Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c+d=0$; tiệm cận ngang $y=-1$ nên $a/c=-1$ tức $a=-c$; đồ thị đi qua $(2;0)$ nên $2a+b=0$ tức $b=-2a=2c$; đồ thị đi qua $(0;-2)$ nên $b/d=-2$, thỏa mãn với $d=-c$. Chọn $c=1$ ta được hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$. a) $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}=\frac{(-1)(-1)-2\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không có khoảng đồng biến. b) Tiệm cận đứng: $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$); tiệm cận ngang: $y=-1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=a/c=-1$).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua $(0;1)$, có cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$, đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(0)=1$ — khớp hoàn toàn. Phương án A là parabol; B có cực đại tại $x=1$ giá trị $3$ và cực tiểu tại $x=-1$ giá trị $-1$ (ngược hình); C có $y(0)=1$ nhưng cực đại tại $x=-1$ giá trị $5$, không khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx-1}$ (hình vẽ ở Câu 2, giống hình ở Câu 21):
- Tiệm cận đứng là $x=1$: mẫu số triệt tiêu tại $x=1$ nên $c\cdot 1-1=0\Rightarrow c=1>0$.
- Tiệm cận ngang là $y=1$: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{ax+b}{cx-1}=\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=1>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $-2$: $y(0)=\frac{b}{-1}=-b=-2\Rightarrow b=2>0$.
- Kiểm tra chiều biến thiên: $y^{\prime }=\frac{-ac-bc}{(cx-1{)}^2}=\frac{-1-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$, hàm nghịch biến trên mỗi nhánh, đúng như hình vẽ.
Vậy cả ba hệ số $a=1$, $b=2$, $c=1$ đều dương: có 3 số dương. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình có hai cực trị: cực đại bên trái gốc toạ độ, cực tiểu bên phải, đồ thị đi qua gốc toạ độ (hoặc rất gần gốc), và hai đầu đường cong đi lên bên phải, đi xuống bên trái nên hệ số của $x^3$ dương. Do đó loại B và D (hệ số của $x^3$ âm). Xét C: $y=x^3-3x^2+2024$ có $y(0)=2024\ne 0$, đồ thị không đi qua gốc toạ độ, và cực đại tại $x=0$ nằm đúng trên trục tung — không khớp hình vẽ. Xét A: $y=x^3-2024x$ là hàm lẻ, đồ thị đi qua gốc toạ độ, có cực đại tại $x=-\sqrt{2024/3}<0$ và cực tiểu tại $x=\sqrt{2024/3}>0$, dạng hình chữ N với hệ số dẫn dắt dương — khớp với đường cong trong hình. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với trục tung là điểm có hoành độ $x=0$. Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ $-2$ (điểm $(0;-2)$ được đánh dấu trên hình). Vậy tọa độ giao điểm với trục tung là $(0;-2)$, chọn đáp án A. Lưu ý: $(2;0)$ là giao điểm với trục hoành nên các phương án B, C, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$, có cực đại tại $(-2;-2)$ (đánh dấu nét đứt) và cực tiểu tại $(0;2)$, đồng thời đi qua điểm $(0;2)$. Xét $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$: có TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; $y(0)=2$, $y(-2)=-2$ khớp hoàn toàn với hình. Loại A (có tiệm cận ngang $y=1$), B (cực trị tại $x=-1\pm \sqrt{5}$ không khớp), C (parabol không có tiệm cận đứng). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba (loại C, D vì parabol không có cực đại lẫn cực tiểu). Hàm $y=-x^3+3x^2-4$ có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=-4$ và cực đại tại $x=2$ với $y(2)=-8+12-4=0$. Điều này khớp hoàn toàn với đồ thị: điểm cực tiểu $(0;-4)$, điểm cực đại $(2;0)$, và đi qua $x=-1$ với $y(-1)=1+3-4=0$. Hàm $y=x^3-4$ đơn điệu tăng, không có cực trị, không khớp. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=2$, và $y^{\prime }<0$ trên từng khoảng (hàm nghịch biến). Với $y=\frac{2x+1}{x-2}$: $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$; giới hạn ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$ — khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Kiểm tra phương án B: $y=\frac{2x-5}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ (đồng biến) nên sai. Các phương án C, D có mẫu $x+2$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$, sai. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: nhánh trái xuống dưới, nhánh phải lên trên nên $a>0$. Đồ thị đi qua điểm cực đại tại $x=-1$ (cao hơn trục) và điểm cực tiểu tại $x=1$ (thấp hơn trục), với điểm cực tiểu nằm xa gốc hơn phía bên phải, suy ra tổng hoành độ hai điểm cực trị $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ mà $a>0$ nên $b<0$. Trên khoảng $(-1;1)$ hàm số nghịch biến nên $y^{\prime }(0)=c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm dương (giữa $2$ và giá trị cực tiểu âm) nên $d>0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x_0=-\frac{d}{c-1}$ nằm hơi bên trái trục $Oy$ nên $x_0<0$. Vì $d<0$ nên $-d>0$, do đó $c-1>0\Rightarrow c>1$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a-1}{c-1}$ nằm hơi phía trên trục $Ox$ (nhánh phải tiến về giá trị dương nhỏ) nên $\frac{a-1}{c-1}>0$, mà $c-1>0$ nên $a>1$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có hoành độ $x=0$, tung độ $y=\frac{b}{d}<0$ (dưới gốc $O$); vì $d<0$ nên $b>0$. Vậy $a>1,b>0,c>1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có điểm cực đại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu $(1;-2)$, đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.
a) Đúng: điểm cực đại là $(-1;2)$.
b) Sai: đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (một điểm $x<-1$, điểm $x=0$ và một điểm $x>1$), vì $y_{CD}=2>0$, $y_{CT}=-2<0$.
c) Đúng: hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nên đồng biến trên $(1;+\infty )$.
d) Đúng: hai điểm cực trị $(-1;2)$ và $(1;-2)$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$ (tọa độ đối nhau).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại trên đồ thị là $(-1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y_{CD}=2>0$ và $y_{CT}=-2<0$, đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (trong đó có điểm $O(0;0)$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nên đồng biến trên $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị $(-1;2)$ và $(1;-2)$ có tọa độ đối nhau nên đối xứng qua gốc tọa độ $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(-2x+1)(x+1)-(-x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x}{(x+1{)}^2}=\frac{-x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. a) $y^{\prime }>0\iff -x(x+2)>0\iff x\in (-2;0)$, loại $x=-1$, nên hàm số đồng biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ → đúng. b) $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=0$, đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm có hai điểm cực trị (cực đại tại $x=-2$, cực tiểu tại $x=0$) → đúng. c) Giải $-x^2+x+1=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ (hai nghiệm phân biệt, khác $-1$), nên đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm → sai. d) Phân số: $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}=-x+2-\frac{1}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=-x+2$. Tại $x=1$: $y=-1+2=1\ne 2$, nên tiệm cận xiên không đi qua $A(1;2)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-x(x+2)}{(x+1{)}^2}>0$ trên $(-2;0)$ trừ $x=-1$, nên hàm đồng biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=0$, đạo hàm đổi dấu qua mỗi nghiệm nên có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2+x+1=0$ có hai nghiệm $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$, nên đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=-x+2-\frac{1}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+2$; tại $x=1$ có $y=1\ne 2$ nên không đi qua $A(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=4x-3+\frac{1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=4x-3$. Đồ thị hàm số dạng này có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận đó, nên $I(2;5)$, tức $a=2$, $b=5$. Khi đó $a-3b=2-3\cdot 5=2-15=-13$. Kiểm tra: với mọi $x\ne 2$, $f(2+t)+f(2-t)=\left(8+4t-3+\frac{1}{t}\right)+\left(8-4t-3-\frac{1}{t}\right)=10=2b$, đúng là tâm đối xứng $I(2;5)$. Vậy $a-3b=-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có điểm cực tiểu $(1;1)$ và điểm cực đại $(3;5)$, tức $f(1)=1$, $f(3)=5$ và $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(3)=0$.

Suy ra $f^{\prime }(x)=k(x-1)(x-3)=k(x^2-4x+3)$, nên $f(x)=k\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+d$.

Tại $x=3$: $f(3)=k(9-18+9)+d=d=5$.

Tại $x=1$: $f(1)=k\left(\frac{1}{3}-2+3\right)+5=\frac{4k}{3}+5=1\Rightarrow k=-3$.

Vậy $f(x)=-x^3+6x^2-9x+5$.

Kiểm tra: $f(1)=-1+6-9+5=1$ ✓, $f(3)=-27+54-27+5=5$ ✓, $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x-9=-3(x-1)(x-3)$ ✓.

Do đó $f(5)=-125+150-45+5=-15$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Từ Hình 1: tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua $(2;2)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$.

Viết $y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c(cx+d)}$.
- TCN $y=1\Rightarrow \frac{a}{c}=1\Rightarrow a=c$.
- TCĐ $x=\frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{d}{c}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=-2d$. Chọn $d=1$ thì $c=a=-2$.
- $y(2)=2$: $\frac{-4+b}{-4+1}=2\Rightarrow b=-2$.
- Kiểm tra $y(-1)=\frac{2-2}{2+1}=0$ ✓.
Vậy $a=b=c=-2,d=1$, tức $y=\frac{2x+2}{2x-1}$.

b) Từ BBT Hình 2: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=2$; cực tiểu $f(0)=-1$, cực đại $f(2)=3$; hai đầu $f\to \mp \infty$ nên $a<0$.
- $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$.
- $f^{\prime }(2)=0\Rightarrow 12a+4b=0\Rightarrow b=-3a$.
- $f(0)=d=-1$.
- $f(2)=8a+4b+d=8a-12a-1=-4a-1=3\Rightarrow a=-1$, suy ra $b=3$.
Vậy $a=-1,b=3,c=0,d=-1$.

$T=a+2b+3c-d=-1+6+0+1=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(0)=1\Rightarrow d=1>0$. $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=0$, nên $f^{\prime }(0)=c=0$ và $f^{\prime }(-2)=12a-4b=0\Rightarrow b=3a$. Mặt khác $f(-2)=2$: $-8a+4b+d=2\Rightarrow -8a+12a+1=2\Rightarrow a=\frac{1}{4}>0$, suy ra $b=\frac{3}{4}>0$. Vậy $a>0$, $b>0$, $c=0$, $d>0$: có 3 số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0$ nên $\frac{d}{c}>0$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0$ (nằm trên trục hoành) mà $a>0$ nên $c>0$, suy ra $d>0$. Hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh nên $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}<0$, tức $ad-bc<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ âm (điểm cắt nằm dưới trục hoành) nên $y(0)=\frac{b}{d}<0$, mà $d>0$ nên $b<0$. Vậy trong các số $b,c,d$ có đúng 2 số dương là $c$ và $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$ nên $x+c=0\Rightarrow c=-2$. Tiệm cận ngang $y=a=-1$ (đồ thị tiệm cận đường thẳng $y=-1$). Kiểm tra: đồ thị đi qua điểm $(3;0)$: $\frac{3a+3}{3+c}=0\Rightarrow a=-1$ (thỏa); giao với trục tung tại $\left(0;-\frac{3}{2}\right)$: $\frac{3}{c}=-\frac{3}{2}\Rightarrow c=-2$ (thỏa). Vậy $a-2c=-1-2(-2)=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba (có 2 điểm cực trị, đi từ $-\infty$ đến $+\infty$), loại C, D (hàm bậc bốn có dạng W/M). Trên hình, hàm đồng biến rồi nghịch biến rồi đồng biến, cực đại nằm bên trái gốc tọa độ với giá trị dương, cực tiểu bên phải với giá trị âm. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; tại $x=-1$ đạt cực đại $y=2>0$, tại $x=1$ đạt cực tiểu $y=-2<0$, đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Hàm $y=-x^3+3x$ cho cực đại bên phải, cực tiểu bên trái, ngược với hình. Vậy đáp án là A.