Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba nghịch biến từ trái sang phải (đi từ +∞ xuống -∞) nên $a<0$. Đồ thị có cực đại và cực tiểu đều nằm bên trái/trên trục hoành gần gốc: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm âm, nên tổng nghiệm $-\frac{2b}{3a}<0$ và tích nghiệm $\frac{c}{3a}>0$. Vì $a<0$ nên từ tích nghiệm suy ra $c<0$; từ tổng nghiệm suy ra $b<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm dương (nhánh cong qua gốc có phần nhô lên trên trục hoành ngay bên trái O và cắt trục tung tại giá trị dương nhỏ) nên $d>0$. Vậy trong các số $a,b,c,d$ chỉ có đúng 1 số dương là $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^4-2x^2-3$, TXĐ $\mathbb{R}$. $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$; $y^{\prime }=0\iff x\in \{-1;0;1\}$.

a) Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến; trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

b) Tại $x=\pm 1$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu, $y_{CT}=-4$; hai điểm cực tiểu $(-1;-4)$ và $(1;-4)$. Tại $x=0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại $y_{CĐ}=-3$; điểm cực đại $(0;-3)$.

c) Trên đoạn $[-2;0]$: $f(-2)=16-8-3=5$; $f(-1)=-4$; $f(0)=-3$. Vậy ${\max }_{[-2;0]}y=5$ tại $x=-2$; ${\min }_{[-2;0]}y=-4$ tại $x=-1$.

d) Ba điểm cực trị: $A(-1;-4)$, $B(0;-3)$, $C(1;-4)$. Đoạn $AC$ nằm trên đường thẳng $y=-4$ có độ dài $AC=2$, khoảng cách từ $B$ đến $AC$ là $h=-3-(-4)=1$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

a) Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-5}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ (hàm không có khoảng đồng biến).

b) Vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$.

c) Trên đoạn $[2;5]$ hàm số liên tục và nghịch biến (vì $[2;5]\subset (1;+\infty )$), nên:
- GTLN tại $x=2$: $y(2)=\frac{4+3}{2-1}=7$.
- GTNN tại $x=5$: $y(5)=\frac{10+3}{5-1}=\frac{13}{4}$.

d) Lấy $M(x_0;y_0)$ bất kỳ trên đồ thị, tức $y_0=\frac{2x_0+3}{x_0-1}$ với $x_0\ne 1$. Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng $x=1$ là $d_1=|x_0-1|$; khoảng cách đến tiệm cận ngang $y=2$ là $d_2=|y_0-2|$. Ta có $y_0-2=\frac{2x_0+3-2(x_0-1)}{x_0-1}=\frac{5}{x_0-1}$, nên $d_2=\frac{5}{|x_0-1|}$. Do đó tổng khoảng cách $d_1+d_2=|x_0-1|+\frac{5}{|x_0-1|}\ge 2\sqrt{|x_0-1|\cdot \frac{5}{|x_0-1|}}=2\sqrt{5}$ (theo AM–GM, dấu bằng khi $|x_0-1|=\sqrt{5}$, tức $x_0=1\pm \sqrt{5}$). Vậy tổng khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ trên đồ thị đến hai tiệm cận luôn không nhỏ hơn $2\sqrt{5}$, và giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách bằng $2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$.

a) Khoảng đơn điệu: $y^{\prime }=0\iff x=\pm 2$. Với $x\in (-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến; với $x\in (-2;0)$: $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến; với $x\in (0;2)$: $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến; với $x\in (2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến. Vậy hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$ và $(0;2)$.

b) Cực trị: tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ nên hàm đạt cực đại $y_{CĐ}=y(-2)=-2-2=-4$, điểm cực đại $(-2;-4)$. Tại $x=2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ thành $+$ nên hàm đạt cực tiểu $y_{CT}=y(2)=2+2=4$, điểm cực tiểu $(2;4)$.

c) Trên khoảng $(0;+\infty )$: hàm nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$, $\min y=4$; hàm không có giá trị lớn nhất trên $(0;+\infty )$ vì khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$.

d) Tiệm cận: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x^2+4}{x}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{x^2+4}{x}=-\infty$ nên đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng. ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(\frac{x^2+4}{x}-x\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x}=0$ nên đường thẳng $y=x$ là tiệm cận xiên. Đồ thị không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. a) Hai điểm cực trị: $x=1\Rightarrow y=\frac{1-1-1}{-1}=1$ và $x=3\Rightarrow y=\frac{9-3-1}{1}=5$. Hệ số góc đường thẳng qua $(1;1)$ và $(3;5)$ là $\frac{5-1}{3-1}=2$ → Đúng. b) Trên $(2;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ với $x\in (2;3)$, $y^{\prime }>0$ với $x>3$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=3$, giá trị $y=5$ → Đúng. c) Hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ (không phải $x=-2$) → Sai. d) Trên $(1;3)$ hàm số không xác định tại $x=2$ nên không liên tục, do đó không thể nghịch biến trên cả khoảng $(1;3)$ (chỉ nghịch biến trên $(1;2)$ và $(2;3)$) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $(1;1)$ và $(3;5)$, hệ số góc $=\frac{5-1}{3-1}=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(2;+\infty )$ hàm giảm trên $(2;3)$, tăng trên $(3;+\infty )$, nên $\min y=y(3)=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=2$ vì mẫu số bằng 0 tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm không xác định tại $x=2\in (1;3)$ nên không liên tục trên khoảng này, không nghịch biến trên $(1;3)$.

a) Đúng.

Ta có đạo hàm của $f(x)$ có dạng $g(x)=\frac{h(x)}{(x+d{)}^2}$. Do đó hàm số $y=g(x)$ có tiệm cận đứng là $x=-d\Rightarrow -d=-1\Rightarrow d=1$. Suy ra $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{a{x}^2+2ax+b-c}{(x+1{)}^2}$. Do đó đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ có tiệm cận ngang: $y=a\Rightarrow a=-2$. Giao của đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ với trục tung: $x=0\Rightarrow y=b-c\Rightarrow b-c=-5$. Suy ra $f^{\prime }(x)=\frac{-2x^2-4x-5}{(x+1{)}^2}$. Khi đó $f^{\prime }(x)+2=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$. Vậy $f^{\prime }(x)<-2$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$.

b) Đúng.

Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$ nên ta có bảng biến thiên



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $y=f(x)$ luôn cắt đường thẳng $y=0$ tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Sai.

Do hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $[0;4]$ nên $\underset{[0;1]}{\max }f(x)=f(0)=c\Rightarrow c=4$. Mà $b-c=-5\Rightarrow b=-1$. Do đó $f(x)=\frac{-2x^2-x+4}{x+1}=-2x+1+\frac{3}{x+1}$. Vậy đường thẳng $y=-2x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$. TCD ${\Delta }_1:x+1=0$; TCX ${\Delta }_2:2x+y-1=0$. Xét $M\left(m;-2m+1+\frac{3}{m+1}\right)\in (C)$ $(m\ne -1)$. Ta có: $d(M,{\Delta }_1)=|m+1|$; $d(M,{\Delta }_2)=\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}$. $d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)=|m+1|+\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}\ge 2\sqrt{|m+1|\cdot \frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}}=2\sqrt[4]{\frac{9}{5}}$. Dấu "=" xảy ra $\iff |m+1|=\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}\iff m=-1\pm \sqrt[4]{\frac{9}{5}}$. Vậy $\min \left(d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)\right)=2\sqrt[4]{\frac{9}{5}}$.

d) Đúng.

Do đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên $c=2$. Mà $b-c=-5\Rightarrow b=-3$. Do đó $f(x)=\frac{-2x^2-3x+2}{x+1}=-2x-1+\frac{3}{x+1}$. Điểm $M\left(m;-2m-1+\frac{3}{m+1}\right)\in (C)(m\ne -1)$ có tọa độ nguyên khi $\{\begin{array}{l}m+1=\pm 3\\ m+1=\pm 1\end{array}\iff m\in \{-4;-2;0;2\}$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(2;-4)$ là $y=\frac{-7}{3}x+\frac{2}{3}$.
a) Đúng.

Ta có đạo hàm của $f(x)$ có dạng $g(x)=\frac{h(x)}{(x+d{)}^2}$.
Do đó hàm số $y=g(x)$ có tiệm cận đứng là $x=-d\Rightarrow -d=-1\Rightarrow d=1$.
Suy ra $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{a{x}^2+2ax+b-c}{(x+1{)}^2}$.
Do đó đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ có tiệm cận ngang: $y=a\Rightarrow a=-2$.
Giao của đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ với trục tung: $x=0\Rightarrow y=b-c\Rightarrow b-c=-5$.
Suy ra $f^{\prime }(x)=\frac{-2x^2-4x-5}{(x+1{)}^2}$. Khi đó $f^{\prime }(x)+2=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$.
Vậy $f^{\prime }(x)<-2$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$.
b) Đúng.

Do $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in R\setminus \{-1\}$ nên ta có bảng biến thiên



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $y=f(x)$ luôn cắt đường thẳng $y=0$ tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.
c) Sai.

Do hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $[0;4]$ nên $\underset{[0;1]}{\max }f(x)=f(0)=c\Rightarrow c=4$.
Mà $b-c=-5\Rightarrow b=-1$.
Do đó $f(x)=\frac{-2x^2-x+4}{x+1}=-2x+1+\frac{3}{x+1}$.
Vậy đường thẳng $y=-2x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$.
TCD ${\Delta }_1:x+1=0$; TCX ${\Delta }_2:2x+y-1=0$.
Xét $M\left(m;-2m+1+\frac{3}{m+1}\right)\in (C)$ $(m\ne -1)$. Ta có: $d(M,{\Delta }_1)=|m+1|$; $d(M,{\Delta }_2)=\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}$.
$d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)=|m+1|+\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}\ge 2\sqrt{|m+1|\cdot \frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}}=2\sqrt[4]{\frac{9}{5}}$.
Dấu "=" xảy ra $\iff |m+1|=\frac{3}{\sqrt{5}|m+1|}\iff m=-1\pm \sqrt[4]{\frac{9}{5}}$.
Vậy $\min \left(d(M,{\Delta }_1)+d(M,{\Delta }_2)\right)=2\sqrt[4]{\frac{9}{5}}$.
d) Đúng.

Do đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên $c=2$
Mà $b-c=-5\Rightarrow b=-3$.
Do đó $f(x)=\frac{-2x^2-3x+2}{x+1}=-2x-1+\frac{3}{x+1}$.
Điểm $M\left(m;-2m-1+\frac{3}{m+1}\right)\in (C)(m\ne -1)$ có tọa độ nguyên khi
$$\{\begin{array}{l}m+1=\pm 3\\ m+1=\pm 1\end{array}\iff m\in \{-4;-2;0;2\}$$
Tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(2;-4)$ là $y=\frac{-7}{3}x+\frac{2}{3}$.

Từ đồ thị hàm số:
1) Nhánh cuối cùng đi lên khi $x\to +\infty$, suy ra hệ số $a>0$.
2) Đồ thị cắt trục tung $Oy$ tại điểm có tung độ dương (nằm phía trên trục hoành), suy ra $f(0)=c>0$.
3) Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung, phương trình $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+b=0$ có 2 nghiệm phân biệt trái dấu, suy ra tích hai nghiệm $x_1{x}_2=\frac{b}{3a}<0$. Vì $a>0$ nên $b<0$.
Vậy $a>0,b<0,c>0$.

Đồ thị là hàm bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty \Rightarrow a>0$, có hai điểm cực trị ($ab<0\Rightarrow b<0$) và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm ($f(0)=-1<0$). Vậy $f(x)=x^3-3x-1$. Chọn B.

Đồ thị là hàm bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty \Rightarrow a<0$, có hai điểm cực trị ($ab<0\Rightarrow b>0$) và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương ($f(0)=1>0$). Vậy $f(x)=-x^3+3x+1$. Chọn A.

Đồ thị là hàm bậc ba có ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty \Rightarrow a>0$, có hai điểm cực trị và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương $f(0)=1>0$. Do đó $f(x)=x^3-3x+1$. Chọn C.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là một parabol có đỉnh tại $(-1;-3)$ và đi qua các điểm $(-2;0)$ và $(0;0)$.
Từ đó suy ra $f^{\prime }(x)=3(x+1{)}^2-3=3x^2+6x$.
Do đó $f(x)=x^3+3x^2+d$.
Các điểm cực trị của $f(x)$ là nghiệm của $f^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $x=-2$.
Điểm cực trị có hoành độ âm là $x=-2$.
Đồ thị hàm số $y=f(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm $⟹f(-2)=0$:
$(-2{)}^3+3(-2{)}^2+d=0⟺-8+12+d=0⟺4+d=0⟺d=-4$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;d)=(0;-4)$, tức tung độ bằng $-4$. Chọn C.

Giao điểm của $(C)$ với trục tung $Oy$ ($x=0$) là điểm $M(0;-2)$. Đạo hàm: $y^{\prime }=-3x^2+3⟹y^{\prime }(0)=3$. Phương trình tiếp tuyến tại $M(0;-2)$ là $y=y^{\prime }(0)(x-0)-2⟺y=3x-2$.

Hàm số bậc ba $y=-x^3-3x^2+2$ có hệ số $a=-1<0$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$, nhánh bên phải hướng xuống. Đạo hàm: $y^{\prime }=-3x^2-6x=0⟺x=0$ hoặc $x=-2$. Tại $x=0⟹y=2$ (điểm cực đại $(0;2)$); tại $x=-2⟹y=-2$ (điểm cực tiểu $(-2;-2)$). Dạng đồ thị đúng là Hình C.

Đường thẳng đã cho có hệ số góc $k_1=-\frac{1}{45}$. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đó nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-\frac{1}{k_1}=45$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=45⟺3x^2-6x-45=0⟺x^2-2x-15=0⟺x=5$ hoặc $x=-3$. Với $x=5⟹y=52$, phương trình tiếp tuyến là $y=45(x-5)+52=45x-173$. Với $x=-3⟹y=-52$, phương trình tiếp tuyến là $y=45(x+3)-52=45x+83$. Do đó phương án đúng là D.

Tiếp tuyến song song với trục $Ox$ nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng $0$. Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=\pm 1</td></tr></tbody></table>$. Với $x=0⟹y=m-1009$, phương trình tiếp tuyến là $d_1:y=m-1009$. Với $x=\pm 1⟹y=m-1010$, phương trình tiếp tuyến là $d_2:y=m-1010$. Hai tiếp tuyến này phân biệt. Để có đúng một tiếp tuyến song song với trục $Ox$ thì phải có đúng một tiếp tuyến trùng với trục $Ox$ ($y=0$), tức là: $[<table><tbody><tr><td>m-1009=0</td></tr><tr><td>m-1010=0</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m=1009</td></tr><tr><td>m=1010</td></tr></tbody></table>$. Suy ra $S=\{1009;1010\}$. Tổng các giá trị của $S$ bằng $1009+1010=2019$.

Đồ thị có dạng hàm số trùng phương bậc bốn $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với nhánh ngoài cùng hướng lên nên $a>0$. Đồ thị đi qua điểm cực đại $(0;-1)$ và hai điểm cực tiểu $(\pm 2;-5)$. Thay $x=2$ vào hàm số ở phương án C: $y(2)=\frac{1}{4}(16)-2(4)-1=4-8-1=-5$ (thỏa mãn). Vậy hàm số là $y=\frac{1}{4}{x}^4-2x^2-1$.

Quan sát đồ thị hàm số:
- Nhánh phải đồ thị đi lên nên hệ số $a>0$, loại đáp án D.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;1)$.
- Đồ thị đi qua điểm $(1;3)$. Thay $x=1,y=3$ vào các phương án:
+ Phương án A: $y(1)=2-1+6+1=8\ne 3$, loại.
+ Phương án B: $y(1)=2-6+6+1=3$, thỏa mãn.
+ Phương án C: $y(1)=2-6-6+1=-9\ne 3$, loại.

Vậy hàm số có đồ thị đã cho là $y=2x^3-6x^2+6x+1$.

Dựa vào hình dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương:
- Nhánh cuối cùng đi xuống nên $a<0$.
- Đồ thị có $3$ điểm cực trị nên $ab<0$. Vì $a<0$ nên $b>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;c)$ nằm phía dưới trục hoành nên $c<0$.

Vậy $a<0,b>0,c<0$.

- Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;-1)$ nên phương án D bị loại.
- Đồ thị có 2 điểm cực trị là điểm cực đại $(-1;1)$ và điểm cực tiểu $(1;-3)$.
Xét $y=x^3-3x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-3=0⟺x=\pm 1$.
Tại $x=-1⟹y=1$, tại $x=1⟹y=-3$.
Vậy hàm số có đồ thị như hình vẽ là $y=x^3-3x-1$. Chọn A.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{3}\right\}$.
Ta có: $y=\frac{2x-5}{3x-1}⟹3y=\frac{6x-15}{3x-1}=\frac{2(3x-1)-13}{3x-1}=2-\frac{13}{3x-1}$.
Để $x,y\in \mathbb{Z}$ thì $3y\in \mathbb{Z}⟹(3x-1)$ phải là ước của 13.
Ước của 13 là $\{\pm 1;\pm 13\}$:
- $3x-1=1⟹3x=2$ (loại vì $x\notin \mathbb{Z}$).
- $3x-1=-1⟹3x=0⟹x=0⟹y=5$ (nhận điểm $(0;5)$).
- $3x-1=13⟹3x=14$ (loại).
- $3x-1=-13⟹3x=-12⟹x=-4⟹y=\frac{2(-4)-5}{3(-4)-1}=\frac{-13}{-13}=1$ (nhận điểm $(-4;1)$).
Vậy có đúng 2 điểm có tọa độ nguyên. Chọn D.