Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

a) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:

[Hình cần kiểm tra lại: p21_f1]

Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ bằng $0$. Suy ra mệnh đề a) đúng.

b) $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Suy ra mệnh đề b) sai.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$, suy ra mệnh đề c) sai.

d) Điểm cực đại là $A(-1;4)\Rightarrow OA=\sqrt{(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{17}$. Suy ra mệnh đề d) đúng.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:

[Hình cần kiểm tra lại: p21_f1]

Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ bằng $0$. Suy ra mệnh đề đúng.
b) $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Suy ra mệnh đề sai.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$, suy ra mệnh đề sai.
d) Điểm cực đại là $A(-1;4)\Rightarrow OA=\sqrt{(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{17}$. Suy ra mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{2x^2-5x+9}{x-5}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{5\}$.

a) Điểm cách đều hai trục có tọa độ $(x;y)$ với $|y|=|x|$, tức $y=x$ hoặc $y=-x$.
- $f(x)=x\Rightarrow 2x^2-5x+9=x^2-5x\Rightarrow x^2+9=0$: vô nghiệm.
- $f(x)=-x\Rightarrow 2x^2-5x+9=-x^2+5x\Rightarrow 3x^2-10x+9=0$, $\Delta =100-108=-8<0$: vô nghiệm.
Vậy không có điểm nào cách đều hai trục → SAI.

b) $y^{\prime }=\frac{(4x-5)(x-5)-(2x^2-5x+9)}{(x-5{)}^2}=\frac{4x^2-25x+25-2x^2+5x-9}{(x-5{)}^2}=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x^2-10x+8=0\iff x=5\pm \sqrt{17}\approx 0,88$ và $x\approx 9,12$, đều ngoài khoảng $(1;9)$; trên $(1;5)$ và $(5;9)$ có $y^{\prime }<0$. Nhưng khoảng $(1;9)$ không nằm hoàn toàn trong tập xác định (chứa $x=5$), nên hàm số không nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ → SAI.

c) Vì ${\lim }_{x\to 5^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x=5$, không phải $y=5$ → SAI.

d) $f(0)=\frac{9}{-5}=-\frac{9}{5}$ → ĐÚNG.

Khớp với đáp án nguồn (mã 202, câu 15: S S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điểm cách đều hai trục: $|y|=|x|$, tức $y=x$ hoặc $y=-x$.
- $f(x)=x\Rightarrow x^2+9=0$: vô nghiệm.
- $f(x)=-x\Rightarrow 3x^2-10x+9=0$, $\Delta =-8<0$: vô nghiệm.
Vậy không tồn tại điểm nào cách đều hai trục → SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=5\pm \sqrt{17}\approx 0,88;9,12$, đều ngoài $(1;9)$; trên $(1;5)$ và $(5;9)$ có $y^{\prime }<0$. Tuy nhiên $(1;9)$ chứa $x=5$ không thuộc tập xác định, nên hàm số không nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ → SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=5$ (do ${\lim }_{x\to 5^{\pm }}f(x)=\pm \infty$), không phải $y=5$ → SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{9}{-5}=-\frac{9}{5}$ → ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (trùng với các đáp án A, C, D; loại B vì tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$). Tiệm cận ngang là $y=-1$ và đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=\frac{-x+1}{x+1}$: $y(0)=1$ thỏa; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ thỏa. Với A: $y(0)=2$ (loại); với C: $y(0)=0$ (loại). Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 202 (câu 8: D).

a) Đúng. Với $x=0\Rightarrow f(0)=-\frac{9}{5}$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.

b) Sai. Tập xác định của hàm số là $R\setminus \{5\}$ suy ra hàm số đã cho không xác định $\forall x\in (1;9)$ nên kết luận b sai. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=5+\sqrt{17}\\ x=5-\sqrt{17}\end{array}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(5-\sqrt{17};5\right)$ và $\left(5;5+\sqrt{17}\right)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ là Sai.



c) Sai. Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số (điều kiện $x_0\ne 5$). Vì điểm $M$ cách đều hai trục tọa độ nên $y_0=\pm x_0$. TH1: $y_0=x_0$ $\iff x_0^2+9=0$ (vô nghiệm). TH2: $y_0=-x_0$ $\iff 3x_0^2-10x_0+9=0$ (vô nghiệm). Vậy không có điểm nào trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ.

d) Sai. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=5$.
a) Đúng. Với $x=0\Rightarrow f(0)=-\frac{9}{5}$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.
b) Sai. Tập xác định của hàm số là $R\setminus \{5\}$ suy ra hàm số đã cho không xác định $\forall x\in (1;9)$ nên kết luận b sai. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x^2-5x+9{)}^{\prime }(x-5)-(2x^2-5x+9)(x-5{)}^{\prime }}{(x-5{)}^2}=\frac{(4x-5)(x-5)-\left(2x^2-5x+9\right)}{(x-5{)}^2}=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$. $f^{\prime }(x)=0\iff 2x^2-20x+16=0\iff \{\begin{array}{l}x=5+\sqrt{17}\\ x=5-\sqrt{17}\end{array}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(5-\sqrt{17};5\right)$ và $\left(5;5+\sqrt{17}\right)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ là Sai.
c) Sai. Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số (điều kiện $x_0\ne 5$). Vì điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ nên $y_0=\pm x_0$. TH1: $y_0=x_0$ $\iff \frac{2x_0^2-5x_0+9}{x_0-5}=x_0\iff 2x_0^2-5x_0+9=x_0^2-5x_0\iff x_0^2+9=0$ (phương trình vô nghiệm). TH2: $y_0=-x_0$ $\iff \frac{2x_0^2-5x_0+9}{x_0-5}=-x_0\iff 2x_0^2-5x_0+9=-x_0^2+5x_0$ $\iff 3x_0^2-10x_0+9=0$ (phương trình vô nghiệm). Vậy không có điểm nào trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ.
d) Sai. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=5$.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta phân tích các đặc điểm sau: Tiệm cận đứng: Đồ thị nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=-1$ làm tiệm cận ngang, cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại $(1;0)$ và $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $(-2;0)$. Xét $y=\frac{x+2}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ nên TCĐ $x=-1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên TCN $y=1$; $y(0)=\frac{2}{1}=2$; $y(-2)=0$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có TCĐ $x=1$; B có $y(0)=-2$; C có TCĐ $x=1$ và cắt trục hoành tại $x=2$ — đều sai.

Đồ thị hàm số trên hình vẽ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1$ mà ${\lim }_{x\to +\infty }y=a$, ${\lim }_{x\to -\infty }y=a$ nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=a$ suy ra $a=-1$. Suy ra $y=\frac{-x+b}{x+c}$. Đồ thị hàm số đi qua các điểm $A(0;-2),B(2;0)$ suy ra $\{\begin{array}{l}\frac{b}{c}=-2\\ 0=\frac{-2+b}{2+c}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=2\\ c=-1\end{array}$. $T=a+3b+2c=-1+6-2=3$.

a) Hai điểm cực trị $A(1;3),B(2;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{26}$. Vậy a) Đúng.

b) Ta có $g^{\prime }(x)=-2.f^{\prime }(1-2x)=0\iff \left[\begin{array}{c}1-2x=1\\ 1-2x=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right]$. Bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$ cho thấy $g^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $\left(-\frac{1}{2};0\right)$. Vậy b) Sai.

c) Đồ thị hàm số $h(x)$ có tổng số đường tiệm cận là 6 (1 tiệm cận ngang $y=0$, 3 tiệm cận đứng từ $f(x)=2$ và 2 tiệm cận đứng từ $f(x)=-2$ với $x=2$ là nghiệm bội hai). Vậy c) Sai.

d) BPT $g(x)\ge x^2+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [0;1]\iff m\le f(-1)-1=-138$; với $m\in [-2025;2025]$ có 1888 giá trị nguyên thỏa mãn. Vậy d) đúng.
a) Hai điểm cực trị $A(1;3),B(2;-2)\Rightarrow AB=\sqrt{26}$. Vậy a) Đúng.
b) Ta có $g^{\prime }(x)=-2.f^{\prime }(1-2x)=0\iff \left[\begin{array}{c}1-2x=1\\ 1-2x=2\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right]$. Ta có bảng xét dấu của $g^{\prime }(x)$: Vậy b) Sai.
c) Ta có: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x-2}{f^2(x)-4}=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang. Xét phương trình $f^2(x)-4=0\iff \left[\begin{array}{c}f(x)=2\\ f(x)=-2\end{array}\right]$. Dựa vào đồ thị ta có $f(x)=2\iff \left[\begin{array}{c}x=a<1\\ x=b(1<b<2)\\ x=c>2\end{array}\right]$, nên đồ thị $h(x)$ có 3 đường tiệm cận đứng. $f(x)=-2\iff \left[\begin{array}{c}x=d<1\\ x=2\end{array}\right]$, do $x=2$ là nghiệm bội hai nên đồ thị $h(x)$ có hai đường tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số $h(x)$ có tổng số đường tiệm cận là 6. (ta có thể tìm hàm số $y=f(x)$ và từ đó suy ra số các đường tiệm cận). Vậy c) Sai.
d) BPT $g(x)\ge x^2+m\iff g(x)-x^2\ge m$. Đặt $k(x)=g(x)-x^2\Rightarrow k^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-2x$. $k(x)\ge m\forall x\in [0;1]\iff m\le \min k(x)\iff m\le k(1)\iff m\le f(-1)-1$. Theo bài ra, ta tìm được $f(x)=10x^3-45x^2+60x-22$, suy ra $m\le f(-1)-1\iff m\le -138$. Mà $m\in [-2025;2025]$ nên có 1888 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn. Vậy d) đúng.

Đáp số: -3.

Vì $(C)$ có hai giao điểm với trục hoành nên $f(x)=(x-m)(x-n{)}^2$. Trong đó $M(m;0)$ và $N(n;0)$. Ta có thể viết lại $f(x)=x^3+(-m-2n)x^2+(n^2+2mn)x-m{n}^2$. $f^{\prime }(x)=3x^2+2(-m-2n)x+n^2+2mn$. $f^{\prime }(m)=(m-n{)}^2$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $M$ là $y=(m-n{)}^2(x-m)$. Giao điểm của $(C)$ với trục tung là $A(0;-m{n}^2)$.

Vì tiếp tuyến tại $M$ đi qua $A$ nên ta có $-m{n}^2=(m-n{)}^2(0-m)\iff m^2-2mn=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ m=2n\end{array}\right]$

Vì $c=-m{n}^2<0$ nên ta loại trường hợp $m=0$. Từ đó ta có $m=2n$.

Diện tích tam giác $AMN$ bằng 16 nên
$\frac{1}{2}MN\cdot AO=16\iff \frac{1}{2}|m-n|.\left|-m{n}^2\right|=16\iff |2n-n|.\left|-2n^3\right|=32\iff \left[\begin{array}{c}n=2\\ n=-2\end{array}\right]$

Vì $c=-m{n}^2<0$ nên ta loại trường hợp $n=-2$.

Với $n=2$ ta có $m=4$ và $f(x)=(x-4)(x-2{)}^2\Rightarrow f(1)=-3$.

Chọn D. Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số $a>0$. Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$. Suy ra hàm số cần tìm là $y=x^3-x-2$.

a) Từ giả thiết ta suy ra
$$P(P(x)+1+x)+1=(P(x)+1)(P(x+1)+1),\forall x\in \mathbb{R}.$$
Đặt $Q(x)=P(x)+1$, khi đó ta có
$$Q(Q(x)+x)=Q(x)\cdot Q(x+1),\forall x\in \mathbb{R}(\star ).$$
Nếu $Q(x)=c$ là hàm hằng, suy ra $c=c^2\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=0\\ c=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}P(x)\equiv -1\\ P(x)=0\end{array}$. Cả hai đa thức này thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Nếu $\mathrm{deg}Q=1$ thì $Q(Q(x)+x)$ là hàm hằng hoặc là hàm bậc nhất, nhưng $\mathrm{deg}(Q\cdot Q(x+1))=2$, mâu thuẫn.
Nếu $n=\mathrm{deg}Q\ge 2$, so sánh bậc 2 vế ta được $n^2=2n\Rightarrow n=2$. Đặt $Q(x)=a{x}^2+bx+k$, so sánh hệ số bậc cao nhất 2 vế, ta suy ra $a^3=a^2\Rightarrow a=1$.
Vậy $Q(x)=x^2+bx+k$, với $b,k\in \mathbb{R}$. Thử lại, ta thấy đa thức này thỏa mãn $(\star )$, suy ra $P(x)=x^2+bx+c$, với $b,c\in \mathbb{R}$ thỏa đề.
Kết luận: $\mathcal{F}=\{0;-1\}\cup \{P(x)=x^2+bx+c\mid b,c\in \mathbb{R}\}$.

b) Trước hết $P(x)\equiv -1$ không thỏa mãn điều kiện $(i)$, trong khi với $P(x)\equiv 0$ thì $\forall Q(x)\in \mathbb{R}[x]$ thì $P(x)\cdot Q(x)\equiv 0$, không thỏa mãn $(ii)$. Do đó ta xét $P(x)=x^2+bx+c$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta đi chứng minh bổ đề sau: Cho đa thức $P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ có nghiệm thực $x_0$. Khi đó
$$|x_0|<1+\underset{0\le i\le n}{\max }\left|\frac{a_i}{a_n}\right|.$$
Chứng minh. Ta có $P(x)=a_n{x}^n\left(1+{\sum }_{i=0}^{n-1}\frac{a_i}{a_n{x}^{n-i}}\right)$. Với $x$ là nghiệm khác 0 của $P(x)$ thì
$$-1=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{a_i}{a_n}\cdot \frac{1}{x^{n-i}}\Rightarrow 1\le A\cdot \left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{|x{|}^i}\right)=\frac{A}{|x|}\cdot \frac{1-\frac{1}{x^n}}{1-\frac{1}{x}}<\frac{A}{|x|-1}\text{ với }A=\underset{0\le i\le n}{\max }\left|\frac{a_i}{a_n}\right|$$
Từ đó suy ra $|x|<1+A$.
Trở lại bài toán, do $x^2+bx+c$ là một đa thức thỏa đề nên gọi $c_0\in \mathbb{Z}$ là hệ số tự do của đa thức $Q(x)\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa $(x^2+bx+c)\cdot Q(x)$ có tất cả hệ số thuộc tập $\{\pm 1;\pm 2\}$. Khi đó $c{c}_0\in \{\pm 1;\pm 2\}$ nên ta suy ra $c\in \{\pm 1;\pm 2\}$. Mặt khác, để $P(x)$ có nghiệm thực thì $b^2\ge 4c$, và khi đó nghiệm thực của $P(x)$ là $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}$. Vì nghiệm của $P(x)$ cũng là nghiệm của $P(x)\cdot Q(x)$ nên áp dụng bổ đề trên cho ta
$$\left|\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}\right|<3(\ast )$$
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: $c=1\Rightarrow b^2\ge 4\Rightarrow |b|\ge 2$. Nếu $b\ge 4$ thì $\frac{-b-\sqrt{b^2-4}}{2}<-3$, mâu thuẫn với $(\ast )$. tương tự nếu $b\le -4$. Vậy $b\in \{\pm 2;\pm 3\}$.
$b=\pm 2$, tồn tại $Q(x)=1$ thỏa mãn.
$b=\pm 3$, tồn tại $Q(x)=x\mp 1$ thỏa mãn.
Trường hợp 2: $c=2\Rightarrow b^2\ge 8\Rightarrow |b|\ge 3$. Nếu $|b|\ge 4$ thì tương tự trường hợp 1, ta cũng có điều mâu thuẫn, vậy $b=\pm 3$. Với $b=\pm 3$, tồn tại $Q(x)=x\mp 1$ thỏa mãn.
Trường hợp 3. $c=-1$ thì $P(x)$ có nghiệm thực. Nếu $b\ge 3$ thì $\frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2}<-3$, mâu thuẫn với $(\ast )$, vương tự với $b\le -3$. Vậy $b\in \{0;\pm 1;\pm 2\}$.
$b=0$, tồn tại $Q(x)=x+1$ thỏa mãn.
$b=\pm 1;\pm 2$, tồn tại $Q(x)=1$ thỏa mãn.
Trường hợp 4. $c=-2$ thì $P(x)$ có nghiệm thực. Tương tự như trường hợp 3, ta cũng suy ra $b\in \{0;\pm 1;\pm 2\}$.
$b=0$, tồn tại $Q(x)=x+1$ thỏa mãn.
$b=\pm 1;\pm 2$, tồn tại $Q(x)=1$ thỏa mãn.
Kết luận: tập tất cả đa thức thỏa đề là
$$\{x^2+3x+2;x^2+2x+1;x^2-2x+1;x^2+3x+1;x^2-3x+1;x^2-1;x^2+x-1;x^2-x-1$$
$$x^2-3x+2;x^2+2x-1;x^2-2x-1;x^2-2;x^2+x-2;x^2-x-2;x^2+2x-2;x^2-2x-2\}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x+10-\frac{12}{x}$ với $x>0$ (mỗi đơn vị trục là $100m$).

a) $f^{\prime }(x)=-1+\frac{12}{x^2}=0\Rightarrow x=2\sqrt{3}$, $f(2\sqrt{3})=10-4\sqrt{3}\approx 3,0718$. Đỉnh cao nhất là $C(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$. Khoảng cách $IC=\sqrt{(2\sqrt{3}-2{)}^2+(2-4\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4(\sqrt{3}-1{)}^2+4(1-2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{26,43}\approx 5,1415$ đơn vị $\approx 514m$. Đúng.

b) Với $x\ne 0$: $f(x)+f(-x)=\left(-x+10-\frac{12}{x}\right)+\left(x+10+\frac{12}{x}\right)=20$, nên đồ thị nhận điểm $M(0;10)$ làm tâm đối xứng. Đúng.

c) Khoảng cách từ $I(2;8)$ đến điểm $(x;f(x))$ trên đường biên: $d^2(x)=(x-2{)}^2+{\left(2-x-\frac{12}{x}\right)}^2$. Khảo sát (đạo hàm, thử nghiệm) cho giá trị nhỏ nhất tại $x\approx 3,13$ với $d\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509m$, không phải $510m$. Sai.

d) Dây phao $AB\parallel Ox$ tại $y=t$: phương trình $-x+10-\frac{12}{x}=t\iff x^2-(10-t)x+12=0$ có hai nghiệm $x_B<x_A$, tích bằng 12, tổng $10-t$. Chiều dài $AB=x_A-x_B=\sqrt{(10-t{)}^2-48}$. Khoảng cách từ $I(2;8)$ đến đường thẳng $y=t$ là $8-t$ (với $t<8$). Điều kiện $8-t=AB$: đặt $L=8-t$ thì $10-t=L+2$, nên $(L+2{)}^2-48=L^2\Rightarrow 4L-44=0\Rightarrow L=11$. Vậy $AB=11$, diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị diện tích $=605000m^2$. Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn (mã đề 611, Câu 2: a)Đ - b)Đ - c)S - d)Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại $C(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$, $IC\approx 5,1415$ đơn vị $\approx 514m$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)+f(-x)=20$ với mọi $x\ne 0$, tâm đối xứng $M(0;10)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách ngắn nhất từ $I$ đến đường biên $\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509m$, không phải $510m$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $8-t=AB$ cho $L=11$, $S=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị $=605000m^2$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x+10-\frac{12}{x}$ với $x>0$.

a) $f^{\prime }(x)=-1+\frac{12}{x^2}=0\Rightarrow x=2\sqrt{3}$, $f(2\sqrt{3})=10-4\sqrt{3}$. Đỉnh cao nhất là $(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$. Khoảng cách tới $I(2;8)$: $d^2=(2\sqrt{3}-2{)}^2+(2-4\sqrt{3}{)}^2=68-24\sqrt{3}\approx 26,431\Rightarrow d\approx 5,141$ đơn vị $\approx 514$ m. Đúng.

b) $f(x)=-x+10-\frac{12}{x}$ có tiệm cận đứng $x=0$, tiệm cận xiên $y=-x+10$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $M(0;10)$. Đúng.

c) Xét $d^2(x)=(x-2{)}^2+{\left(2-x-\frac{12}{x}\right)}^2$. Giải ${\left[d^2\right]}^{\prime }=0$ được $x\approx 3,127$, khi đó $d^2\approx 25,92\Rightarrow d\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509$ m $\ne 510$ m. Sai.

d) Dây phao $AB\parallel Ox$ tại $y=t$: phương trình $-x+10-\frac{12}{x}=t\iff x^2+(t-10)x+12=0$, nên $AB=x_A-x_B=\sqrt{(t-10{)}^2-48}$. Khoảng cách từ $I(2;8)$ đến $AB$ là $8-t$. Điều kiện $8-t=\sqrt{(t-10{)}^2-48}$, bình phương: $(8-t{)}^2=(t-10{)}^2-48\Rightarrow 64-16t=t^2-20t+52\Rightarrow 4t=-12\Rightarrow t=-3$. Khi đó $AB=11$ và diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị diện tích $=605000m^2$. Đúng.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại $(2\sqrt{3};10-4\sqrt{3})$, khoảng cách tới $I(2;8)$ là $\sqrt{68-24\sqrt{3}}\approx 5,141$ đơn vị $\approx 514$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=0$ và TCX $y=-x+10$, tâm đối xứng $M(0;10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách ngắn nhất từ $I$ đến đường biên đạt tại $x\approx 3,127$ với giá trị $\approx 5,091$ đơn vị $\approx 509$ m, không phải 510 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $8-t=\sqrt{(t-10{)}^2-48}$ cho $t=-3$, $AB=11$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 11\cdot 11=60,5$ đơn vị $=605000m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{cx+b}$ có tiệm cận đứng $x=2$ nên $cx+b=0$ tại $x=2$, tức $2c+b=0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$ nên $\frac{2}{b}=-1\Rightarrow b=-2$. Suy ra $2c-2=0\Rightarrow c=1$. Vậy $b=-2,c=1$, khớp với đáp án D (đúng như bảng đáp án mã đề 124).

a) Đúng. TXD: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Bảng biến thiên: Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(3;3)$, khi đó $3^2+3=12$.
b) Đúng. Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-1}$. Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x-1}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x-1}=0$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên $y=x-2$.
c) Sai. Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=1$. Giao điểm của 2 đường tiệm cận là $I(1;-1)$. Gọi $M(2;4)\in (C)$, khi đó phương trình tiếp tuyến $d$ tại $M$: $y=-3(x-2)+4=-3x+10$. $d$ cắt hai đường tiệm cận tại $A(1;7)$, $B(3;1)$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{1}{2}IA\cdot d\left(B;IA\right)=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2=8$.
d) Đúng. Ta có bảng biến thiên Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1<2<x_2<15$ thì $4<m<\frac{93}{7}$. Mà $m$ nguyên nên $m\in \{5;6;...;13\}$. Có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số $m$.
a) Đúng. TXD: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Bảng biến thiên của hàm số $y=\frac{x^2-3x+6}{x-1}$: Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(3;3)$. Khi đó ta có $3^2+3=12$.
b) Đúng. Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-1}$. Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x-1}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x-1}=0$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên $y=x-2$.
c) Sai. Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=1$. Giao điểm của 2 đường tiệm cận là $I(1;-1)$. Gọi $M(2;4)\in (C)$, khi đó phương trình tiếp tuyến $d$ tại $M$ có dạng: $y=-3(x-2)+4=-3x+10$. $d$ cắt hai đường tiệm cận tại $A(1;7)$, $B(3;1)$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{1}{2}IA\cdot d\left(B;IA\right)=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 2=8$.
d) Đúng. Ta có bảng biến thiên Để phương trình $\frac{x^2-3x+6}{x-1}=m$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn $x_1<2<x_2<15$ thì $4<m<\frac{93}{7}$. Mà $m$ nguyên nên $m\in \{5;6;...;13\}$. Có tất cả 9 giá trị nguyên của tham số $m$.