Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$ và đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$. Xét $y=\frac{x}{2x+1}$: có ${\lim }_{x\to -1/2^{\pm }}=\pm \infty$ (tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$), ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}$ (tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$), và $y(0)=0$ nên đồ thị đi qua gốc. Các phương án khác: A cho $y(0)=1$, B cho $y(0)=3$, D cho $y(0)=-1$, đều không đi qua gốc. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0212, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) Đúng. Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, nhánh phải nằm trên tiệm cận ngang (vì $y\to 1^{+}$ khi $x\to +\infty$), nhánh trái nằm dưới, đi qua $(0;-1)$ — khớp với hình vẽ trong đề.
b) Đúng. $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$.
c) Đúng. Tại $x=0$: $y=\frac{0+1}{0-1}=-1$, nên giao điểm với trục Oy là $(0;-1)$.
d) Sai. Tâm đối xứng của hyperbol $y=1+\frac{2}{x-1}$ là giao hai tiệm cận, tức điểm $(1;1)$, không phải $(-1;1)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a Đ, 2b Đ, 2c Đ, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hyperbol với tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(0;-1)$, đúng như hình vẽ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=-\frac{2}{(x-1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$, $y=-1$ nên giao điểm với Oy là $(0;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(1;1)$, không phải $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho hàm bậc ba có y' dương trên (−∞;−1), âm trên (−1;3), dương trên (3;+∞), nên y' = a(x+1)(x−3) với a>0, tức y' = a(x²−2x−3), và cực đại y(−1)=1, cực tiểu y(3)=−29/3. Xét phương án B: y = (1/3)x³ − x² − 3x − 2/3, có y' = x² − 2x − 3 = (x+1)(x−3), a = 1 > 0, đúng dấu biến thiên. Kiểm tra giá trị: y(−1) = −1/3 − 1 + 3 − 2/3 = 1 (cực đại đúng); y(3) = 9 − 9 − 9 − 2/3 = −29/3 (cực tiểu đúng). Các phương án khác: A và D có a<0 (y' âm rồi dương rồi âm, ngược bảng); C có y' = 3x²−6x−9 = 3(x+1)(x−3) đúng dấu nhưng y(−1) = −1−3+9−2 = 3 ≠ 1 và y(3) = 27−27−27−2 = −29 ≠ −29/3. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (đề 0212, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba có hai điểm cực trị (cực đại bên trái trục tung, cực tiểu bên phải), cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương. Loại C, D vì đồ thị hàm phân thức có tiệm cận. Xét A: $y=-x^3+3x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+3$, cực đại tại $x=1$ (bên phải) — không khớp. Xét B: $y=x^3-3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ (bên trái), cực tiểu tại $x=1$ (bên phải), và $y(0)=1>0$ khớp với hình. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 0212, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$, khớp mẫu số $2x+1$ của cả bốn phương án. Trên hình, đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ (điểm $O$ nằm trên đường cong). Xét $x=0$: A cho $y=1$, B cho $y=3$, C cho $y=0$, D cho $y=-1$. Chỉ hàm $y=\frac{x}{2x+1}$ đi qua gốc tọa độ. Ngoài ra với $y=\frac{x}{2x+1}$, khi $x\to +\infty$, $y\to \frac{1}{2}$ từ dưới (nhánh phải nằm dưới tiệm cận ngang), khớp hình vẽ. Đáp án khớp bảng đáp án nguồn (đề 0211, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{x^2-x+7}{x+1}=x-2+\frac{9}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Đúng: chia đa thức được $y=x-2+\frac{9}{x+1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-2$, tức $a=1$.
b) Sai: $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. Tại $x=-4$: $y=-9$ (cực đại); tại $x=2$: $y=3$ (cực tiểu). Tổng $=-9+3=-6\ne 3$.
c) Đúng: trên khoảng $(-\infty ;-1)$, hàm số đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $y(-4)=\frac{16+4+7}{-3}=-9$, đây là giá trị lớn nhất trên khoảng này.
d) Sai: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-2$; vì bậc tử bằng bậc mẫu cộng 1 nên không có tiệm cận ngang. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a: Đ, 1b: S, 1c: Đ, 1d: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-2+\frac{9}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$ với $a=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $y(-4)=-9$, cực tiểu $y(2)=3$, tổng bằng $-6\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $-9$, là GTLN trên khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-2$, không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) Đúng. Ta có $y=1+\frac{2}{x-1}$ nên đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(0;-1)$ và $(-1;0)$ — đúng như hình vẽ (nhánh trái dưới, nhánh phải trên).
b) Đúng. Tại $x=0$: $y=\frac{0+1}{0-1}=-1$, giao điểm với trục Oy là $(0;-1)$.
c) Đúng. $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$.
d) Sai. Tâm đối xứng của hyperbol là giao hai tiệm cận, tức điểm $(1;1)$, không phải $(-1;1)$. Khớp với đáp án mã đề 0211: 2a Đ, 2b Đ, 2c Đ, 2d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hyperbol với tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(0;-1)$ và $(-1;0)$, khớp hình vẽ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{1}{-1}=-1$ nên giao điểm với Oy là $(0;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=-\frac{2}{(x-1{)}^2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(1;1)$, không phải $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba với hệ số dương (đi lên từ $-\infty$ đến $+\infty$), có điểm cực đại bên trái trục $Oy$, cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương, và điểm cực tiểu bên phải trục $Oy$ với tung độ âm. Xét $y=x^3-3x+1$: có $y(0)=1>0$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ (bên trái trục $Oy$) với $y(-1)=3$, cực tiểu tại $x=1$ (bên phải trục $Oy$) với $y(1)=-1<0$. Điều này khớp hoàn toàn với hình vẽ. Hàm ở phương án A có hệ số $a=-1<0$ (nhánh đi xuống) nên loại; phương án C, D là hàm phân thức có tiệm cận, không phải đường cong bậc ba như hình. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0211, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;3)$, đạt cực đại tại $x=-1$ với $y=1$, cực tiểu tại $x=3$ với $y=-\frac{29}{3}$, và $y\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$ nên hệ số $a>0$. Xét phương án B: $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x-\frac{2}{3}$, có $y^{\prime }=x^2-2x-3$, $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$; $y(-1)=-\frac{1}{3}-1+3-\frac{2}{3}=1$; $y(3)=9-9-9-\frac{2}{3}=-\frac{29}{3}$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án A, D có $a<0$ (hai đầu đi tới $-\infty$), phương án C có $y(-1)=-1-3+9-2=3\ne 1$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0211, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng xác định, có tiệm cận đứng tại $x=0$ với ${\lim }_{x\to 0^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}y=+\infty$, và ${\lim }_{x\to -\infty }y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$. Xét $y=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x$ (phương án C): $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}-1<0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$; các giới hạn trên đều khớp bảng biến thiên. Phương án A và D có tiệm cận đứng $x=-1$ (không phải $x=0$); phương án B có $y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}>0$ (đồng biến, trái với bảng). Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 12 (mã đề 102): hàm số bậc ba có nhánh đi lên ($a>0$), đi qua điểm O với $y(0)=1$, có cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(0)=1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại); $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu); $y(2)=8-6+1=3$ (khớp điểm $(2;3)$ trên đồ thị). Loại A vì $y(-1)=2(-1{)}^3-6(-1)+1=7\ne 3$; loại B, C vì hệ số $a<0$ (nhánh đi xuống) trái với đồ thị. Đáp án khớp đáp án nguồn (mã 102, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{-x+3}{x-1}=-1+\frac{2}{x-1}$.
a) Sai. Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) Sai. Cắt trục $Ox$ khi $-x+3=0\iff x=3$, tức tại điểm $(3;0)$, không phải $(1;0)$ (điểm $(1;0)$ thậm chí không thuộc tập xác định).
c) Đúng. Đồ thị $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=\frac{-1}{1}=-1$, nên tâm đối xứng là $(1;-1)$.
d) Sai. Với $y=-1+\frac{2}{x-1}$: trên nhánh $x>1$ hàm số nghịch biến từ $+\infty$ về tiệm cận $y=-1$ và cắt trục $Ox$ tại $x=3$; trên nhánh $x<1$ hàm số nghịch biến từ tiệm cận $y=-1$ xuống $-\infty$ khi $x\to 1^{-}$. Hình vẽ trong đề không khớp với đồ thị này (nhánh trái bị vẽ sai hướng/biến thiên), nên mệnh đề sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ vì mẫu số $x-1=0$ tại $x=1$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cho $y=0$: $-x+3=0\iff x=3$, đồ thị cắt trục $Ox$ tại $(3;0)$ chứ không phải $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$, tức $(1;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị thực tế có hai nhánh đều nghịch biến, tiệm cận $x=1$, $y=-1$, cắt $Ox$ tại $(3;0)$; hình vẽ trong đề không mô tả đúng đồ thị này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $x+c=0\Rightarrow c=-1$. Tiệm cận ngang $y=-1$ nên $a=-1$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$ nên $\frac{b}{c}=-2\Rightarrow b=2$. Kiểm tra: nghiệm $y=0$ là $x=2$ (đúng với đồ thị vì $-x+2=0\Rightarrow x=2$). Vậy $2a+3b-c=2(-1)+3(2)-(-1)=-2+6+1=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 4 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (đường tiệm cận ngang cắt trục tung tại 1), hai nhánh đều nghịch biến. Xét các phương án: A là hàm bậc ba không có tiệm cận, loại. Với $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh — khớp đồ thị. Với C: $y=\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=2\ne 1$, loại. Với D: $y=\frac{x^2-3x-1}{x-1}=x-2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-2$, loại. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án mã đề 102 (câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực tiểu $(1;1)$, điểm cực đại $(3;5)$.

a) Sai. Giá trị cực đại là $f(3)=5$, không phải $3$ ($3$ chỉ là hoành độ điểm cực đại).

b) Đúng. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, đồng biến trên $(1;3)$.

c) Đúng. Đường thẳng qua $(1;1)$ và $(3;5)$ có hệ số góc $k=\frac{5-1}{3-1}=2$, phương trình $y=2(x-1)+1=2x-1$.

d) Sai. Trên $(3;+\infty )$ hàm số nghịch biến nên với $4<5$ ta có $f(4)>f(5)$.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 1): a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại là $f(3)=5$, không phải $3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(1;3)$ vì đây là khoảng giữa hai điểm cực trị $x=1$ và $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $(1;1)$ và $(3;5)$: $k=\frac{5-1}{3-1}=2$, $y=2x-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(3;+\infty )$ hàm nghịch biến nên $f(4)>f(5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{-x+3}{x-1}$, điều kiện $x\ne 1$.
a) Sai: Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$).
b) Sai: Cắt trục $Ox$ khi $-x+3=0\iff x=3$, tức tại điểm $(3;0)$, không phải $(1;0)$ (điểm $(1;0)$ còn nằm trên tiệm cận đứng $x=1$).
c) Đúng: $y=\frac{-x+3}{x-1}=\frac{-(x-1)+2}{x-1}=-1+\frac{2}{x-1}$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$ và tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(1;-1)$.
d) Sai: Đồ thị thực tế có $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh, đi qua điểm $(3;0)$ và $(0;-3)$; hình vẽ trong đề không khớp đúng dạng này (đáp án theo key: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ vì mẫu số $x-1=0$ tại $x=1$, không phải $x=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\iff -x+3=0\iff x=3$, đồ thị cắt $Ox$ tại $(3;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=-1+\frac{2}{x-1}$ có tiệm cận $x=1$, $y=-1$, tâm đối xứng $(1;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trong đề không mô tả đúng đồ thị hàm số (đáp án theo key: S).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $1+c=0\Rightarrow c=-1$. Tiệm cận ngang $y=-1$ nên $a=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại $x=2$: $\frac{2a+b}{2+c}=0\Rightarrow b=-2a=2$. Kiểm tra giao điểm với trục tung: $y=\frac{b}{c}=\frac{2}{-1}=-2$ khớp với hình. Vậy $2a+3b-c=2(-1)+3(2)-(-1)=-2+6+1=5$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đồng biến vô cực khi $x\to \pm \infty$ theo chiều dương), có cực đại tại $(-1;3)$, cực tiểu tại $(1;-1)$ và đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(0)=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có $y(0)=1$ nhưng $y(-1)=6\ne 3$; C, D là hàm bậc ba đi xuống (nghịch), trái với đồ thị đi lên. Đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã 101, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 4 là một hyperbol có hai nhánh: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời hàm số nghịch biến trên từng nhánh. Loại B vì $y=x^3+x^2+1$ là hàm bậc ba (đồ thị không phải hyperbol). Xét các hàm phân thức: A có $y=\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$ với tiệm cận ngang $y=2$ (loại); D có $y=\frac{x^2-3x-1}{x-1}=x-2-\frac{3}{x-1}$ có tiệm cận xiên, không có tiệm cận ngang (loại). Còn $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ (nghịch biến trên mỗi nhánh), tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời $y(0)=-1<0$ và $y(2)=3>0$ phù hợp đồ thị. Đáp án C, trùng với đáp án của đề (mã 101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=0$, và trên mỗi nhánh $y$ đi từ $+\infty$ xuống $-\infty$ (khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$; khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$).

Xét các phương án:
- A: $y=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}$, có $y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}>0$ nên đồng biến trên mỗi khoảng — loại.
- B: $y=\frac{x^2+3x}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ — loại.
- C: $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ — loại.
- D: $y=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x$, có $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}-1<0$ với mọi $x\ne 0$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$; ${\lim }_{x\to -\infty }y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$ — khớp hoàn toàn với bảng biến thiên.

Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: D).