Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$ nên $cx+d=0$ tại $x=2$, tức $2c+d=0$. Tiệm cận ngang $y=\frac{1}{c}=1$ (đồ thị tiến tới $y=1$ khi $x\to \pm \infty$) nên $c=1$, suy ra $d=-2$. Đồ thị đi qua điểm $(-2;-1)$: $\frac{-2-b}{-2-2}=-1\Rightarrow -2-b=4\Rightarrow b=-6$. Vậy $P=b^2+c^2+d^2=36+1+4=41$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh đều nghịch biến. Loại C vì tiệm cận đứng là $x=2$. Loại D vì $y=\frac{2x+2}{x+2}=2-\frac{2}{x+2}$ có tiệm cận ngang $y=2$. Xét A: $y=\frac{x-3}{x+2}=-1-\frac{1}{x+2}$ có tiệm cận ngang $y=-1$, không khớp. Xét B: $y=\frac{x+4}{x+2}=1+\frac{2}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=1$, nghịch biến trên từng nhánh, khớp hoàn toàn với hình vẽ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-6x^2+9x-1$, ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(1;3)$. Cực đại tại $x=1$: $y_{CD}=1-6+9-1=3$; cực tiểu tại $x=3$: $y_{CT}=27-54+27-1=-1$. a) Bảng biến thiên trong hình (đồng biến đến $x=1$ đạt $3$, nghịch biến đến $x=3$ đạt $-1$, rồi đồng biến lên $+\infty$) khớp với tính toán → đúng. b) Trên $(1;2)\subset (1;3)$ hàm số nghịch biến → đúng. c) $y_{CD}+3y_{CT}=3+3(-1)=0\ne -1$ → sai. d) Đường thẳng qua hai điểm cực trị $(1;3)$ và $(3;-1)$ có hệ số góc $\frac{-1-3}{3-1}=-2$, phương trình $y=-2x+5$. Tại $x=0$ thì $y=5\ne 4$, nên $A(0;4)$ không thuộc đường thẳng này → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3(x-1)(x-3)$; hàm đồng biến trên $(-\infty ;1),(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(1;3)$, $y_{CD}=3$ tại $x=1$, $y_{CT}=-1$ tại $x=3$, khớp bảng biến thiên trong hình.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(1;2)\subset (1;3)$ và $y^{\prime }<0$ trên $(1;3)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y_{CD}=3$, $y_{CT}=-1$ nên $y_{CD}+3y_{CT}=3-3=0\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $(1;3)$ và $(3;-1)$ là $y=-2x+5$; tại $x=0$ có $y=5\ne 4$ nên $A(0;4)$ không thuộc đường thẳng này.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba đi từ dưới trái lên trên phải, có một điểm cực đại (hoành độ âm, giá trị dương) và một điểm cực tiểu (hoành độ dương, giá trị âm), đồng thời cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nhỏ. Loại A (parabol bậc hai) và C (bậc four có dạng chữ U). Xét B: y=-x³+3x+1 có y'=-3x²+3, cực đại tại x=1 (bên phải) — trái với đồ thị. Xét D: y=x³-3x+1 có y'=3x²-3=0 tại x=±1; cực đại tại x=-1 với y=3 (bên trái, dương), cực tiểu tại x=1 với y=-1 (bên phải, âm), y(0)=1>0. Khớp hoàn toàn với đồ thị nên chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với cực đại bên trái trục tung, cực tiểu bên phải và giao với trục Oy tại điểm có tung độ dương. Loại B (bậc bốn dạng W). Với $y=x^3-3x-2$ (C) thì $y(0)=-2<0$, không phù hợp. Với $y=-x^3+12x+2$ (A) thì cực tiểu bên trái, cực đại bên phải (ngược hình vẽ). Với $y=x^3-12x+2$ (D): $y^{\prime }=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$, cực đại tại $x=-2$ (bên trái), cực tiểu tại $x=2$ (bên phải), $y(0)=2>0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hai đầu đi lên nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d=f(0)>0$. Hàm số có hai điểm cực trị với hoành độ $x_1,x_2>0$ (cùng dương theo hình vẽ), là nghiệm của $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$. Theo Viète: $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$, mà $a>0$ nên $c>0$; $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ nên $b<0$. Vậy $a>0,b<0,c>0,d>0$, khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}=x-4+\frac{4}{x+1}$ (với $x\ne -1$).
a) Từ phân tích trên, tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x-3$ → sai.
b) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}$. Trên $(-1;1)$ thì $f^{\prime }(x)<0$, trên $(1;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$ → sai.
c) Trên đoạn $[-2;3]$, hàm số không xác định tại $x=-1$ và khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$; hơn nữa $f(-2)=\frac{4+6}{-1}=-10<-1$. Do đó giá trị nhỏ nhất trên $[-2;3]$ không bằng $-1$ (thực tế hàm không bị chặn dưới) → sai.
d) $f^{\prime }(x)=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Hai điểm cực trị: $(1;f(1))=(1;-1)$ và $(-3;f(-3))=(-3;-9)$ vì $f(-3)=\frac{9+9}{-2}=-9$. Khoảng cách $=\sqrt{(1+3{)}^2+(-1+9{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-1;1)$ và $>0$ trên $(1;+\infty )$, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm không xác định tại $x=-1\in [-2;3]$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$; ngoài ra $f(-2)=-10<-1$, nên GTNN trên đoạn không bằng $-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các điểm cực trị $(1;-1)$ và $(-3;-9)$; khoảng cách $=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1: $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Với $x=0$: $y=1$; với $x=-2$: $y=\frac{4-2+1}{-1}=-3$. Hai điểm cực trị là $A(0;1)$, $B(-2;-3)$. Đường thẳng $AB$ có hệ số góc $\frac{-3-1}{-2-0}=2$, phương trình $y=2x+1$ hay $2x-y+1=0$. Độ dài $AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}$. Khoảng cách từ $C(5;5)$ đến $AB$: $d=\frac{|2\cdot 5-5+1|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{6}{\sqrt{5}}=6$ (đvdt). Kiểm tra: $C$ không thuộc $AB$ nên tam giác hợp lệ.

Câu 2: Ta có $f(x)+f(-2-x)=-2$ nên $(C)$ có tâm đối xứng $I(-1;-1)$; hai nhánh đối xứng qua $I$. Đoạn nối ngắn nhất giữa hai nhánh đi qua $I$ và vuông góc với $(C)$ tại hai đầu, nên độ dài bằng $2d$ với $d$ là khoảng cách nhỏ nhất từ $I$ đến một nhánh. Lấy $M$ trên nhánh phải, đặt $t=x+1>0$: $M\left(t-1;t-1+\frac{1}{t}\right)$, $\overrightarrow{IM}=\left(t;t+\frac{1}{t}\right)$, $I{M}^2=2t^2+2+\frac{1}{t^2}$. Đặt $g(t)=2t^2+2+\frac{1}{t^2}$, $g^{\prime }(t)=4t-\frac{2}{t^3}=0\iff t^4=\frac{1}{2}\iff t=2^{-1/4}$. Khi đó $t^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{1}{t^2}=\sqrt{2}$, $d^2=\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$. Vậy độ dài đoạn đường nối ngắn nhất là $2\sqrt{2+2\sqrt{2}}\approx 4,394$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong phân giác (hyperbol) có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (đường tiệm cận ngang cắt trục tung tại điểm được đánh dấu 1). Với $y=\frac{x+1}{x-1}$: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ (tỉ số hệ số cao nhất $1/1$), và $y(0)=-1<0$ khớp với nhánh trái nằm dưới trục hoành gần gốc tọa độ; nhánh phải $x>1$ cho $y>0$ đi lên từ $+\infty$ rồi tiệm cận về $1$, đúng như hình. Loại A vì tiệm cận ngang là $y=2$; loại B, C vì là đồ thị hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty )$; $f(-2)=-4$, $f(3)=0$; tại $x=-1$ hàm số không xác định (giới hạn bên trái là $-\infty$, bên phải là $+\infty$) nên $x=-1$ là tiệm cận đứng; khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên không có tiệm cận ngang.
a) Sai: hàm số nghịch biến trên $(-2;-1)$, không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$ (trên $(0;3)$ hàm vẫn nghịch biến nhưng tại $x=-1$ hàm không xác định nên không thể nói nghịch biến trên $(-2;0)$).
b) Sai: vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ nên đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$).
c) Đúng: hàm số đồng biến rồi nghịch biến khi qua $x=-2$ với $f(-2)=-4$, nên điểm cực đại là $(-2;-4)$.
d) Sai: hàm số không bị chặn trên (giá trị tiến đến $+\infty$) nên không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;3)$ nhưng tại $x=-1$ hàm không xác định, nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và nghịch biến trên $(-2;-1)$, $f(-2)=-4$, nên điểm cực đại là $(-2;-4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không bị chặn trên ($f(x)\to +\infty$), nên không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}=x-2+\frac{3}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=3\iff x=-1\pm \sqrt{3}$, hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định, nên hàm số có cả cực đại và cực tiểu → Đúng.
b) Tiệm cận xiên: $y=x-2$. Cắt trục hoành tại $A(2;0)$, trục tung tại $B(0;-2)$. Diện tích $△OAB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$ → Đúng.
c) Hai tiệm cận là $x=-1$ và $y=x-2$, giao điểm là $(-1;-3)$, không phải $(-1;3)$ → Sai.
d) $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của 3 (vì $y=x-2+\frac{3}{x+1}$, $x-2$ nguyên khi $x$ nguyên). $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}$ cho $x\in \{0,-2,2,-4\}$, tương ứng $y\in \{1,-7,1,-7\}$: chỉ có 4 điểm nguyên $(0;1),(-2;-7),(2;1),(-4;-7)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{3}{(x+1{)}^2}=0$ có hai nghiệm $x=-1\pm \sqrt{3}$ nên hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCX $y=x-2$ cắt hai trục tại $A(2;0)$, $B(0;-2)$, $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của $x=-1$ và $y=x-2$ là $(-1;-3)$, không phải $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-2+\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho đúng 4 điểm nguyên: $(0;1),(-2;-7),(2;1),(-4;-7)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: nhánh trái đi lên vô cực khi $x\to -\infty$ nên $a<0$. Hàm số có hai điểm cực trị đều nằm bên trái trục tung (cùng âm), tức phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm âm. Theo Viète: tích hai nghiệm $\frac{c}{3a}>0$, mà $a<0$ nên $c<0$; tổng hai nghiệm $-\frac{2b}{3a}<0$, mà $a<0$ nên $b<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương (điểm $y(0)=d>0$) nên $d>0$. Vậy chỉ có đúng một số dương trong các số $a,b,c,d$ (là $d$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$ với $x\ne -1$.

a) $f^{\prime }(x)=-1+\frac{4}{(x+1{)}^2}=\frac{-(x+1{)}^2+4}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2},\forall x\ne -1$. Đúng.

b) Vì $f(x)=-x+2-\frac{4}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+2$ (tiệm cận đứng $x=-1$). Đúng.

c) $f^{\prime }(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. $f(1)=-1$, $f(-3)=7$. Khoảng cách $=\sqrt{(1+3{)}^2+(-1-7{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$. Đúng.

d) Tiếp tuyến tại $M(a;f(a))$ có hệ số góc $m=-1+\frac{4}{(a+1{)}^2}$, phương trình $y=mx+c$ với $c=f(a)-ma=2-\frac{4}{a+1}-\frac{4a}{(a+1{)}^2}$.
Giao với tiệm cận đứng $x=-1$: $y_1=-m+c=3-\frac{8}{a+1}$.
Giao với tiệm cận xiên $y=-x+2$: $x_2=\frac{2-c}{m+1}=2a+1$.
Đỉnh giao hai tiệm cận: $(-1;3)$. Diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\left|y_1-3\right|\cdot \left|x_2+1\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{|a+1|}\cdot 2|a+1|=8$ với mọi $a\ne -1$.
Vậy mọi tiếp tuyến của $(C)$ đều tạo với hai tiệm cận tam giác diện tích 8, nên chỉ cần đếm điểm nguyên trên $(C)$: $f(a)=-a+2-\frac{4}{a+1}$ nguyên $\iff (a+1)\mid 4\iff a+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 4\}\iff a\in \{0,-2,1,-3,3,-5\}$, cho đúng 6 điểm $M(0;-2),(-2;8),(1;-1),(-3;7),(3;-2),(-5;8)$. Đúng.

Kết luận: cả bốn ý a), b), c), d) đều đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-1+\frac{4}{(x+1{)}^2}=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1{)}^2},\forall x\ne -1$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-x+2-\frac{4}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+2$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=1$ và $x=-3$: điểm $(1;-1)$ và $(-3;7)$, khoảng cách $=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến tại $M(a)$ và hai tiệm cận luôn bằng $\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{|a+1|}\cdot 2|a+1|=8$ với mọi $a\ne -1$. Điểm nguyên trên $(C)$: $(a+1)\mid 4$ cho đúng 6 điểm $(0;-2),(-2;8),(1;-1),(-3;7),(3;-2),(-5;8)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ nên $cx+b=0\iff x=-\frac{b}{c}=2\Rightarrow b=-2c$. Đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ (mốc $-1$ trên trục $Oy$) nên $\frac{2}{b}=-1\Rightarrow b=-2$, suy ra $c=1$. Kiểm tra: $y=\frac{2}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$, $y(0)=-1$, khớp hình vẽ. Vậy $b=-2,c=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $x+c=0\Rightarrow c=-1$. Tiệm cận xiên $y=ax+2$ đi qua $(0;2)$ (đúng vì hệ số tự do 2) và cắt trục hoành tại $(2;0)$ nên $0=2a+2\Rightarrow a=-1$. Nhánh cong đi qua điểm $(0;3)$: $f(0)=2+\frac{b}{c}=2+\frac{b}{-1}=2-b=3\Rightarrow b=-1$. Vậy $P=a+b+c=-1-1-1=-3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $-x^2+2(m+1)x-5=(x-1)(-x+2m+1)+(2m-4)$, nên $y=-x+2m+1+\frac{2m-4}{x-1}$.
a) Với $m=0$: $y=-x+1-\frac{4}{x-1}$, tiệm cận xiên $y=-x+1$. Đúng.
b) Tâm đối xứng $I(1;2m+1)$. Đặt $t=x_M-1>0$, $k=2m-4$. Khi đó $y_M-(2m+1)=-t+\frac{k}{t}$ và $I{M}^2=t^2+{\left(-t+\frac{k}{t}\right)}^2=2t^2+\frac{k^2}{t^2}-2k$, đạt min khi $t^2=\frac{|k|}{\sqrt{2}}$. Với $k<0$ (tức $m<2$): $y_M=2m+1-\sqrt{4-2m}\left(2^{1/4}+2^{-1/4}\right)$. Đặt $u=\sqrt{4-2m}>0$ thì $y_M=5-u^2-2,03u$, và điều kiện $y_M<-4$ tương đương $u^2+2,03u-9>0$, tức $u>2,15$ — tồn tại $m$ thỏa mãn (ví dụ $m=-1$ cho $y_M\approx -5,98<-4$). Vậy tồn tại $M$ với $x_M>1$, $IM$ ngắn nhất và $y_M<-4$. Đúng.
c) $y^{\prime }=-1-\frac{2m-4}{(x-1{)}^2}$. Hàm số có cực đại, cực tiểu khi $(x-1{)}^2=4-2m>0\iff m<2$. Vậy khẳng định $m>4$ sai.
d) Với $m=0$: $-x^2+2x-5=0$ có $\Delta =4-20=-16<0$, vô nghiệm nên đồ thị không cắt $Ox$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=0$, $y=-x+1-\frac{4}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $I(1;2m+1)$; với $t=x_M-1>0$, $I{M}^2=2t^2+\frac{(2m-4{)}^2}{t^2}-2(2m-4)$ đạt min tại $t^2=\frac{|2m-4|}{\sqrt{2}}$. Với $m<2$, $y_M=5-u^2-2,03u$ với $u=\sqrt{4-2m}$, và $y_M<-4$ khi $u>2,15$, tồn tại $m$ như vậy (ví dụ $m=-1$). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=-1-\frac{2m-4}{(x-1{)}^2}$; có cực trị khi $4-2m>0\iff m<2$, không phải $m>4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=0$, phương trình $-x^2+2x-5=0$ có $\Delta =-16<0$ nên đồ thị không cắt $Ox$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-x+2}{x-1}=2x+1+\frac{3}{x-1}$.
a) Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $(1;+\infty )$ → sai.
b) $y^{\prime }=2-\frac{3}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$, hai nghiệm đều thuộc tập xác định và là hai điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) → đúng.
c) Chia đa thức: $y=2x+1+\frac{3}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$ → đúng.
d) Hai tiệm cận: $x=1$ và $y=2x+1$. Với $A\in (C)$, đặt $t=|x-1|>0$, tổng khoảng cách $d=t+\frac{3}{\sqrt{5}t}\ge 2\sqrt{\frac{3}{\sqrt{5}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt[4]{5}}\approx 2,3166>2,3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ vì mẫu $x-1\ne 0$, không phải $(1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2-\frac{3}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{3/2}$, cho đúng hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x+1+\frac{3}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=|x-1|>0$, tổng khoảng cách $d=t+\frac{3}{\sqrt{5}t}\ge 2\sqrt{3/\sqrt{5}}\approx 2,3166>2,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba với hai cực trị: cực tiểu $y=-2$ tại $x=0$ và cực đại $y=2$ tại $x=2$, đồng thời khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ (nhánh trái đi lên). Xét $y=-x^3+3x^2-2$: có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, cho $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$; $y^{\prime \prime }=-6x+6$ nên $y^{\prime \prime }(0)=6>0$ (cực tiểu $y(0)=-2$) và $y^{\prime \prime }(2)=-6<0$ (cực đại $y(2)=2$). Vì hệ số của $x^3$ âm nên khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$: khớp với hình vẽ. Hàm ở phương án D cũng có các cực trị cùng tọa độ nhưng khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$, không khớp nhánh trái đi lên của đồ thị. Hai phương án A, B là parabol bậc hai, loại. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại điểm $(-2;2)$ và cực tiểu tại $(0;-2)$, nên $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=0$, suy ra $c=0$ và $b=3a$. Đồ thị đi lên về $+\infty$ nên $a>0$, do đó $b>0$. Vì $f(0)=-2$ nên $d=-2$. Vậy $a>0,b>0,c=0,d=-2$.

a) Sai: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;1)$.

b) Đúng: trong các hệ số, $a$ và $b$ dương (2 số dương), $c=0$, $d=-2$.

c) Sai: tâm đối xứng có hoành độ $x=-\frac{b}{3a}=-1$. Từ $f(-2)=a(-8+12)-2=4a-2=2$ suy ra $a=1$, khi đó $f(x)=x^3+3x^2-2$ và $f(-1)=-1+3-2=0$. Tâm đối xứng là $I(-1;0)$, không phải $(0;-1)$.

d) Đúng: phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-2<m<2$, các giá trị nguyên là $m\in \{-1;0;1\}$, tức 3 giá trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại tại $x=-2$, cực tiểu tại $x=0$ nên $c=0$, $b=3a$; đồ thị đi lên bên phải nên $a>0$, suy ra $b>0$; $f(0)=d=-2$. Vậy chỉ $a,b$ dương: có 2 số dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng có hoành độ $x=-b/(3a)=-1$. Từ $f(-2)=2$ suy ra $a=1$, $f(-1)=0$, nên tâm đối xứng là $I(-1;0)$, không phải $(0;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $-2<m<2$, các giá trị nguyên là $m\in \{-1;0;1\}$: đúng 3 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, giao với trục tung tại điểm $(0;2)$ và hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Trong các hình đã cho, hình phù hợp với các đặc điểm này là hình (VI) (hình có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ và đồ thị đi qua điểm $(0;2)$). Vậy đáp án là A. (VI). Kết quả này trùng với đáp án của đề (mã đề 0102, câu 6: A).