Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-2)$. Xét $y=\frac{x-2}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ nên TCĐ $x=-1$; bậc tử bằng bậc mẫu với hệ số dẫn $1/1=1$ nên TCN $y=1$; $y=0\iff x=2$; $y(0)=\frac{-2}{1}=-2$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có $y(0)=2$ và $y=0$ tại $x=-2$; C có TCĐ $x=1$; D có $y(0)=2$ và TCN $y=-1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Câu 44): đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đường đứt nét), tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua $(0;2)$ và có hệ số góc $1$, tức $y=x+2$; đồ thị cắt trục $Oy$ tại $y=4$ và có hai nhánh đồng biến. Xét phương án A: $y=\frac{x^2+x-4}{x-1}=x+2-\frac{2}{x-1}$, có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+2$, $y(0)=4$, $y^{\prime }=1+\frac{2}{(x-1{)}^2}>0$ (đồng biến trên mỗi nhánh), $y=0\iff x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\approx 1,56$ — khớp với hình vẽ. Phương án B: $y=-x+2-\frac{2}{x-1}$ có TCX $y=-x+2$ (sai). Phương án C: TCĐ là $x=-1$ (sai). Phương án D: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ nên $y=x+3$ với $x\ne 1$, là đường thẳng, không có TCĐ (sai). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường đứt nét cắt trục tung tại $(0;1)$ và cắt trục hoành tại $x=-1$). Xét phương án B: $y=\frac{x^2+4}{x-1}=x+1+\frac{5}{x-1}$, có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+1$. Chiều biến thiên: $y^{\prime }=1-\frac{5}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{5}$. Cực tiểu tại $x=1+\sqrt{5}\approx 3,24$, $y_{CT}\approx 6,47$; cực đại tại $x=1-\sqrt{5}\approx -1,24$, $y_{CĐ}\approx -4,47$ — khớp với hình vẽ (nhánh phải có điểm thấp nhất khoảng $(3,2;6,5)$, nhánh trái có điểm cao nhất khoảng $(-1,2;-4,5)$). Phương án A có TCX $y=x$ và cực trị $y_{CĐ}=-3$, $y_{CT}=5$ không khớp; phương án C có TCĐ $x=-1$; phương án D có TCX $y=x$ và không có cực trị ($y^{\prime }=\frac{(x-1{)}^2+4}{(x-1{)}^2}>0$). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ nên hàm đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=4$; $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-5$.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu $+\to -$ tại $x=-1$ (cực đại) và $-\to +$ tại $x=2$ (cực tiểu).

b) Đúng: bảng biến thiên cho thấy khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$.

c) Sai: vì $f(-1)=4>0$ và $f(2)=-5<0$, do $f$ liên tục trên $[-1;2]$, theo định lý giá trị trung gian tồn tại $x_0\in (-1;2)$ sao cho $f(x_0)=0$, tức đồ thị cắt trục hoành (thực chất hàm bậc ba có cực đại dương và cực tiểu âm nên có 3 nghiệm phân biệt).

d) Đúng: trên đoạn $[-1;2]$, hàm nghịch biến trên $(-1;2)$ nên $\max =f(-1)=4$, $\min =f(2)=-5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ (cực tiểu).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $f(-1)=4>0$ và $f(2)=-5<0$, hàm liên tục nên tồn tại nghiệm $f(x)=0$ trên $(-1;2)$; đồ thị cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$ hàm nghịch biến nên $\max =f(-1)=4$, $\min =f(2)=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có điểm cực tiểu $(0;-1)$ và điểm cực đại $(2;3)$, hai nhánh đi xuống hai đầu (nhánh trái đi lên từ $+\infty$ khi $x\to -\infty$) nên $a<0$. Khi đó $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=0,x=2$; hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$.
a) Trên $(0;2)$ hàm đi từ điểm cực tiểu $(0;-1)$ lên điểm cực đại $(2;3)$ nên đồng biến → Đúng.
b) Đồ thị cắt trục tung tại $x=0$, tức điểm cực tiểu $(0;-1)$, nên $f(0)=-1$ → Đúng.
c) Vì $f(x)\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ nên $a<0$; khẳng định $a>0$ sai → Sai.
d) Trên $[0;2]$, hai đầu đoạn là hai điểm cực trị với $f(0)=-1$, $f(2)=3$, nên giá trị lớn nhất bằng 3 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đi từ cực tiểu $(0;-1)$ lên cực đại $(2;3)$ nên đồng biến trên $(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm cực tiểu $(0;-1)$, tức $f(0)=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)\to +\infty$ khi $x\to -\infty$ nên $a<0$; khẳng định $a>0$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $f(0)=-1$ (cực tiểu), $f(2)=3$ (cực đại), nên giá trị lớn nhất bằng 3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-4}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-4)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không có cực trị → đúng.

b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-4}{x+1}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang → đúng.

c) Mẫu số bằng 0 tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{x-4}{x+1}=-\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$ → sai.

d) Hai tiệm cận $x=-1$, $y=1$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật với chiều rộng 1 (từ $x=-1$ đến $x=0$) và chiều cao 1 (từ $y=0$ đến $y=1$), chu vi $=2(1+1)=4$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{5}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không có cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-4}{x+1}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-1$ (mẫu số bằng 0), không phải $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-1$, $y=1$, $x=0$, $y=0$ có kích thước $1\times 1$, chu vi $=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $x+c=0\Rightarrow c=-1$. Tiệm cận ngang là $y=2$ nên $a=2$. Đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$: $f(0)=\frac{b}{c}=\frac{b}{-1}=-1\Rightarrow b=1$. Vậy $T=a+b+c=2+1-1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực tiểu $(-1;1)$, điểm cực đại $(1;5)$, và $f(0)=3$ (đồ thị cắt trục tung tại 3). Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với hai nghiệm $x=\pm 1$ nên $f^{\prime }(x)=3a(x^2-1)$, suy ra $b=0$, $c=-3a$. Vì $f(0)=d=3$. Với $f(1)=a-3a+3=-2a+3=5$ suy ra $a=-1$ (kiểm tra $f(-1)=2a+3=1$ đúng). Vậy $f(x)=-x^3-3x+3$ và $f(3)=-27-9+3=-33$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị đi qua điểm $(0;1)$, có cực đại tại $x=-1$ với giá trị $3$, cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-1$, và hàm số đồng biến khi $x\to \pm \infty$ nên hệ số $a>0$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án A, B có $a<0$ nên loại; phương án C có $y(0)=1$ nhưng cực đại tại $x=-1$ là $2(-1{)}^3+6+1=5\ne 3$ nên loại.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có: đi qua điểm (0;1), cực tiểu tại x=1 với y=0 (tiếp xúc trục hoành), và cắt trục hoành tại x=-1. Kiểm tra phương án A: y=x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1). Khi x=0 thì y=1 ✓; khi x=1 thì y=0 ✓ (nghiệm kép nên cực tiểu chạm trục hoành); khi x=-1 thì y=0 ✓. y'=3x^2-2x-1=0 tại x=1 và x=-1/3, với x=-1/3 hàm đạt cực đại y=32/27≈1,19 khớp với đồ thị. Các phương án khác: B có y(0)=1 nhưng y(1)=1≠0; C có y(0)=-1; D là hàm bậc ba với hệ số âm (đi xuống bên phải), không khớp. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ (đạo hàm đổi dấu qua điểm này, y' dương hai bên nên là tiệm cận đứng), tiệm cận ngang $y=\frac{1}{4}$, và hàm đồng biến trên cả hai khoảng. Xét $y=\frac{2-x}{2-4x}$ (đáp án A): mẫu số $2-4x=0\iff x=\frac{1}{2}$ ✓; giới hạn khi $x\to \pm \infty$: $\lim =\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$ ✓; $y^{\prime }=\frac{-(2-4x)+4(2-x)}{(2-4x{)}^2}=\frac{-2+4x+8-4x}{(2-4x{)}^2}=\frac{6}{(2-4x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$, nên hàm đồng biến trên cả hai khoảng ✓. Các phương án khác: B có $\lim =\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$; C có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$ và $\lim =-\frac{1}{4}$; D có tiệm cận đứng $x=\frac{3}{4}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên: hàm số xác định trên R, nghịch biến trên R (y'<0) và lim_{x→-∞} y=+∞, lim_{x→+∞} y=-∞.
- A: y=-3x³-2x+3, y'=-9x²-2<0 với mọi x; lim_{x→-∞}y=+∞, lim_{x→+∞}y=-∞. Thỏa mãn.
- B: y=-3x⁴-2 có y'=-12x³ đổi dấu và lim_{x→±∞}y=-∞. Loại.
- C: y=-3x/(4-2x) có tiệm cận ngang y=3/2, không tiến đến ±∞. Loại.
- D: y=-3x³+2x+9 có y'=-9x²+2 đổi dấu tại x=±√2/3. Loại.
Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức $y=\frac{2x}{3x-5}$ là giao điểm của hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=\frac{5}{3}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{3}$. Vậy tâm đối xứng là $\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân thức: $4x^2+2x-2=(-2x-1)(-2x)-2$, nên $y=-2x+\frac{2}{2x+1}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận xiên $y=-2x$, nên tâm đối xứng là giao điểm: $x=-\frac{1}{2}$, $y=-2\left(-\frac{1}{2}\right)=1$. Vậy tâm đối xứng là $\left(-\frac{1}{2};1\right)$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm bậc ba $y=2x^3+x^2-2x-2$ có tâm đối xứng là điểm uốn, tức nơi $y^{\prime \prime }=0$. Ta có $y^{\prime }=6x^2+2x-2$, $y^{\prime \prime }=12x+2$. Giải $12x+2=0$ được $x_0=-\frac{1}{6}$. Tính $y_0=2{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3+{\left(-\frac{1}{6}\right)}^2-2\left(-\frac{1}{6}\right)-2=-\frac{1}{108}+\frac{1}{36}+\frac{1}{3}-2=\frac{-1+3+36-216}{108}=-\frac{178}{108}=-\frac{89}{54}$. Vậy tâm đối xứng là $\left(-\frac{1}{6};-\frac{89}{54}\right)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-4x^2+2x-6}{3-2x}$.
a) Điều kiện xác định: $3-2x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{3}{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\}$; khẳng định a SAI.
b) $y^{\prime }=\frac{(-8x+2)(3-2x)-(-4x^2+2x-6)(-2)}{(3-2x{)}^2}$. Tính: $(-8x+2)(3-2x)=16x^2-28x+6$; $(-4x^2+2x-6)(-2)=8x^2-4x+12$. Hiệu: $16x^2-28x+6-(8x^2-4x+12)=8x^2-24x-6$. Vậy $y^{\prime }=\frac{8x^2-24x-6}{(3-2x{)}^2}$, khẳng định b ĐÚNG.
c) Tại $x=\frac{3}{2}$ mẫu bằng 0, tử $-4\cdot \frac{9}{4}+3-6=-12\ne 0$, nên tiệm cận đứng là $x=\frac{3}{2}$; khẳng định c ĐÚNG.
d) Phép chia: $-4x^2+2x-6=(2x+2)(3-2x)-12$, nên $y=2x+2-\frac{12}{3-2x}$. Đường thẳng $y=2x+2$ có tâm đối xứng tại mọi điểm trên nó, và $-\frac{12}{3-2x}$ đối xứng qua $x=\frac{3}{2}$, nên đồ thị có tâm đối xứng $I\left(\frac{3}{2};2\cdot \frac{3}{2}+2\right)=I\left(\frac{3}{2};5\right)$; khẳng định d ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $3-2x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{3}{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$, không phải loại $-\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(-8x+2)(3-2x)-(-4x^2+2x-6)(-2)}{(3-2x{)}^2}=\frac{16x^2-28x+6-(8x^2-4x+12)}{(3-2x{)}^2}=\frac{8x^2-24x-6}{(3-2x{)}^2}$, trùng với khẳng định đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=\frac{3}{2}$ mẫu bằng 0, tử bằng $-12\ne 0$, nên $x=\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $y=2x+2-\frac{12}{3-2x}$, đồ thị có tâm đối xứng $I\left(\frac{3}{2};2\cdot \frac{3}{2}+2\right)=I\left(\frac{3}{2};5\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có nghiệm $x=0,x=3$ nên $c=0$, $2b=-9a\Rightarrow b=-\frac{9a}{2}$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=d=5$, đạt cực tiểu tại $x=3$ với $f(3)=-\frac{17}{2}$.

Ta có $f(3)=27a-\frac{81a}{2}+5=-\frac{27a}{2}+5=-\frac{17}{2}\Rightarrow a=1$, $b=-\frac{9}{2}$.
Vậy $f(x)=x^3-\frac{9}{2}{x}^2+5$.

a) Sai: cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=3$ (khẳng định đảo ngược).

b) Sai: trên $(-\infty ;0)$ có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

c) $a+b+c+d=f(1)=1-\frac{9}{2}+5=\frac{3}{2}\ne \frac{1}{2}$ → Sai.

d) Xét $y=\frac{2048}{f(x)-1}$: có tiệm cận ngang $y=0$. Phương trình $f(x)=1$ tức $x^3-\frac{9}{2}{x}^2+4=0$ có 3 nghiệm phân biệt (vì $1$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-\frac{17}{2}$ và cực đại $5$, kiểm tra: $f(0)=5>1$, $f(3)=-8.5<1$, $f(x)\to \pm \infty$ khi $x\to \pm \infty$) → 3 tiệm cận đứng. Tổng cộng 4 đường tiệm cận → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho y' đổi dấu từ + sang − tại x=0 (cực đại, f(0)=5) và từ − sang + tại x=3 (cực tiểu, f(3)=-17/2). Khẳng định đảo ngược nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;0) bảng cho y'=+ nên hàm số đồng biến, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ y'=3ax²+2bx+c có nghiệm 0 và 3: c=0, b=-9a/2. f(0)=d=5; f(3)=-27a/2+5=-17/2 ⇒ a=1, b=-9/2. Vậy a+b+c+d=f(1)=1-9/2+5=3/2≠1/2, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
y=2048/(f(x)-1) có tiệm cận ngang y=0 và tiệm cận đứng tại nghiệm của f(x)=1. Vì min f=-17/2 < 1 < 5 = max f nên f(x)=1 có 3 nghiệm phân biệt ⇒ 3 tiệm cận đứng. Tổng 4 đường tiệm cận, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số $y=a{x}^3-2x^2+cx+d$ cắt trục hoành tại $x=1$, $x=2$ (và $x=-1$), cắt trục tung tại điểm có hoành độ $d=2$ (đồ thị đi qua điểm $(0;2)$, cực đại khoảng $2$ gần $x=0$, cực tiểu khoảng $-1$ giữa $1$ và $2$).

Thay $d=2$ và hai nghiệm $x=1$, $x=2$:
$$y(1)=a-2+c+2=0\Rightarrow a+c=0$$
$$y(2)=8a-8+2c+2=0\Rightarrow 4a+c=3$$
Trừ hai phương trình: $3a=3\Rightarrow a=1$, suy ra $c=-1$, $d=2$.

Kiểm tra: $y=x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)$, đúng ba nghiệm $-1;1;2$ như đồ thị; $y^{\prime }=3x^2-4x-1$ cho cực đại tại $x\approx -0,215$ với $y\approx 2,1$ và cực tiểu tại $x\approx 1,55$ với $y\approx -0,63$, phù hợp hình vẽ.

Vậy $a+2c+d=1+2(-1)+2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $-2x+d=0$ tại $x=-2\Rightarrow d=-4$. Tiệm cận ngang $y=-1$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{ax+b}{-2x+d}=\frac{a}{-2}=-1\Rightarrow a=2$. Đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$ nên $\frac{b}{d}=1\Rightarrow b=d=-4$; kiểm tra giao điểm với trục hoành: $ax+b=0\iff x=-\frac{b}{a}=2$, khớp với hình (đồ thị cắt trục hoành gần $x=2$). Vậy $-3a+2b-d=-3(2)+2(-4)-(-4)=-6-8+4=-10$.