Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;+\infty )$.
b) Đúng. Theo hình dạng đồ thị thì $a>0$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$. Hai điểm cực trị có một điểm là 0 nên $c=0$. Tổng hai điểm cực trị của hàm số là số âm nên $b>0$. Vậy có 2 số dương.
c) Đúng. Phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $m\in (-2;2)$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$.
d) Sai. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(-1;0)$.
a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;+\infty )$.
b) Đúng. Theo hình dạng đồ thị thì $a>0$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$. Hai điểm cực trị có một điểm là 0 nên $c=0$. Tổng hai điểm cực trị của hàm số là số âm nên $b>0$. Vậy có 2 số dương.
c) Đúng. Phương trình $f(x)=m$ có 3 nghiệm phân biệt khi $m\in (-2;2)$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$.
d) Sai. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(-1;0)$.

Theo đề bài ta có: $OA=2$ km, $OB=3$ km và $528$ m$=0,528$ km.

Đồ thị hàm số $y=f(x)$ đi qua các điểm $O(0;0)$, $A(2;0)$, $B(3;0)$ suy ra $y=f(x)=ax(x-2)(x-3)=a\left(x^3-5x^2+6x\right)$ với $a>0$.

Ta có: $y^{\prime }=a\left(3x^2-10x+6\right)$, $y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\\ x=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\end{array}$.

Từ độ cao của đồi ta có tại vị trí điểm cực đại $x_{CD}=\frac{5-\sqrt{7}}{3}$; $y_{CD}=0,528$ suy ra $a=\frac{0,528}{{\left(\frac{5-\sqrt{7}}{3}\right)}^3-5.{\left(\frac{5-\sqrt{7}}{3}\right)}^2+6.\left(\frac{5-\sqrt{7}}{3}\right)}$.

Điểm sâu nhất của hồ ứng với vị trí của điểm cực tiểu $x_{CT}=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$, $y_{CT}\approx 0,1578$.

Vậy độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất xấp xỉ $0,1578$ km hay xấp xỉ $158$ m.

Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$, và đường tiệm cận ngang là $y=1$. Loại được hình (III). Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(2;0)$, $(0;2)$ nên chọn hình số (IV).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua điểm $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $x=2$. Xét $y=\frac{x-2}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$; $y=0\iff x=2$. Đồng thời $y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi nhánh, phù hợp hình vẽ. Các phương án khác: A có $y(0)=-2$; B có TCĐ $x=2$; C có TCĐ $x=-1$, đều loại. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị: hàm bậc ba đi lên từ $-\infty$ đến $+\infty$ nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương (điểm cực đại nằm bên trái trục $Oy$ và đồ thị đi qua trục tung phía trên gốc $O$), nên $d>0$. Hàm có cực đại tại $x_1<0$ và cực tiểu tại $x_2>0$. Phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$ (vì $a>0$); $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$ (vì $a>0$). Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị: nhánh trái xuống dưới, nhánh phải lên trên nên $a>0$. Hàm số đi qua điểm cực đại tại $x_1<0$ rồi giảm, tại $x=0$ đồ thị đang giảm nên $y^{\prime }(0)=c<0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương nên $y(0)=d>0$. Hai điểm cực trị $x_1<0<x_2$ với $x_2$ xa gốc hơn, theo định lý Vi-ét $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ (tổng hai nghiệm dương vì điểm cực tiểu nằm xa hơn), suy ra $b<0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp với đáp án C (đúng theo bảng đáp án mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $2$ và cắt trục hoành tại $x=2$. Xét $y=\frac{x-2}{x-1}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên tiệm cận đứng $x=1$; vì bậc tử và mẫu bằng nhau nên tiệm cận ngang $y=\frac{1}{1}=1$; $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$ (cắt trục tung tại 2); $y(2)=0$ (cắt trục hoành tại 2). Tất cả khớp với đồ thị. Các phương án khác: A có tiệm cận $x=-1$, $y=1$, cắt trục tung tại $-2$; B có tiệm cận $x=2$, $y=1$, cắt trục tung tại $-1$; C có tiệm cận $x=1$, $y=1$ nhưng cắt trục tung tại $-2$ và cắt trục hoành tại $x=-2$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 101: D).

a) Theo bảng đáp án mã đề 0102 (3a = S): Sai. Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(1;3)$, không đạt cực đại tại $x=1$.
b) Theo bảng đáp án mã đề 0102 (3b = D): Đúng. Đồ thị có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận xiên, tức là có 2 đường tiệm cận.
c) Theo bảng đáp án mã đề 0102 (3c = S): Sai. Giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên không phải là $(1;2)$ theo hình vẽ.
d) Theo bảng đáp án mã đề 0102 (3d = D): Đúng. Từ đồ thị, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và trên khoảng $(3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$.

a) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. → Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-2-2x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}\ne \frac{3}{(x-1{)}^2}$. → Sai.

c) Vì $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. → Đúng.

d) Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$ (tỉ số hệ số cao nhất $a/b=2/1=2$), cắt trục tung tại $f(0)=1$ và cắt trục hoành tại $x=1/2$, nghịch biến trên từng khoảng — khớp với hình vẽ. → Đúng.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x-1\ne 0\iff x\ne 1$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng: $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}$, không phải $\frac{3}{(x-1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hyperbol với tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, đi qua $(0;1)$ và $(1/2;0)$, nghịch biến trên từng khoảng — khớp hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường hypebol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nhánh phải nằm trên tiệm cận ngang, nhánh trái cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Xét $y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$; tại $x=0$ thì $y=-1<0$ (đồ thị cắt trục tung tại $(0;-1)$), tại $x=-\frac{1}{2}$ thì $y=0$ (cắt trục hoành tại điểm âm gần gốc) — khớp với hình vẽ. Loại A vì $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-1$; loại C, D vì là hàm bậc ba không có tiệm cận. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0122: câu 3 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị là hàm bậc ba có $a>0$ (hai đầu đi lên), cực đại tại $(-2;2)$, cực tiểu tại $(0;-2)$, đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$ (vì $y(-1)=0$) và một điểm dương gần $x\approx 0,7$.

Xét $y=x^3+3x^2-2$: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)=0\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=0$.
- Tại $x=-2$: $y=-8+12-2=2$ (cực đại) — khớp hình vẽ.
- Tại $x=0$: $y=-2$ (cực tiểu) — khớp hình vẽ.
- $y(-1)=-1+3-2=0$: đồ thị đi qua $(-1;0)$ — khớp hình vẽ.

Loại các phương án khác:
- A, B có $a=-1<0$ nên hai đầu đồ thị đi xuống, không khớp.
- D: $y=x^3+3x^2+2$ có $y(0)=2\ne -2$, không khớp cực tiểu.

Vậy hàm số cần tìm là $y=x^3+3x^2-2$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0122, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$.

a) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. → Đúng.

b) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-2-2x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}$. Đề khẳng định $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x-1{)}^2}$ là sai. → Sai.

c) Vì $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$. → Đúng.

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=2$), giao với trục tung tại $f(0)=1$, hai nhánh của đồ thị đều nghịch biến — phù hợp với hình vẽ bên (tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, đi qua điểm $(0;1)$). → Đúng.

So sánh với đáp án nguồn (Câu 4: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ) — hoàn toàn khớp.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng: $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}$, không phải $\frac{3}{(x-1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, đi qua $(0;1)$, hai nhánh nghịch biến — khớp với hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đồng biến vô cực khi $x\to +\infty$), có cực đại tại $x=-2$ với $y=2$ và cực tiểu tại $x=0$ với $y=-2$. Xét $y=x^3+3x^2-2$: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Tại $x=-2$: $y=-8+12-2=2$ (cực đại); tại $x=0$: $y=-2$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án còn lại cho giá trị cực trị khác (ví dụ A cho cực đại $y=6$, cực tiểu $y=2$; C, D có hệ số $a<0$ nên đi xuống khi $x\to +\infty$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (0121, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hypebol với tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên loại A, B (hàm bậc ba). Xét $y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ (tiệm cận ngang $y=2$), ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ (tiệm cận đứng $x=1$); hàm nghịch biến trên từng nhánh vì $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$, đúng như hình vẽ. Phương án D có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x^2-2x+3}{x-1}=\pm \infty$, không có tiệm cận ngang, nên loại. Vậy đáp án là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 0121, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $f(-1)=-1+3=2$ (cực đại), $f(1)=1-3=-2$ (cực tiểu); hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án C, D là hàm bậc bốn (đồ thị dạng W/M) nên bị loại; phương án A có cực đại tại $(1;2)$, cực tiểu tại $(-1;-2)$, ngược với đồ thị nên bị loại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-2x^2+x-1}{x-1}$, điều kiện $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, do đó ý a) sai.

Ta có $y^{\prime }=\frac{(-4x+1)(x-1)-(-2x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2x^2+4x}{(x-1{)}^2}=\frac{-2x(x-2)}{(x-1{)}^2}$.

Với $x\in (0;2),x\ne 1$: $-2x(x-2)>0$ và $(x-1{)}^2>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến trên $(0;2)$ → ý b) đúng.

$y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu của $y^{\prime }$: $y^{\prime }<0$ khi $x<0$; $y^{\prime }>0$ khi $x\in (0;1)\cup (1;2)$; $y^{\prime }<0$ khi $x>2$. Tại $x=0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=0$; tại $x=2$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại tại $x=2$. Vậy ý c) đúng.

Chia đa thức: $-2x^2+x-1=(x-1)(-2x-1)-2$, nên $y=-2x-1-\frac{2}{x-1}\to -2x-1$ khi $x\to \pm \infty$. Vậy tiệm cận xiên là $y=-2x-1$ → ý d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x\ne 1$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-2x(x-2)}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\in (0;2),x\ne 1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-2x(x-2)}{(x-1{)}^2}$; xét dấu: $y^{\prime }<0$ khi $x<0$, $y^{\prime }>0$ khi $x\in (0;1)\cup (1;2)$, $y^{\prime }<0$ khi $x>2$. Tại $x=0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=2$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (cực đại). Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=-2x-1-\frac{2}{x-1}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-2x-1)\right]=0$: tiệm cận xiên là $y=-2x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$ nên đồ thị cắt trục tung tại $(0;2)$. Trong bốn hình, chỉ hình (IV) thỏa mãn cả ba đặc điểm này (hình (I) có TCN $y=-1$, hình (II) có TCĐ $x=1$ nhưng cắt trục tung tại $y=2$... kiểm tra: hình (II) có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$ nhưng nhánh trái đi xuống dưới, tức $y(0)<0$; hình (III) có TCĐ $x=2$). Vậy đồ thị là hình (IV), đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong bậc ba đi lên từ $-\infty$ đến $+\infty$, có điểm cực đại bên trái trục $Oy$ và điểm cực tiểu bên phải, đồng thời cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương nhỏ. Loại A vì là parabol bậc hai, loại B vì là hàm bậc bốn dạng W. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; tại $x=-1$ đạt cực đại $y=3$ (bên trái), tại $x=1$ đạt cực tiểu $y=-1$ (bên phải), và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Với $y=-x^3+3x+1$ thì cực đại nằm bên phải và cực tiểu bên trái, ngược với hình. Vậy hàm số cần tìm là $y=x^3-3x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2+x+2}{x+2}=x-1+\frac{4}{x+2}$. a) Tiệm cận xiên là $y=x-1$ → đúng. b) $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}>0\iff x<-4$ hoặc $x>0$, nên hàm đồng biến trên $(3;10)$ → đúng. c) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-4$; trên $(-4;0)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(0;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu (không phải cực đại) → sai. d) Hai điểm cực trị: $x=0\Rightarrow y=1$ và $x=-4\Rightarrow y=-7$; đường thẳng qua $(0;1)$ và $(-4;-7)$ có hệ số góc $\frac{1-(-7)}{0-(-4)}=2$, phương trình $y=2x+1\ne y=2x$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2+x+2}{x+2}=x-1+\frac{4}{x+2}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ với mọi $x>0$, do đó hàm số đồng biến trên $(3;10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{4}{(x+2{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-4$. Trên $(-4;0)$ thì $y^{\prime }<0$, trên $(0;+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ − sang + khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu (còn $x=-4$ là điểm cực đại). Do đó mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(0;1)$ và $(-4;-7)$ (vì $y(-4)=\frac{16-4+2}{-2}=-7$). Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $\frac{1-(-7)}{0-(-4)}=2$, phương trình $y=2x+1\ne y=2x$. Do đó mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng. Xét $y=\frac{1-2x}{x+1}$: $y^{\prime }=\frac{-2(x+1)-(1-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$. Khi $x\to -\infty$, $y\to -2$; khi $x\to (-1{)}^{-}$, tử $1-2x\to 3>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$; khi $x\to (-1{)}^{+}$, $y\to +\infty$; khi $x\to +\infty$, $y\to -2$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án B, D có tiệm cận đứng $x=1$; phương án C có $y=\frac{-2+x}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$ tăng biến nên không phù hợp.