Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: nhánh phải đi xuống nên $a<0$. Đạo hàm $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2$ (cực tiểu bên trái trục tung, cực đại bên phải). Theo Viète: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$, vì $a<0$ nên $b>0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, vì $a<0$ nên $c>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d=y(0)=d<0$. Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=2$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=1$, hàm nghịch biến trên mỗi nhánh. Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$, tiệm cận đứng $x=2$, và $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, phù hợp bảng biến thiên. Các phương án B, D có tiệm cận đứng khác ($x=-2$, $x=-1$); phương án C có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2\ne 1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nằm bên trái trục $Oy$) và tiệm cận xiên, nên loại C (chỉ có tiệm cận ngang $y=1$) và loại D (tiệm cận đứng $x=2$ bên phải trục $Oy$). So sánh A và B: $y_A=\frac{x^2+x-2}{x+1}=x-\frac{2}{x+1}$, khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to +\infty$ (nhánh trái đi lên), khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống rồi tăng dần theo tiệm cận xiên $y=x$), đồng thời $y_A=0$ tại $x=1$ và $x=-2$ — khớp với đồ thị. Với B: $y_B=\frac{x^2-x}{x+1}=x-2+\frac{2}{x+1}$, khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to -\infty$ (nhánh trái đi xuống), không khớp đồ thị. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$. Xét $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$: chia đa thức ta được $y=x+1+\frac{1}{x-2}$, có TCĐ $x=2$ và TCX $y=x+1$. Vì $\frac{1}{x-2}>0$ khi $x>2$ nên nhánh phải nằm trên tiệm cận xiên và có cực tiểu; nhánh trái nằm dưới tiệm cận xiên — đúng như hình vẽ. Loại A (TCĐ $x=-2$), C (TCX $y=1$), D (đồ thị đi qua điểm $x=2$ do $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, không có TCĐ). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 81 (trang 59): Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nằm bên trái trục $y$), nên loại C, D (có tiệm cận đứng $x=2$). Xét A: $y=\frac{x^2+x-2}{x+1}=x-1-\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận xiên $y=x-1$ (không đi qua gốc tọa độ), cắt trục $y$ tại $y=-2$. Xét B: $y=\frac{x^2+x-1}{x+1}=x-\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận xiên $y=x$ đi qua gốc tọa độ (khớp đường nét đứt trong hình), cắt trục $y$ tại $y=-1$ và cắt trục $x$ tại $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0,618$ (sát bên phải gốc). Đồ thị trong hình: nhánh phải đi lên từ dưới tiệm cận đứng, cắt trục $y$ ngay dưới gốc rồi cắt trục $x$ sát bên phải gốc, tiệm cận xiên qua gốc — khớp hoàn toàn với phương án B. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nằm bên trái trục $Oy$) và tiệm cận xiên $y=x$. Xét $y=\frac{x^2+x-2}{x+1}=x-\frac{2}{x+1}$: có TCĐ $x=-1$, TCX $y=x$; khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to +\infty$ (nhánh trái đi lên), khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống từ $-\infty$), đúng như hình vẽ. Nghiệm $y=0$: $x^2+x-2=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=-2$, khớp hai giao điểm với trục hoành trên đồ thị. Các phương án B, C, D không khớp (B có TCX $y=x+2$; C có TCĐ $x=2$; D có TCĐ $x=2$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (mẫu khác 0) nên a đúng. $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$, đều thuộc tập xác định, qua mỗi điểm đạo hàm đổi dấu nên hàm số có hai điểm cực trị: cực tiểu $(0;1)$, cực đại $(2;5)$ → b đúng, d đúng. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$; $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$ ($x\ne 1$). Do đó trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến, không đồng biến → c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}=0$ tại $x=0,x=2$; đạo hàm đổi dấu qua mỗi điểm nên có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$ ($x\ne 1$), nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$, không đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=2$; $y(2)=\frac{4+2-1}{1}=5$, nên điểm cực đại là $(2;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 26: a) Tại x=0, y=0-0+0-2=-2 nên đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ -2 → đúng. b) Hàm y=(2x-3)/(x-1) có mẫu bằng 0 tại x=1, nên tiệm cận đứng là x=1 chứ không phải x=2 → sai. c) Phép chia: (x²+2x-2)/(x-1)=x+3+1/(x-1) (vì (x-1)(x+3)=x²+2x-3), nên tiệm cận xiên là y=x+3, không phải y=x+2 → sai. d) y'=1-1/(x-1)²=0 cho x=0 và x=2; y(0)=2, y(2)=6. Trung điểm hai điểm cực trị là (1;4). Tâm đối xứng của đồ thị y=x+3+1/(x-1) là giao hai tiệm cận I(1;3) ≠ (1;4) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
y(0)=-2 nên đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ -2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số x-1=0 tại x=1, nên tiệm cận đứng là x=1, không phải x=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
y=x+3+1/(x-1), tiệm cận xiên là y=x+3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị (0;2) và (2;6) có trung điểm (1;4), nhưng tâm đối xứng của đồ thị là I(1;3).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2-2x+6}{x+1}$.
a) Điều kiện xác định: $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2-2-x^2+2x-6}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$. Đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-4)$, $f^{\prime }<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$, $f^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với $f(-4)=\frac{16+8+6}{-3}=-10$, còn $x=2$ là điểm cực tiểu với $f(2)=2$. Giá trị cực đại bằng $-10$, không phải $2$. Sai.
d) Đặt $t=x^2-2\ge -2$, $t\ne -1$ (tức $x\ne \pm 1$). $y^{\prime }=f^{\prime }(t)\cdot 2x$. Trên $(-\infty ;-1)$: $2x<0$, $t\in [-2;-1)$ nên $f^{\prime }(t)<0$ ⇒ $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Trên $(-1;0)$: $2x<0$, $t\in (-1;2)$, $f^{\prime }(t)<0$ ⇒ $y^{\prime }>0$ (đồng biến) → tại $x=0$ không đổi dấu đạo hàm, không cực trị. Trên $(0;2)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ → $x=2$ là điểm cực tiểu. Trên $(-2;-1)$: $2x<0$, $t\in (2;4)$, $f^{\prime }(t)>0$ ⇒ $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); trên $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ → $x=-2$ là điểm cực đại. Vậy hàm số chỉ có 2 điểm cực trị ($x=\pm 2$), không phải 3. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }=0$ tại $x=-4,x=2$; hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $f(-4)=-10$; $x=2$ là cực tiểu với $f(2)=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x^2-2$, $y^{\prime }=f^{\prime }(t)\cdot 2x$; hàm chỉ có 2 điểm cực trị $x=\pm 2$ (cực đại tại $x=-2$, cực tiểu tại $x=2$); $x=0$ không phải cực trị vì đạo hàm không đổi dấu qua $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: điều kiện x-2≠0 nên tập xác định là ℝ\{2}, không phải ℝ\{-2}. b) Đúng: y' = [(x-2)-(x+1)]/(x-2)² = -3/(x-2)² với mọi x≠2. c) Đúng: tại x=3, y'(3) = -3/(3-2)² = -3 = k. d) Đúng: tiếp tuyến song song với (d): y=-3x+12 nên y'=-3 ⇔ -3/(x-2)²=-3 ⇔ (x-2)²=1 ⇔ x=1 hoặc x=3. Với x=1: y=(1+1)/(1-2)=-2, A(1;-2); với x=3: y=(3+1)/(3-2)=4, B(3;4). AB=√((3-1)²+(4+2)²)=√(4+36)=√40=2√10. Khớp đáp án nguồn: a S, b D, c D, d D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi x-2≠0, tức x≠2. Vậy tập xác định là ℝ\{2}, không phải ℝ\{-2}.
b) (AI giải đề cho tôi)
y' = [(x-2)·1-(x+1)·1]/(x-2)² = -3/(x-2)² với mọi x≠2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc tiếp tuyến tại x=3 là k=y'(3)=-3/(3-2)²=-3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến song song với y=-3x+12 nên y'=-3 ⇔ (x-2)²=1 ⇔ x=1 hoặc x=3. A(1;-2), B(3;4), AB=√(2²+6²)=√40=2√10.

Đáp án chính thức (bảng đáp án mã 1102, câu 14): ĐSDS — a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Căn cứ theo bảng đáp án nguồn trang 7 và kiểm tra bằng tính toán: $y^{\prime }=3x^2-6x-9$; tiếp tuyến tại $A(1;-5)$ là $y=-12x+7$; $y^{\prime }=-12$ chỉ có nghiệm kép $x=1$ (một điểm); $y^{\prime }>0$ có tập nghiệm $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.
a) Vì $A(1;-5)$ thuộc $(C)$: $y(1)=1-3-9+6=-5$. $y^{\prime }=3x^2-6x-9$ nên $y^{\prime }(1)=3-6-9=-12$. Tiếp tuyến: $y=-12(x-1)-5=-12x+7$. Khẳng định đúng.
b) $y^{\prime }=-12\iff 3x^2-6x-9=-12\iff 3x^2-6x+3=0\iff (x-1{)}^2=0\iff x=1$. Chỉ có một điểm duy nhất nên khẳng định sai.
c) $y^{\prime }=3x^2-6x-9$. Khẳng định đúng.
d) $y^{\prime }>0\iff 3x^2-6x-9>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$. Tập nghiệm là $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$, không phải $(-1;3)$. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có $y(0)=1$, đi qua điểm cực đại khoảng $(-0,8;2,1)$ và cực tiểu khoảng $(0,8;0)$. Xét $y=x^3-2x+1$: $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2/3}\approx \pm 0,816$. Tại $x=-\sqrt{2/3}$: $y\approx 2,09$ (cực đại), tại $x=\sqrt{2/3}$: $y\approx -0,09$ (cực tiểu), khớp với đồ thị. Các phương án còn lại có cực trị tại $x=0$ hoặc $x=4/3$ không khớp. Đáp án C, trùng với đáp án đề 0102.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm (0;1) và có hai điểm cực trị: cực đại tại x âm (giá trị khoảng 2) và cực tiểu tại x dương (gần trục Ox). Xét $y=x^3-2x+1$: $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-2=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\approx \pm 0,577$. Tại $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ hàm đạt cực đại $y\approx 2,08$, tại $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ đạt cực tiểu $y\approx -0,08$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án B, C, D có số hạng $x^2$ nên hai điểm cực trị không đối xứng qua gốc tọa độ như hình (với D, $y^{\prime }=3x^2-4x=0$ cho cực trị tại $x=0$ và $x=\frac{4}{3}$, không đúng hình). Đáp án A khớp với đáp án của đề (mã 0101, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nét đứt đỏ) và tiệm cận xiên $y=x$ (nét đứt đỏ chéo), đi qua $(0;1)$ và có cực tiểu bên phải, cực đại bên trái tại $(-2;-3)$. Loại A, B vì chỉ có tiệm cận ngang $y=0$ và $y=2$. Xét C: $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}=x-2+\frac{3}{x+1}$, khi đó $y(0)=1$ nhưng cực đại nhánh trái tại $x=-4$ với $y(-4)=-6$, không khớp điểm $(-2;-3)$. Xét D: $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$, có TCĐ $x=-1$, TCX $y=x$, $y(0)=1$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\Rightarrow x=0$ (cực tiểu, $y=1$) và $x=-2$ (cực đại, $y(-2)=-2-1=-3$), khớp hoàn toàn với đồ thị. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án in đậm trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x=3(x-2{)}^2-12\ge -12$, nên hệ số góc nhỏ nhất là $a=-12$ tại $x=2$. Khi đó $y(2)=8-24+1=-15$, tiếp tuyến: $y=-12(x-2)-15=-12x+9$, vậy $b=9$ và $P=a\cdot b=-12\cdot 9=-108$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và trên mỗi nhánh hàm số nghịch biến (nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ về $1$, nhánh trái đi từ $1$ xuống $-\infty$), tức hệ số $a<0$ với dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$.
- A: $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có TCN $y=2$ và $a=1>0$ (đồng biến) → loại.
- B: $y=\frac{-x+1}{x+1}$ có TCĐ $x=-1$, TCN $y=-1$ → loại.
- C: $y=\frac{2x-2}{2x+1}$ có TCĐ $x=-\frac{1}{2}$ → loại.
- D: $y=\frac{x+1}{x-1}$ có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ (nghịch biến) → khớp đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
y'=(3/8)(x^2-2x-3)=(3/8)(x-3)(x+1). a) Hàm bậc 3 có tâm đối xứng tại x=1 (x=-b/3a), y(1)=(1-3-9-5)/8=-2, nên tâm là (1;-2): đúng. b) Hệ số góc k=(3/8)(x^2-2x-3) nhỏ nhất tại x=1 (y”=(3/4)(x-1)=0), k_min=(3/8)(1-3)(1+1)=-3/2. Tiếp tuyến tại điểm (1;-2): y=-3/2(x-1)-2=-3x/2-1/2, tại x=0 cho y=-1/2 ≠ -7/3, nên tiếp tuyến này không đi qua A(0;-7/3): sai. c) y'=0 tại x=-1 và x=3 (hai nghiệm phân biệt, đổi dấu), nên đồ thị có 2 điểm cực trị: đúng. d) Trên [4;8] hàm số đồng nhất tăng (x>3), nên max tại x=8 chứ không phải x=4: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc 3 tại x=1; y(1)=(1-3-9-5)/8=-2, nên tâm là (1;-2).
b) (AI giải đề cho tôi)
k=(3/8)(x^2-2x-3) nhỏ nhất tại x=1 với k=-3/2; tiếp tuyến y=-3x/2-1/2 không đi qua A(0;-7/3) vì tại x=0 có y=-1/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
y'=(3/8)(x-3)(x+1) có hai nghiệm phân biệt x=-1, x=3 và đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên có 2 điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [4;8] hàm số đồng nhất tăng (x>3), giá trị lớn nhất đạt tại x=8, không phải x=4.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên a) đúng. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$, đổi dấu qua cả hai điểm nên hàm số có hai điểm cực trị (cực đại tại $x=0$, $y(0)=1$; cực tiểu tại $x=2$, $y(2)=5$) nên b) đúng. Trên $(0;1)$ và $(1;2)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$, do đó c) sai. Điểm $(2;5)$ là điểm cực tiểu chứ không phải cực đại (cực đại là $(0;1)$) nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}=0$ tại $x=0,2$ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua cả hai điểm, nên hàm có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;1)$ thì $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến trên $(0;1)$ (chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=2$, $y=5$ và $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $(2;5)$ là điểm cực tiểu; điểm cực đại là $(0;1)$.