Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=a{x}^3+3x+d$ có $y^{\prime }=3a{x}^2+3$. Đồ thị đi lên ở bên trái ($x\to -\infty ,y\to +\infty$) và đi xuống ở bên phải ($x\to +\infty ,y\to -\infty$), nên $a<0$. Giao điểm với trục tung là $(0;d)$ nằm dưới gốc tọa độ O (đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ âm theo trục y), nên $d<0$. Vậy $a<0,d<0$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$ nên $a<0$. Hàm số có cực tiểu tại $x_1<0$ và cực đại tại $x_2>0$, tức phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu. Theo Viète: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$, với $a<0$ suy ra $b>0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, với $a<0$ suy ra $c>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d=y(0)<0$. Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có điểm cực tiểu tại $x=-1$ với $f(-1)=0$ và điểm cực đại tại $x=1$ với $f(1)=4$; đạo hàm $f^{\prime }(x)$ có dạng $-3x^2+3$ (dương trên $(-1;1)$). Xét $y=-x^3+3x+2$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=1-3+2=0$ (cực tiểu vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$), $y(1)=-1+3+2=4$ (cực đại). Các phương án khác: A có $y^{\prime }=-3x^2-6x$ với nghiệm $x=0,-2$; C có $y^{\prime }=3x^2-6x$ với nghiệm $x=0,2$; D có $y^{\prime }=3x^2-3$ nhưng $y(-1)=6\ne 0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh đều nghịch biến, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (dưới trục hoành). Loại C, D vì không có tiệm cận đứng. Xét A: $y=\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=2$, loại. Xét B: $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh; $y(0)=-1<0$ khớp với hình vẽ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ (khớp $cx-1=0$), tiệm cận ngang $y=-1$ nên $\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-c$. Đồ thị đi qua $(2;0)$: $2a+b=0\Rightarrow b=-2a$. Đi qua $(0;-2)$: $\frac{b}{-1}=-2\Rightarrow b=2$. Suy ra $a=-1$, $c=1$. Vậy $a<0$, $b>0$, $c>0$: có 2 số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0$ nên $\frac{d}{c}>0$ ($c$, $d$ cùng dấu). Tiệm cận ngang $y=\frac{b}{d}>0$ nên $b$, $d$ cùng dấu. Hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh nên $\frac{a}{c}<0$, tức $a$ trái dấu với $c$, do đó $a$ trái dấu với $d$ và với $b$: $ad<0$ và $ab<0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+4x+5}{x+2}$ (phương án D), xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+4)(x+2)-(x^2+4x+5)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+3)(x+1)}{(x+2{)}^2}$. Vậy $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$ và $x=-1$; $f^{\prime }>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>-1$, $f^{\prime }<0$ khi $-3<x<-2$ hoặc $-2<x<-1$ — đúng như bảng biến thiên. Giới hạn: khi $x\to (-2{)}^{-}$, tử số $=1>0$, mẫu âm nên $f\to -\infty$; khi $x\to (-2{)}^{+}$ thì $f\to +\infty$ — khớp bảng. Cực đại $f(-3)=\frac{9-12+5}{-1}=-2$; cực tiểu $f(-1)=\frac{1-4+5}{1}=2$ — khớp bảng. Các phương án A, B có đạo hàm không triệt tiêu tại $-3,-1$; phương án C có tiệm cận đứng $x=2$ (sai miền xác định). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (loại C vì C có tiệm cận đứng $x=-2$) và tiệm cận xiên (loại B vì B có tiệm cận ngang $y=1$). Xét A: $y=\frac{x^2-x+1}{x-2}=x+1+\frac{3}{x-2}$, có $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x-2{)}^2}$ nên hàm số có cực trị, đồ thị phải có 2 nhánh cùng đi lên với điểm cực trị — không khớp hình vẽ (hai nhánh đơn điệu, nhánh trái tăng, nhánh phải cũng tăng và tiệm cận xiên $y=x+1$). Xét D: $y=\frac{x^2-x-3}{x-2}=x+1-\frac{1}{x-2}$, có $y^{\prime }=1+\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, không có cực trị; tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận xiên $y=x+1$ — khớp hoàn toàn với đồ thị đã cho (nhánh trái tăng lên $+\infty$ khi $x\to 2^{-}$, nhánh phải tăng từ $-\infty$ khi $x\to 2^{+}$, tiệm cận xiên đi qua các điểm gần gốc). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy tiệm cận đứng $x=-2$ và hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng, giới hạn khi $x\to \pm \infty$ lần lượt là $+\infty$ và $-\infty$. Xét $y=\frac{-x^2-2x+1}{x+2}$ (đáp án A): $y^{\prime }=\frac{(-2x-2)(x+2)-(-x^2-2x+1)}{(x+2{)}^2}=\frac{-x^2-4x-5}{(x+2{)}^2}=-\frac{(x+2{)}^2+1}{(x+2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -2$, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$. Khi $x\to \pm \infty$, $y\sim -x-2$ nên $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$, $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$. Tại $x=-2$: tử số $=-4+4+1=1>0$, nên $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$, $x\to -2^{+}$ thì $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án B, D có tiệm cận đứng $x=-2$ nhưng giới hạn vô cực không phù hợp (B: $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$, $x\to -2^{+}$ thì $y\to +\infty$ nhưng khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 1$, không phải $\pm \infty$; D tương tự $y\to -1$). Phương án C có tiệm cận đứng $x=2$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. a) Trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến → đúng. b) $y^{\prime }=0$ tại $x=\pm 1$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ nên điểm cực đại là $x=-1$ (không phải $x=1$) → sai. c) Trên đoạn $[2;5]$, $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến; GTNN tại $x=2$: $y(2)=8-6+1=3\ne 111$ (111 là $y(5)=125-15+1$) → sai. d) $A(-1;3)$ (cực đại), $B(1;-1)$ (cực tiểu), $C(1;2)$. $BC$ là đoạn thẳng đứng dài $|2-(-1)|=3$, khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $x=1$ là $2$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$, nên điểm cực đại là $x=-1$; tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;5]$ hàm đồng biến nên GTNN là $y(2)=3$, không phải 111 (111 = $y(5)$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(1;2)$: $BC=3$, khoảng cách từ $A$ đến $x=1$ bằng 2, $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f đồng biến trên (-∞;0) và (3;+∞), nghịch biến trên (0;3); f(0)=2 (cực đại), f(3)=-4 (cực tiểu).
a) Sai: hàm đồng biến trên (-∞;0), không phải (-∞;2).
b) Đúng: f' đổi dấu từ - sang + tại x=3 nên f đạt cực tiểu tại x=3.
c) Sai: trên khoảng (-∞;3), f(0)=2 nên GTLN bằng 2, nhưng f(x)>-4 với mọi x<3 (vì f(3)=-4 không thuộc khoảng) nên hàm không có GTNN = -4 trên khoảng này.
d) Sai: f(x)+2=0 ⇔ f(x)=-2. Trên (-∞;0) f tăng từ -∞ đến 2 nên có 1 nghiệm; trên (0;3) f giảm từ 2 đến -4 nên có 1 nghiệm; trên (3;+∞) f tăng từ -4 đến +∞ nên có 1 nghiệm. Cả 3 nghiệm đều đơn nên đồ thị y=2025/(f(x)+2) có 3 tiệm cận đứng. Ngoài ra khi x→±∞, f(x)+2→+∞ nên y=0 là tiệm cận ngang. Tổng cộng đồ thị có 4 đường tiệm cận, không phải 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên (-∞;0) và (3;+∞), không đồng biến trên (-∞;2) vì trên (0;2) hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=3 nên hàm đạt cực tiểu tại x=3, giá trị cực tiểu f(3)=-4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng (-∞;3): f(0)=2 nên GTLN bằng 2; nhưng f(3)=-4 không thuộc khoảng và f(x)>-4 với mọi x<3 nên hàm không có GTNN bằng -4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình f(x)=-2 có 3 nghiệm đơn (mỗi khoảng đồng biến/nghịch biến 1 nghiệm) nên có 3 tiệm cận đứng; đồng thời y=0 là tiệm cận ngang vì f(x)+2→+∞ khi x→±∞. Vậy đồ thị có 4 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Trên $(-1;0)$ thì $f^{\prime }(x)<0$, trên $(0;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$. → Sai.

b) Vì $f(x)-\left(x+1\right)=\frac{1}{x+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận xiên là $y=x+1$. → Đúng.

c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$; với $x\in (-1;0)$ hàm nghịch biến, $x\in (0;+\infty )$ hàm đồng biến nên $x=0$ là điểm cực tiểu, $f(0)=2$, điểm cực tiểu $(0;2)$. → Đúng.

d) Đặt $t=x+1\ne 0$, khi đó $f(x)=t+\frac{1}{t}$. Phương trình $\left|t+\frac{1}{t}\right|=5$:
- Với $t>0$: $t+\frac{1}{t}=5\iff t^2-5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt dương.
- Với $t<0$: $t+\frac{1}{t}=-5\iff t^2+5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt âm.

Vậy tổng cộng 4 nghiệm phân biệt của $x$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-1;0)$ nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(0)=0$, hàm nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, $f(0)=2$ nên điểm cực tiểu là $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x+1\ne 0$, $|t+1/t|=5$ cho 2 nghiệm dương và 2 nghiệm âm của $t$, tức 4 nghiệm phân biệt của $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đồ thị đi qua $(0;1)$ và $(1;0)$. Với $y=\frac{ax+1}{cx+d}$: $y(0)=\frac{1}{d}=1\Rightarrow d=1$; $y(1)=\frac{a+1}{c+1}=0\Rightarrow a=-1$; tiệm cận ngang $\frac{a}{c}=-1\Rightarrow c=1$. Vậy $y=\frac{-x+1}{x+1}$. a) $y^{\prime }=\frac{-(x+1)-(-x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-2}{(x+1{)}^2}<0$ trên mỗi khoảng xác định nên hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định → Đúng. b) ${\lim }_{x\to +\infty }y=\frac{a}{c}=-1$ → Đúng. c) Khi $x\to -1^{+}$: tử số $-(-1)+1=2>0$, mẫu số $x+1\to 0^{+}$ nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \ne -\infty$ → Sai. d) $a=-1\ne 2$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-2}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, nên hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }y=\frac{a}{c}=\frac{-1}{1}=-1$, đúng với tiệm cận ngang $y=-1$ trên đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{-x+1}{x+1}$, khi $x\to -1^{+}$ thì tử số tiến về 2 và mẫu số tiến về $0^{+}$, nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, không phải $-\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $y(1)=0$ suy ra $a+1=0\Rightarrow a=-1\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
h(x)=(x^2-2x-1)/(x+1), y' = (x^2+2x-1)/(x+1)^2, cực trị tại x=-1±√2 với y lần lượt -4-2√2 và -4+2√2. Khoảng cách = √((2√2)^2+(4√2)^2)=√40=2√10≈6,32≠10 → a sai. Khi x→−∞, h(x)~x−3→−∞ → b sai. Phương trình h(x)=−2x cho 3x^2−1=0, hai nghiệm phân biệt x=±1/√3 (đều khác −1) → c đúng. Chia đa thức: x^2−2x−1=(x+1)(x−3)+2 nên tiệm cận xiên y=x−3 → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
y'=(x^2+2x-1)/(x+1)^2=0 tại x=-1±√2. h(-1-√2)=-4-2√2, h(-1+√2)=-4+2√2. Khoảng cách = √((2√2)^2+(4√2)^2)=√40=2√10≈6,32≠10.
b) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=x-3+2/(x+1), khi x→−∞ thì h(x)→−∞, không phải +∞.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=-2x ⟺ x^2-2x-1=-2x(x+1) ⟺ 3x^2-1=0 ⟺ x=±1/√3, hai nghiệm phân biệt và đều thuộc tập xác định, nên có hai điểm chung phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
x^2-2x-1=(x+1)(x-3)+2 nên h(x)=x-3+2/(x+1), tiệm cận xiên là y=x-3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tập xác định của $g$ là $[-2;+\infty )$ (khoảng trước $-2$ bị gạch chéo), $g(-2)=0$, $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$ trên $(-2;0)$ (khi $x\to 0^{-}$ thì $g(x)\to +\infty$), $g(0)=1$ và $g$ nghịch biến từ $1$ xuống $-\infty$ trên $(0;+\infty )$.

a) Trên $(0;+\infty )$ ta có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$: ĐÚNG.

b) Trên $(-2;0)$: $g(-2)=0$ và $g$ đồng biến, $g(x)\ge 0$, đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cắt tại điểm này). Trên $(0;+\infty )$: $g$ liên tục, giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên theo định lý giá trị trung gian, đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm. Vậy đồ thị luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm: ĐÚNG.

c) Tại $x=0$, do ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$ nên hàm số không liên tục tại $x=0$, không thể đạt cực đại tại đó (cực đại yêu cầu hàm liên tục và đổi dấu đạo hàm từ $+$ sang $-$ quanh điểm đó với giá trị hữu hạn): SAI.

d) Xét $y=\frac{1}{g(x)-1}$:
- Tiệm cận đứng: $g(x)=1$ xảy ra tại đúng một điểm trên $(-2;0)$ (vì $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$) và tại $x=0$ (vì $g(0)=1$, mẫu số bằng $0$). Vậy $a=2$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{g(x)-1}=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{g(x)-1}=0$ nên có $b=1$ đường tiệm cận ngang $y=0$.
Khi đó $a^2+b^2=4+1=5\ne 10$: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(-2)=0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$; trên $(0;+\infty )$ hàm liên tục giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên còn cắt trục hoành thêm một điểm. Vậy luôn cắt trục hoành ít nhất một điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$, hàm số không liên tục tại $x=0$ nên không đạt cực đại tại đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1$ có đúng một nghiệm trên $(-2;0)$ và tại $x=0$ nên $a=2$; hàm số có $b=1$ tiệm cận ngang $y=0$. Suy ra $a^2+b^2=5\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là trục $Oy$ ($x=0$), tiệm cận xiên là đường $y=-x$ (đường thẳng đi qua gốc, hệ số góc $-1$), và đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$. Xét $y=\frac{-x^2+1}{x}=-x+\frac{1}{x}$: có TCĐ $x=0$, TCX $y=-x$, và $y=0\iff x=\pm 1$ (điểm $x=1$ nằm trong hình). Các phương án khác: A có TCĐ $x=-1$; C có TCĐ $x=1$ và TCX $y=x$; D là hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ và $x=0$, hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$; cực đại $f(-2)=2$, cực tiểu $f(0)=-2$. Xét đáp án A: $f(x)=x^3+3x^2-2$ có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$, nên $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>0$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<0$ — đúng dấu biến thiên. Ngoài ra $f(-2)=-8+12-2=2$ (cực đại) và $f(0)=-2$ (cực tiểu) khớp bảng biến thiên. Các đáp án khác: B có $f^{\prime }=-3x(x-2)$ với cực trị tại $x=0;2$ (sai); C có $f^{\prime }=x^2+2x=x(x+2)$, $f(-2)=-8/3+4-2=-2/3\ne 2$ (sai); D có $f^{\prime }=3x^2+3>0$ luôn đồng biến (sai). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: bảng biến thiên có đường tiệm cận đứng x=-1 (f' không xác định, f không xác định tại x=-1), nên D=R\{-1}. b) Đúng: trên nhánh (-∞;-1) hàm tăng từ 1 đến 2 (không đạt 2), trên nhánh (-1;+∞) hàm tăng từ -∞ đến f(1)=3 rồi giảm đến -1; giá trị lớn nhất trên toàn tập xác định là f(1)=3. c) Sai: f' không xác định tại x=-1 nên không thể nói hàm đồng biến trên khoảng (-∞;1); hàm chỉ đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;1). d) Sai: với y=2x/|x+1|, trên khoảng (-∞;-1) ta có y=-2x/(x+1), y'=-2/(x+1)^2<0 nên hàm nghịch biến trên (-∞;-1), mâu thuẫn với bảng biến thiên (đồng biến, đi từ 1 đến 2).
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên có tiệm cận đứng x=-1 nên hàm không xác định tại x=-1: D=R\{-1}.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;-1) hàm tăng từ 1 đến 2 (chưa đạt 2); trên (-1;+∞) hàm đạt cực đại f(1)=3 rồi giảm. Vậy GTLN của hàm số bằng 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
f' không xác định tại x=-1 nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng (-∞;1); hàm chỉ đồng biến trên (-∞;-1) và (-1;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với y=2x/|x+1|, khi x<-1: y=-2x/(x+1) có y'=-2/(x+1)^2<0, hàm nghịch biến trên (-∞;-1), trái với bảng biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{2x-1}$ xác định khi $2x-1\ne 0\iff x\ne \frac{1}{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$: mệnh đề a đúng.
Ta có $y^{\prime }=\frac{1\cdot (2x-1)-2(x+2)}{(2x-1{)}^2}=\frac{2x-1-2x-4}{(2x-1{)}^2}=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$, nên mệnh đề c sai (không phải $\frac{3}{(2x-1{)}^2}$).
Vì $y^{\prime }=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}\ne 0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$, hàm số không có cực trị: mệnh đề b đúng.
Vì $y^{\prime }<0$ trên mỗi khoảng xác định $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$: mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-1\ne 0\iff x\ne \frac{1}{2}$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}\ne 0$ trên tập xác định nên hàm số không có cực trị: đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(2x-1)-2(x+2)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{3}{(2x-1{)}^2}$: sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ trên từng khoảng xác định nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$: sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng đường cong bậc ba đi lên từ $-\infty$ (nhánh trái đi xuống từ $+\infty$), có một điểm cực tiểu bên trái trục tung và một điểm cực đại bên phải trục tung, cắt trục tung tại điểm $(0;1)$. Loại A (parabol bậc hai) và C (bậc bốn có 2 nhánh cùng hướng). Xét B: $y=-x^3+3x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+3$, cực đại tại $x=-1$ (bên trái) và cực tiểu tại $x=1$ (bên phải) — trái với hình vẽ. Xét D: $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3$, cực tiểu tại $x=-1$ với $y(-1)=-1$ (dưới trục hoành, bên trái) và cực đại tại $x=1$ với $y(1)=3$ (bên phải), $y(0)=1$ — khớp hoàn toàn với đồ thị.