Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $c-1=0\Rightarrow c=1$. Tiệm cận ngang là $y=-1$ nên $\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=2$: $\frac{2a+b}{2c-1}=0\Rightarrow 2a+b=0\Rightarrow b=2$. Vậy $S=a+b+c=-1+2+1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$, với $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$. Vậy $y^{\prime }=3x(x-2)$, suy ra $y=x^3-3x^2+C$. Kiểm tra giá trị: $y(0)=2\Rightarrow C=2$, và $y(2)=8-12+2=-2$ khớp với bảng. Vậy hàm số là $y=x^3-3x^2+2$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $-c=1\Rightarrow c=-1$. Đồ thị đi qua điểm $(0;3)$: $3=2+\frac{b}{c}\Rightarrow \frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại $(2;0)$: $0=2a+2+\frac{b}{2+c}=2a+2-1=2a+1\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$ (khớp với tiệm cận xiên $y=-\frac{x}{2}+2$ đi xuống như hình). Vậy $P=a-3b+2c=-\frac{1}{2}-3(-1)+2(-1)=-\frac{1}{2}+3-2=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng tại $x=2$ nên $d=-2<0$. Ta có $f(0)=\frac{c}{d}=-1\Rightarrow c=2>0$. Có $f(4)=7$: $\frac{16a+4b+2}{2}=7\Rightarrow 4a+b=3$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2ax+b)(x+d)-(a{x}^2+bx+c)}{(x+d{)}^2}=\frac{a{x}^2+2adx+(bd-c)}{(x+d{)}^2}=\frac{a{x}^2-4ax-2b-2}{(x+d{)}^2}$. Vì $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=4$ nên $-2b-2=0\Rightarrow b=-1<0$; khi đó $4a-1=3\Rightarrow a=1>0$ (tử số là $x^2-4x$, đúng có nghiệm $0$ và $4$). Vậy $a=1>0$, $b=-1<0$, $c=2>0$, $d=-2<0$: có 2 số dương. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

Đáp án mã đề 221: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{x^2-3x+3}{1-x}=-x+2-\frac{1}{x-1}$ (với $x\ne 1$). Khi đó $f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}$, nên $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, $f^{\prime }(x)<0\iff 0<x<2$ (trừ $x=1$).
a) Trên $(0;2)$ hàm số nghịch biến (trừ điểm gián đoạn $x=1$), nên khẳng định SAI.
b) Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=2$, không phải cực đại → SAI.
c) Trên $[3/2;7/2]$, hàm nghịch biến trên $[3/2;2]$ và đồng biến trên $[2;7/2]$, nên $\min f=f(2)=\frac{4-6+3}{-1}=-1\ne -\frac{3}{2}$ → SAI.
d) Hai điểm cực trị: $A(0;3)$, $B(2;-1)$. Với $C(-1;2)$: $CA=\sqrt{2}$, $CB=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, nên $\frac{AD}{DB}=\frac{CA}{CB}=\frac{1}{3}$. Khi đó $D=\frac{3A+B}{4}=\left(\frac{1}{2};2\right)$, tức $a=\frac{1}{2},b=2$, suy ra $4a-b=2-2=0$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\in (0;2),x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[3/2;7/2]$, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=2$: $f(2)=-1\ne -\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(0;3)$, $B(2;-1)$, $C(-1;2)$; $CA=\sqrt{2}$, $CB=3\sqrt{2}$ nên $AD:DB=1:3$, $D=\frac{3A+B}{4}=(1/2;2)$, do đó $4a-b=4\cdot \frac{1}{2}-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) C(0)=0/(0+4)=0 mg/l → đúng. b) C(6)=180/40=4,5 mg/l; lim C(t) khi t→+∞ bằng 0 (không phải 7,5), và hàm giảm sau t=2 → sai. c) C'(t)=30(4−t²)/(t²+4)²=0 tại t=2, C(2)=60/8=7,5 mg/l là mức cao nhất, không phải 4 mg/l → sai. d) 30t/(t²+4)≥6 ⇔ t²−5t+4≤0 ⇔ 1≤t≤4, độ dài khoảng thời gian là 4−1=3 giờ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(0)=0/(0+4)=0 mg/l.
b) (AI giải đề cho tôi)
C(6)=180/40=4,5 mg/l; tiệm cận khi t→+∞ là 0, không phải 7,5 mg/l.
c) (AI giải đề cho tôi)
C'(t)=30(4−t²)/(t²+4)²=0 tại t=2; C(2)=60/8=7,5 mg/l là giá trị lớn nhất.
d) (AI giải đề cho tôi)
30t/(t²+4)≥6 ⇔ t²−5t+4≤0 ⇔ 1≤t≤4, kéo dài đúng 3 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng x=1 nên d=-1; f(0)=2 nên c=-2; f(2)=6 nên 4a+2b-2=6 ⇒ 2a+b=4. f'(0)=0: f'(x)=[(2ax+b)(x+d)-(ax²+bx+c)]/(x+d)², tại x=0: -b+2=0 ⇒ b=2, a=1. Vậy f(x)=(x²+2x-2)/(x-1). Kiểm tra: f(0)=2, f(2)=6 đúng.
a) Sai: f'(x)<0 trên (0;1) và (1;2) nhưng hàm không xác định tại x=1 (tiệm cận đứng), nên không nghịch biến trên toàn khoảng (0;2).
b) Đúng: cực đại f(0)=2, cực tiểu f(2)=6, tích 2·6=12.
c) Sai: a+b+c+d=1+2-2-1=0≠2.
d) Đúng: với x>1 thì y=f(x)≥6>0, tổng khoảng cách tới hai trục là S=x+y=x+(x²+2x-2)/(x-1)=(2x²+x-2)/(x-1)=2x+3+1/(x-1). Đặt t=x-1>0: S=2t+5+1/t≥5+2√2, dấu bằng tại t=1/√2 (tức x=1+√2/2). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 5+2√2.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)<0 trên (0;1) và (1;2) nhưng hàm số không xác định tại x=1 (tiệm cận đứng), nên hàm không nghịch biến trên toàn khoảng (0;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại f(0)=2, giá trị cực tiểu f(2)=6, tích bằng 12.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tìm được a=1, b=2, c=-2, d=-1 nên a+b+c+d=0≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x>1, y≥6>0 nên tổng khoảng cách S=x+y=(2x²+x-2)/(x-1)=2t+5+1/t với t=x-1>0, đạt min 5+2√2 tại t=1/√2.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nhận $x=-1$ làm tiệm cận đứng nên $-c+d=0\Rightarrow d=c$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}=\frac{k}{(x+1{)}^2}$ với $k>0$ (đồ thị dương). Từ đồ thị $f^{\prime }(0)=3\Rightarrow k=3$, tức $a-b=3c$ (với $c\ne 0$).
Vì $f^{\prime }(x)>0$ trên mọi khoảng xác định nên $f$ đồng biến trên $(-1;+\infty )$: ý a) Đúng.
GTLN trên $[0;2]$ đạt tại $x=2$: $f(2)=1\Rightarrow 2a+b=3c$. Kết hợp $a-b=3c$ được $b=-c,a=2c$; chọn $c=1$: $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$.
Kiểm tra: $f(0)=-1$, $f(2)=1$ (GTLN đúng), $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}$, $f^{\prime }(0)=3$ khớp đồ thị.
b) $f(0)=-1\ne 1$: Sai.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{a}{c}=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$: Đúng.
d) $y=2-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $3$: $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}\Rightarrow x\in \{0,-2,2,-4\}$ với $y\in \{-1,5,1,3\}$, tức 4 điểm nguyên chứ không phải 6: Sai.
Khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên $f$ đồng biến trên $(-1;+\infty )$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tìm được $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$, nên $f(0)=-1\ne 1$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{a}{c}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y=2-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của 3: $x\in \{0,-2,2,-4\}$, cho 4 điểm nguyên, không phải 6. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=4$ với $a>0$, nên $y^{\prime }=3a(x+1)(x-4)=3a(x^2-3x-4)$. Suy ra $2b=-9a\Rightarrow \frac{b}{a}=-\frac{9}{2}$. Theo Vieta, tổng ba nghiệm của phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ (tức hoành độ giao điểm với trục hoành) là $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=\frac{9}{2}$. Vậy $S=\frac{x_1+x_2+x_3}{2}=\frac{9}{4}=2,25$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba $y=x^3-6x^2+9x-1$ có hoành độ $a=-\frac{-6}{3}=2$. Tính $f(2)=8-24+18-1=1$. Kiểm tra: đặt $x=t+2$ thì $y=t^3-3t+1$, hàm $t^3-3t$ lẻ nên đồ thị đối xứng qua điểm $(0;1)$ trong hệ $(t;y)$, tức $I(2;1)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-3x+4}{x-2}=x-1+\frac{2}{x-2}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x-1$, nên tâm đối xứng là giao của hai đường này: $x=2\Rightarrow y=1$. Vậy $I(2;1)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị nhận gốc tọa độ O(0;0) làm tâm đối xứng khi hàm số là hàm lẻ: f(-x) = -f(x). Xét từng phương án: A: y = x³ - 3x + 1 có f(0) = 1 ≠ 0 nên tâm đối xứng không phải O. B: y = x³ - 3x là hàm lẻ vì f(-x) = -x³ + 3x = -f(x), do đó đồ thị nhận O(0;0) làm tâm đối xứng. C: y = (x+1)/(x-1) có tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận x = 1 và y = 1, tức I(1;1), không phải O. D: y = x² - 2x là parabol có trục đối xứng x = 1, không có tâm đối xứng. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $y=-0^3+3\cdot 0^2+5=5$. Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục hoành Ox có tung độ $y=0$: $\frac{3x+6}{x-1}=0\Rightarrow 3x+6=0\Rightarrow x=-2$ (thỏa $x\ne 1$). Vậy giao điểm là $(-2;0)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $x^3-3x^2+4=0$. Thử $x=2$: $8-12+4=0$, nên phân tích $x^3-3x^2+4=(x-2)(x^2-x-2)=(x-2{)}^2(x+1)$. Các nghiệm phân biệt là $x=2$ và $x=-1$, tức đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm $(2;0)$ và $(-1;0)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có hai điểm tới hạn $x=-1$ và $x=1$, nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$; giá trị tại $x=-1$ là $0$ (cực tiểu) và tại $x=1$ là $4$ (cực đại); $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$. Xét $y=-x^3+3x+2$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=1-3+2=0$ (cực tiểu), $y(1)=-1+3+2=4$ (cực đại); dấu $y^{\prime }>0$ khi $-1<x<1$, $y^{\prime }<0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$ — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Phương án A có $y^{\prime }=3x^2-3$ (đồng biến ngoài, nghịch biến trong — ngược bảng); C có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ luôn nghịch biến; D có $y^{\prime }=-3x^2+6x$ với điểm tới hạn $x=0$ và $x=2$ — không khớp. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$, và nghịch biến trên cả hai khoảng xác định. Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$ (phương án B): $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$; ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$, khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A có ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=+\infty$ (sai dấu); C có tiệm cận đứng $x=1$; D có tiệm cận đứng $x=-2$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có điểm cực đại tại $(0;1)$ và điểm cực tiểu tại $(2;-3)$, và đi lên vô hạn khi $x\to +\infty$ nên hệ số $a>0$. Xét $y=x^3-3x^2+1$: $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=1$ (cực đại); tại $x=2$: $y=8-12+1=-3$ (cực tiểu), khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác không thỏa: A có $a=-1<0$ (nhánh đi xuống bên phải); C có $y^{\prime }=3x^2+6x$ nên cực trị tại $x=0$ và $x=-2$; D có $y^{\prime }=3x^2-3$ nên cực trị tại $x=\pm 1$. Vậy đáp án là B.