm cận ngang $y=1$, đi qua điểm $(1;0)$, và trên mỗi nhánh hàm số đồng biến (nhánh trái tiến tới $+\infty$ khi $x\to 0^{-}$, nhánh phải tiến tới $-\infty$ khi $x\to 0^{+}$). Xét $y=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$: có TCĐ $x=0$, TCN $y=1$, $y=0\iff x=1$, và $y^{\prime }=\frac{1}{x^2}>0$ nên đồng biến trên mỗi khoảng — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án A, C có $y=1+\frac{1}{x}$ (nghịch biến, không khớp); phương án B có TCĐ $x=-1$, không khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (loại A, C vì có tiệm cận đứng $x=2$), và nhánh phải có điểm thấp nhất tại $(0;2)$, tiệm cận xiên. Xét hai phương án còn lại:
- B: $y=\frac{x^2-2x}{x+1}=x-3+\frac{3}{x+1}$, có $y(0)=0$, không khớp đồ thị (đồ thị cắt trục Oy tại $y=2$).
- D: $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, có $y(0)=2$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$, đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y_{\min }=2$, tiệm cận xiên $y=x+1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ.
Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{-x+1}$ xác định khi $-x+1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → ý a) đúng. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(-x+1)+(2x+1)}{(-x+1{)}^2}=\frac{3}{(-x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ nhưng không đồng biến trên toàn tập $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (ví dụ $x=0$ cho $y=1$, $x=2$ cho $y=-5$) → ý b) sai. Vì $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định, hàm không có cực trị → ý c) đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{-1}=-2$; hai tiệm cận cùng hai trục tạo hình chữ nhật có diện tích $1\times 2=2\ne 4$ → ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $-x+1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(-x+1{)}^2}>0$ nên hàm chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (ví dụ $y(0)=1>y(2)=-5$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }=\frac{3}{(-x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, hàm không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-2$; hình phẳng tạo với hai trục có diện tích $1\times 2=2\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của Câu 1.30: $f^{\prime }(x)$ âm trên $(-\infty ;-1)$, dương trên $(-1;1)$ và $(1;3)$, âm trên $(3;+\infty )$; $f$ giảm từ $+\infty$ xuống $1$ tại $x=-1$ rồi tăng lên $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$; bên phải $x=1$, $f$ từ $-\infty$ tăng lên $-2$ tại $x=3$ rồi giảm về $-\infty$. a) Khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to -\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng → Đúng. b) Hàm số gián đoạn tại $x=1$ nên không thể đồng biến trên cả khoảng $(-1;3)$; chỉ đồng biến trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ → Sai. c) Hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ với giá trị $1$ và cực đại tại $x=3$ với giá trị $-2$; hai giá trị cực trị là $1$ và $-2$, còn $-1$ và $3$ là hai điểm cực trị → Sai. d) Trên $(1;2]$ hàm đồng biến nên GTLN đạt tại $x=2$; vì $f$ tăng trên $(1;3)$ nên $f(2)<f(3)=-2$, do đó GTLN trên $(1;2]$ nhỏ hơn $-2$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\to +\infty$ khi $x\to 1^{-}$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to 1^{+}$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=1$ (tiệm cận đứng) nên không đồng biến trên cả khoảng $(-1;3)$, chỉ đồng biến trên $(-1;1)$ và $(1;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai giá trị cực trị là $1$ (cực tiểu tại $x=-1$) và $-2$ (cực đại tại $x=3$); $-1$ và $3$ là hoành độ các điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;2]$ hàm đồng biến nên GTLN là $f(2)$, mà $f(2)<f(3)=-2$, nên GTLN trên $(1;2]$ nhỏ hơn $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của $d$ là $k_d=\frac{1}{8}$, nên tiếp tuyến vuông góc với $d$ có hệ số góc $k=-8$.

$y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$. Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, điều kiện $4x(x^2+1)=-8$ tương đương $x^3+x+2=0$, tức $(x+1)(x^2-x+2)=0$. Do $x^2-x+2>0$ nên $x=-1$.

Tại $x_0=-1$: $y_0=(-1{)}^4+2(-1{)}^2-1=2$.

Phương trình tiếp tuyến: $y=-8(x+1)+2=-8x-6$.

Vậy $(C)$ có duy nhất một tiếp tuyến thỏa yêu cầu: $y=-8x-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^4-2x^2$, ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)$.

a) Tại $x=\sqrt{2}$: $y=(\sqrt{2}{)}^4-2(\sqrt{2}{)}^2=4-4=0$; $y^{\prime }=4\sqrt{2}(2-1)=4\sqrt{2}$. Tiếp tuyến: $y=4\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+0=4\sqrt{2}x-8$.

b) $y=3\Rightarrow x^4-2x^2=3$. Đặt $t=x^2\ge 0$: $t^2-2t-3=0\Rightarrow t=3$ (nhận), $t=-1$ (loại). Vậy $x=\pm \sqrt{3}$, $y^{\prime }=4x(3-1)=8x$.
Tại $x=\sqrt{3}$: $y=8\sqrt{3}(x-\sqrt{3})+3=8\sqrt{3}x-21$.
Tại $x=-\sqrt{3}$: $y=-8\sqrt{3}(x+\sqrt{3})+3=-8\sqrt{3}x-21$.

c) $d_1$ có hệ số góc $24$, nên $4x(x^2-1)=24\iff x^3-x-6=0$. Thử $x=2$: $8-2-6=0$, nên $x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+3)$; tam thức $x^2+2x+3$ vô nghiệm. Vậy $x=2$, $y=16-8=8$. Tiếp tuyến: $y=24(x-2)+8=24x-40$.

d) $d_2:x+24y+2009=0$ có hệ số góc $-\frac{1}{24}$, nên tiếp tuyến vuông góc phải có hệ số góc $24$. Giống câu c): $x=2$, tiếp điểm $(2;8)$, phương trình: $y=24x-40$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{-x^2-x+3}{x+1}=-x+\frac{3}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, và $y^{\prime }=-1-\frac{3}{(x+1{)}^2}$.

a) Giao điểm với trục tung: $x=0\Rightarrow y=3$, $y^{\prime }(0)=-4$. Tiếp tuyến: $y=-4x+3$.

b) Giao điểm với trục hoành: $-x^2-x+3=0\iff x^2+x-3=0\iff x_0=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$. Với $x_0^2=3-x_0$ ta có $(x_0+1{)}^2=x_0+4$, suy ra $y^{\prime }(x_0)=-1-\frac{3}{x_0+4}=-\frac{x_0+7}{x_0+4}$. Rút gọn: với $x_0=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$: $y=\frac{\sqrt{13}-13}{6}x+\frac{7\sqrt{13}-13}{6}$; với $x_0=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$: $y=-\frac{13+\sqrt{13}}{6}x-\frac{13+7\sqrt{13}}{6}$.

c) Đường thẳng qua $A(1;-1)$: $y=k(x-1)-1$. Phương trình hoành độ tiếp điểm: $(k(x-1)-1)(x+1)=-x^2-x+3\iff (k+1)x^2-(k+4)=0$. Tiếp xúc khi $k=-4$ (khi đó $x=0$ là nghiệm kép). Kiểm tra: tiếp tuyến tại $x=0$ là $y=-4x+3$, và tại $x=1$ có $y=-1$, tức đi qua $A$. Vậy tiếp tuyến là $y=-4x+3$.

d) $y^{\prime }=-13\iff -1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=-13\iff (x+1{)}^2=\frac{1}{4}\iff x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$. Với $x=-\frac{1}{2}$: $y=\frac{13}{2}$, tiếp tuyến $y=-13x$. Với $x=-\frac{3}{2}$: $y=-\frac{9}{2}$, tiếp tuyến $y=-13x-24$.

Kiểm tra lại toàn bộ: ý a) đúng; ý b) các hệ số góc và cận đúng sau khi hợp lý hóa; ý c) phương trình bậc hai và điều kiện tiếp xúc đúng, tiếp tuyến thỏa đi qua $A$; ý d) hai tiếp tuyến đúng. Không có sai sót.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x_0=-1$: $y(-1)=(-1{)}^4-4(-1{)}^2+5=1-4+5=2$. Đạo hàm $y^{\prime }=4x^3-8x$ nên $y^{\prime }(-1)=-4+8=4$. Phương trình tiếp tuyến: $y=4(x+1)+2=4x+6$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{2x+3}{x-2}$ nên $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+3)}{(x-2{)}^2}=\frac{-7}{(x-2{)}^2}$. Kiểm tra $M(1;-5)\in (C)$: $y(1)=\frac{5}{-1}=-5$, đúng. a) $y^{\prime }(1)=\frac{-7}{(1-2{)}^2}=-7$ → đúng. b) Điểm $N\in (C)$ có hoành độ $x=3$ thì $y(3)=\frac{9}{1}=9\ne -5$ → sai. c) Tiếp tuyến tại $M$: $y=-7(x-1)-5=-7x+2$, có hệ số góc $-7$ trùng hệ số góc của $d_1:y=-7x+17$ (và $-7\cdot 1+2\ne 17$ nên không trùng nhau) → song song, đúng. d) $d_2:16x-7y+35=0$ có hệ số góc $\frac{16}{7}$, tiếp tuyến vuông góc phải có hệ số góc $-\frac{7}{16}$. Giải $\frac{-7}{(x_0-2{)}^2}=-\frac{7}{16}\Rightarrow (x_0-2{)}^2=16\Rightarrow x_0=6$ hoặc $x_0=-2$: có đúng hai tiếp tuyến → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(1)=\frac{-7}{(1-2{)}^2}=-7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=3$: $y=\frac{2\cdot 3+3}{3-2}=9\ne -5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M$: $y=-7x+2$ song song với $y=-7x+17$ (cùng hệ số góc $-7$, khác hằng số).
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $y^{\prime }(x_0)=-\frac{7}{16}\Rightarrow (x_0-2{)}^2=16\Rightarrow x_0=6$ hoặc $x_0=-2$: có hai tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
a) f(-1/2) = -1/8 - 3/4 - 1 = -15/8, đúng. b) f'(x)=3x^2-6x<0 ⟺ 0<x<2, nên S=(0;2) chứ không phải (3;6), sai. c) f'(3)=27-18=9, đúng. d) f'(x)=3x^2-6x có giá trị nhỏ nhất tại x=1 (đỉnh parabol), f'(1)=-3. Khi đó y0=f(1)=1-3-1=-3, x0^2+y0^2=1+9=10, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(-1/2)=(-1/8)-3(1/4)-1=-1/8-3/4-1=-15/8.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-6x<0 ⟺ 3x(x-2)<0 ⟺ 0<x<2, nên S=(0;2)≠(3;6).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc k=f'(3)=3·9-6·3=27-18=9.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3x^2-6x đạt giá trị nhỏ nhất tại x0=1 (đỉnh parabol), f'(1)=-3. y0=f(1)=1-3-1=-3. Vậy x0^2+y0^2=1+9=10.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x(x-2)}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$. Xét từng điểm: $M(2;1)$ và $P(2;0)$ có hoành độ $x=2$ làm mẫu bằng 0 nên không thuộc đồ thị; $Q\left(0;\frac{1}{2}\right)$ có $x=0$ làm mẫu bằng 0 nên không thuộc đồ thị. Với $N(-1;0)$: $y=\frac{-1+1}{(-1)(-1-2)}=\frac{0}{3}=0$, đúng bằng tung độ của $N$. Vậy điểm $N(-1;0)$ thuộc đồ thị hàm số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x(x-2)}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$. Thử từng điểm: $N(-1;0)$: $y=\frac{-1+1}{(-1)(-3)}=0$ → thuộc đồ thị. $Q(0;\frac{1}{2})$: $x=0$ không thuộc tập xác định → loại. $M(2;1)$ và $P(2;0)$: $x=2$ không thuộc tập xác định → loại. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: A).