Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với $f(-2)=2$ và cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=-2$. Xét phương án D: $f(x)=x^3+3x^2-2$ có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$, nên $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ và $x=0$. Với $x<-2$: $f^{\prime }(x)>0$; với $-2<x<0$: $f^{\prime }(x)<0$; với $x>0$: $f^{\prime }(x)>0$, đúng dấu trong bảng. Ngoài ra $f(-2)=-8+12-2=2$ và $f(0)=-2$, khớp bảng biến thiên. Các phương án khác sai: A có $f(0)=-2$ nhưng $f(-2)=8+12-2=18\ne 2$; B có $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ (không có cực trị); C có $f^{\prime }(x)=x^2+2x=x(x+2)$ đúng dấu nhưng $f(-2)=\frac{-8}{3}+4-2=\frac{2}{3}\ne 2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) Theo quy tắc thương: $f^{\prime }(x)=\frac{(-2x+1)(x+1)-(-x^2+x-2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{-2x^2-2x+x+1+x^2-x+2}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2}$. Mệnh đề đúng.

b) $f^{\prime }(x)>0\iff -x^2-2x+3>0\iff -3<x<1$. Trên $(1;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến. Mệnh đề sai.

c) Chia đa thức: $\frac{-x^2+x-2}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$, nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=-x+2$. Mệnh đề đúng, khớp với đáp án nguồn (ý c) được gạch chân trên trang đáp án, trang 7).

d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Ta có $f(1)=\frac{-1+1-2}{2}=-1$ và $f(-3)=\frac{-9-3-2}{-2}=7$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;-1)$ và $(-3;7)$ có hệ số góc $\frac{7-(-1)}{-3-1}=-2$, phương trình $y=-2x+1\ne -x+1$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(-2x+1)(x+1)-(-x^2+x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2}$. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)>0\iff -3<x<1$; trên $(1;+\infty )$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến. Mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{-x^2+x-2}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=-x+2$. Mệnh đề đúng, khớp với đáp án nguồn (ý c) được gạch chân trên trang đáp án, trang 7).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực trị tại $x=1$, $x=-3$ với $f(1)=-1$, $f(-3)=7$. Đường thẳng qua hai điểm cực trị là $y=-2x+1$, không phải $y=-x+1$. Mệnh đề sai.

Lời giải. Đáp số: 7280.
$f(x)=x^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2+2bx+c$.
Từ đồ thị ta được $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(-1)=0\\ f^{\prime }(2)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3-2b+c=0\\ 12+4b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=\frac{-3}{2}\\ c=-6\end{array}$.
Suy ra $f(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2-6x+d\Rightarrow f(20)-f(0)=7280$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=1$ với ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, và ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ (tiệm cận ngang $y=-1$).
Xét $y=\frac{-x+3}{x-1}=-1+\frac{2}{x-1}$: có $y^{\prime }=-\frac{2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$; ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên.
A: $\frac{x^2+2x-3}{x-1}=x+3$ (với $x\ne 1$) không có tiệm cận đứng. B: $\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}$ đồng biến và ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$. D: hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $y=\frac{0-0-1}{0+1}=-1$. Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1$, chọn B. Khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua điểm (0;-2) và có hai điểm cực trị. Xét $y=x^3-3x-2$: $y(0)=-2$ khớp đồ thị; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, với $y(-1)=0$ (cực đại, gần giá trị 0 như hình) và $y(1)=-4$ (cực tiểu, âm như hình). Hàm A có $y(0)=1$ và không có cực trị (y'=3x²+3>0), loại; B là hàm phân thức có tiệm cận, loại; C là hàm logarit, loại. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$, trên hai nhánh giới hạn đều là $+\infty$, có cực đại $y=-2$ tại $x=-3$ và cực tiểu $y=2$ tại $x=-1$. Xét $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}$ (đáp án B): tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$; $y^{\prime }=\frac{(2x+4)(x+2)-(x^2+4x+5)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. Trên $(-\infty ,-2)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-2$ nên cực đại tại $x=-3$ với $y(-3)=\frac{9-12+5}{-1}=-2$; trên $(-2,+\infty )$: $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<-1$, $y^{\prime }>0$ khi $x>-1$ nên cực tiểu tại $x=-1$ với $y(-1)=\frac{1-4+5}{1}=2$. Khi $x\to (-2{)}^{\pm }$, $y\to +\infty$. Tất cả khớp bảng biến thiên. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=2$ (loại); C có $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ (loại); D là đa thức bậc 3 (loại). Đáp án khớp với mã đề 0102: B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Với $x<-1$ hoặc $x>1$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến), với $-1<x<1$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Giá trị: $y(-1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(1)=-1+3+1=3$ (cực đại), và ${\lim }_{x\to -\infty }y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: B có tiệm cận đứng $x=0$; C có tiệm cận đứng $x=1$; D có $y(-1)=2$, $y(1)=-2$ ngược dấu với bảng. Đáp án A trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-2$, với nhánh trái ($x<1$) đi lên tới $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$ và nhánh phải ($x>1$) đi xuống tới $-\infty$ khi $x\to 1^{+}$. Xét $y=\frac{-2x+1}{x-1}=-2-\frac{1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-2$; với $x<1$ thì $y>-2$ và $y\to +\infty$ khi $x\to 1^{-}$; với $x>1$ thì $y<-2$ và $y\to -\infty$ khi $x\to 1^{+}$; $y(0)=-1$ khớp giao với trục tung. Các phương án khác: B có tiệm cận $x=-1$, $y=1$; C là hàm bậc ba không có tiệm cận; D có tiệm cận xiên (bậc tử bằng bậc mẫu +1). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên, nên loại A (hàm bậc ba, không có tiệm cận) và C (tiệm cận ngang $y=1$). Xét B: $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$ có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+2$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$, cực đại tại $x=0$ ($y=1$) trên nhánh trái, cực tiểu tại $x=2$ ($y=5$) trên nhánh phải — khớp hình vẽ. Hàm D có TCĐ $x=-1$, không khớp. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$, và nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$: có $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$; khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$; khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 1$. Điều này khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=-2$; C có $y=\frac{x^2+1}{x-1}$ với $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu (có cực trị); D là đa thức không có tiệm cận. Đáp án khớp với mã đề 0101: B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (nhánh xuống), có cực tiểu ở bên trái gốc $O$ (với tung độ âm), đi qua điểm $x=0$ với tung độ dương, và cực đại ở bên phải gốc $O$.

- Loại A và D vì đồ thị hàm phân thức $y=\frac{x^2+3x-5}{x-1}$ và $y=\frac{2x+1}{x+4}$ đều có tiệm cận đứng, không phải đường cong bậc ba như hình.
- Xét B: $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3$; hàm nghịch biến trên $(-1;1)$, đồng biến ngoài khoảng, nên cực tiểu tại $x=-1$ (bên trái), cực đại tại $x=1$ (bên phải), và $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ (nhánh lên) — ngược với hình.
- Xét C: $y=-x^3+3x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+3$; hàm đồng biến trên $(-1;1)$, nghịch biến ngoài khoảng, nên cực tiểu tại $x=-1$ với $y(-1)=-1-3+1=-3<0$ (bên trái, dưới trục hoành), cực đại tại $x=1$ với $y(1)=-1+3+1=3>0$ (bên phải, trên trục hoành); $y(0)=1>0$; và $y\to -\infty$ khi $x\to +\infty$. Tất cả khớp với đường cong trong hình.

Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ (khi $x\to -1^{-}$ thì $f(x)\to 2$, khi $x\to -1^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$); khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang. a) Sai: đồ thị chỉ có đúng một đường tiệm cận (đứng $x=-1$). b) Đúng: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm đồng biến trên khoảng này. c) Đúng: $x=-1$ là điểm không xác định (không phải cực trị), chỉ có $x=3$ là điểm cực tiểu, vậy hàm có đúng một điểm cực trị. d) Sai: trên $[3;2025]$ có $f^{\prime }(x)\ge 0$ nên $h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)+2025>0$, hàm $h$ đồng biến, giá trị nhỏ nhất tại $x=3$: $h(3)=2f(3)+2025\cdot 3=2\cdot (-4)+6075=6067\ne 6083$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ có một tiệm cận đứng $x=-1$; khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên không có tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1$ không thuộc tập xác định nên không phải cực trị; chỉ có $x=3$ là điểm cực trị (cực tiểu).
d) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)+2025>0$ trên $[3;2025]$ nên $\min h=h(3)=2(-4)+6075=6067\ne 6083$.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên có 3 điểm tới hạn $x=-1,0,1$, giá trị lớn nhất $y(0)=3$, giá trị nhỏ nhất $y(\pm 1)=0$, hàm số bậc 4 với $y\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Xét $y=3x^4-6x^2+3$: có $y^{\prime }=12x^3-12x=12x(x-1)(x+1)$ nên các điểm tới hạn là $x=-1,0,1$; $y(0)=3$ (cực đại), $y(\pm 1)=3-6+3=0$ (cực tiểu), dấu $y^{\prime }$: âm trên $(-\infty ;-1)$, dương trên $(-1;0)$, âm trên $(0;1)$, dương trên $(1;+\infty )$ — khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án A, C là hàm bậc 3 (chỉ 2 điểm tới hạn), D là $-x^4+2x^2$ có $y\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$ và $y(0)=0$, đều loại. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f^{\prime }$ là hàm bậc ba với cực tiểu tại $x=0$ có giá trị $-4$, $f^{\prime }(-1)=-2$, và đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cực đại của $f^{\prime }$), cắt trục tại $x=1$. Viết $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$; cực tiểu tại $x=0$ cho $c=0$, $d=-4$; $f^{\prime }(-1)=-2$ cho $b-a=2$; cực đại tại $x=-2$ cho $f^{\prime \prime }(-2)=0\Rightarrow b=3a$. Suy ra $a=1,b=3$, tức $f^{\prime }(x)=x^3+3x^2-4=(x+2{)}^2(x-1)$. (Lưu ý: nhận xét trong phần errors cho rằng $f^{\prime }$ cắt trục tại $-3$ và $-1$ là không đúng, vì đồ thị cho $f^{\prime }(-1)=-2\ne 0$ và $f^{\prime }$ chỉ tiếp xúc trục tại $x=-2$.)

a) $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}{x}^2+x+2025$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-x+1=(x+2{)}^2(x-1)-x+1=x^3+3x^2-x-3=(x+3)(x+1)(x-1)$.
Bảng biến thiên: $g^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$, $g^{\prime }<0$ trên $(-3;-1)$, $g^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$, $g^{\prime }<0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy $g$ có hai cực đại tại $x=-3$ và $x=1$, một cực tiểu tại $x=-1$; khi $x\to \pm \infty$, $g\to -\infty$. Đồ thị cắt $y=m$ tại 4 điểm phân biệt $\iff g(-1)<m<\min \{g(-3);g(1)\}$. → Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$, nghiệm $x=-2$ (kép) và $x=1$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1}h(x)=\infty$ → tiệm cận đứng $x=1$. Tại $x=-2$: $h(x)\sim \frac{-3}{-3(x+2{)}^2}\to \pm \infty$ → tiệm cận đứng $x=-2$. Khi $x\to \pm \infty$, $h(x)\to 0$ (tử bậc nhất, mẫu bậc ba) → tiệm cận ngang $y=0$. Tổng cộng 3 đường tiệm cận. → Đúng.

c) Với $x>0$: $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$, nên $f$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$. → Sai.

d) $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=-2$ (nghiệm kép), nên $f$ không có điểm cực trị. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $g^{\prime }(x)=(x+3)(x+1)(x-1)$; $g$ có 2 cực đại ($x=-3,1$), 1 cực tiểu ($x=-1$), đi xuống ở hai đầu nên 4 nghiệm $\iff g(-1)<m<\min \{g(-3);g(1)\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai tiệm cận đứng $x=-2$, $x=1$ (nghiệm của $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)$) và tiệm cận ngang $y=0$ vì bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)=(x+2{)}^2(x-1)<0$ với $x>0$ nên $f$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $\mathbb{R}$, nghiệm kép $x=-2$ không làm đổi dấu $f^{\prime }$, nên $f$ không có điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$ (với $x\ne -1$). Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Trên nhánh $x>-1$: $y(0)=2$ là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu tại điểm $(0;2)$); trên nhánh $x<-1$: $y(-2)=-2$ là giá trị lớn nhất (cực đại tại $(-2;-2)$). Đường cong khớp với các đặc điểm này (cực tiểu $2$ tại $x=0$, cực đại $-2$ tại $x=-2$, tiệm cận xiên $y=x+1$ đi qua gốc) là đường cong C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $a>0$ (hai nhánh đi lên), đồ thị đi qua gốc $O$ nên $e=f(0)=0$, hàm tăng qua $O$ nên $f^{\prime }(0)=d>0$, đồ thị có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại nên $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt. $f^{\prime \prime }(x)=12a{x}^2+6bx+c$ có 2 nghiệm phân biệt là hoành độ 2 điểm uốn, nằm giữa các điểm cực trị: một nghiệm âm (giữa cực tiểu trái, hoành độ khoảng $x\approx -2$, và cực đại, hoành độ dương nhỏ khoảng $x\approx 1.5$) và một nghiệm dương (giữa cực đại và cực tiểu phải tại $x\approx 4$), nên chỉ có 1 nghiệm dương. Tích 2 nghiệm của $f^{\prime \prime }=0$ bằng $c/(12a)<0$ (nghiệm trái dấu) nên $c<0$; tổng 2 nghiệm $=-b/(2a)>0$ với $a>0$ nên $b<0$. Vậy các số dương chỉ có $a$ và $d$ ($e=0$), tức 2 số dương. a) Sai vì trên $(0;+\infty )$ hàm đạt GTNN tại điểm cực tiểu ($x\approx 4$, giá trị đạt được, thuộc khoảng) nên có GTNN; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a>0$ nên $f(x)\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Trên $(0;+\infty )$ đồ thị có điểm cực tiểu (hoành độ dương, gần $x=4$) với giá trị đạt được tại điểm thuộc khoảng, nên hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty )$. Khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị bậc bốn dạng W có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại phân biệt, nên $f^{\prime }(x)=0$ (phương trình bậc 3) có 3 nghiệm phân biệt là hoành độ 3 điểm cực trị. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=12a{x}^2+6bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt (vì $f^{\prime }$ có 3 nghiệm phân biệt nên $f^{\prime \prime }$ có 2 nghiệm) là hoành độ 2 điểm uốn, nằm giữa các điểm cực trị liên tiếp: một điểm uốn giữa cực tiểu thứ nhất và điểm cực đại, một điểm uốn giữa điểm cực đại và cực tiểu thứ hai ($x\approx 4$). Trên đồ thị, cực tiểu thứ nhất có hoành độ âm (đáng kể, khoảng $x\approx -2$) còn điểm cực đại có hoành độ dương nhỏ (khoảng $x\approx 1.5$), nên điểm uốn thứ nhất, nằm gần giữa chúng, có hoành độ âm; điểm uốn thứ hai dương. Vậy chỉ có 1 nghiệm dương, khẳng định sai. (Lưu ý: dấu của điểm uốn thứ nhất được suy từ đọc hình, vị trí của nó gần gốc $O$ nên khá sát 0.)
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị qua gốc $O$ nên $e=0$ (không dương). $a>0$. $f^{\prime }(0)=d>0$ vì hàm tăng tại $x=0$. Hai nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)=0$ trái dấu nên tích $c/(12a)<0\Rightarrow c<0$. Tổng hai nghiệm $-b/(2a)>0$ với $a>0\Rightarrow b<0$. Vậy chỉ có $a$ và $d$ dương: 2 số dương, không phải 3. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (loại D vì D có tiệm cận đứng $x=-2$). Tiệm cận xiên là đường nét đứt đi qua $(0;1)$ và có hệ số góc $1$, tức $y=x+1$. Phép chia: $\frac{x^2-x-1}{x-2}=x+1+\frac{1}{x-2}$ (tiệm cận xiên $y=x+1$); $\frac{x^2+x-1}{x-2}=x+3+\frac{5}{x-2}$ (tiệm cận xiên $y=x+3$); $\frac{x^2-x+1}{x-2}=x+1+\frac{3}{x-2}$ (tiệm cận xiên $y=x+1$ nhưng $y(0)=-\frac{1}{2}$, trong khi đồ thị cắt trục tung tại điểm dương khoảng $0,5$). Với $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$: $y(0)=\frac{1}{2}>0$ khớp hình vẽ, và nhánh trái có cực đại gần $x\approx 0,4$ với giá trị dương nhỏ, nhánh phải tăng lên sau khi qua tiệm cận đứng — hoàn toàn phù hợp. Vậy đồ thị là của hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$. a) Hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0$ có $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}\ne 0$ nên không có cực trị → sai. b) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;1)$, không phải $(1;0)$ → sai. c) Trên $(1;3)$ (nhánh phải của $x=-1$) hàm số nghịch biến nên GTLN trên $[1;3]$ là $f(1)$, không phải $f(3)$ → sai. d) Tiệm cận ngang là $y=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}\ne 0$ nên hàm số không có điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm hai tiệm cận $x=-1$ và $y=1$, tức $I(-1;1)$, không phải $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;3]$ hàm số nghịch biến nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$, tức là $f(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1$ như hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=-4$, cực đại tại $x=2$ (đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=2$) và cắt trục hoành tại $x=-1$. Suy ra $y=a(x+1)(x-2{)}^2$. Thay $x=0$: $a\cdot 1\cdot 4=-4\Rightarrow a=-1<0$. Khi đó $y=-(x+1)(x-2{)}^2=-(x^3-3x^2+4)=-x^3+3x^2-4$, tức $a=-1$, $b=3$, $c=0$, $d=-4$. Trong các hệ số $a,b,c,d$ chỉ có đúng 1 hệ số dương là $b=3$ (lưu ý $c=0$ không dương). Vậy đáp án là 1.