Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=2-\frac{1}{x-1}$ là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: $(1;2)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3-3x^2+4$, có $y^{\prime }=-3x^2-6x=-3x(x+2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$.
a) $-x^3-3x^2+4=0\iff x^3+3x^2-4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$, có nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn) và $x=-2$ (nghiệm kép) nên đồ thị chỉ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt → Sai.
b) Với $x<-2$: $y^{\prime }=-3x(x+2)<0$? Thử $x=-3$: $y^{\prime }=-3(-3)(-1)=-9<0$... kiểm tra lại: $-3\cdot (-3)\cdot (-1)=-9<0$, tức $y^{\prime }<0$? Tính lại: $x=-3$, $x+2=-1$, tích $x(x+2)=3>0$, nhân $-3$ cho $-9<0$. Vậy trên $(-\infty ;-2)$ hàm số nghịch biến? Nhưng xét dấu $y^{\prime }=-3x(x+2)$: với $x<-2$, cả $x$ và $x+2$ đều âm nên $x(x+2)>0$, $y^{\prime }<0$ → hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ → Đúng. (Lưu ý: bảng xét dấu chuẩn: $y^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$.)
c) Điểm cực trị: $A(-2;y(-2))$ với $y(-2)=8-12+4=0$ và $B(0;4)$. Kiểm tra: $y(-2)=-(-8)-3(4)+4=8-12+4=0$. Vậy $A(-2;0)$, $B(0;4)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $k=\frac{4-0}{0-(-2)}=2$, phương trình $y=2x+4$ → Đúng.
d) Trên $[-1;2]$: $y(-1)=1-3+4=2$, $y(0)=4$, $y(2)=-8-12+4=-16$. Giá trị nhỏ nhất là $-16$, không phải $4$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$-x^3-3x^2+4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$: chỉ hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=-2$, nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x(x+2)$; với $x<-2$ thì $x(x+2)>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=-2$ ($y=0$) và $x=0$ ($y=4$): $A(-2;0)$, $B(0;4)$, đường thẳng $AB$ có $k=2$, phương trình $y=2x+4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$: $y(-1)=2$, $y(0)=4$, $y(2)=-16$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-16$, không phải $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và tăng trên mỗi nhánh. Xét $y=\frac{-x-1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=-1$ (tỉ số hệ số của bậc cao nhất là $-1$); tại $x=0$ có $y=1$; $y^{\prime }=\frac{2}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng. Các phương án khác: A có TCN $y=1$; C, D có TCĐ $x=-1$, đều không khớp hình vẽ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên đi qua tâm đối xứng $I(-1;-1)$ nên là $y=x$, đồ thị đi qua điểm $(0;-2)$ và cắt trục hoành tại $x=1$. Vậy $f(x)=x+\frac{A}{x+1}$ với $f(0)=A=-2$, tức $f(x)=x-\frac{2}{x+1}=\frac{x^2+x-2}{x+1}$. Kiểm tra: $f(1)=1-\frac{2}{2}=0$, đúng. Do đó đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=1$ (nghiệm còn lại $x=-2$ thuộc nhánh trái, nhưng đáp án khớp là $1$). Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $(-1;4)$, cực tiểu tại $(1;0)$ (tiếp xúc trục hoành), và đi qua $(-2;0)$. Vì có nghiệm kép tại $x=1$ và nghiệm đơn $x=-2$, ta viết $f(x)=a(x-1{)}^2(x+2)$. Từ $f(-1)=4$: $a\cdot 4\cdot 1=4\Rightarrow a=1$, nên $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)=x^3-3x+2$.
a) Hàm bậc ba có tâm đối xứng tại điểm uốn, tức $x=0$ (trung điểm của $-1$ và $1$), $f(0)=2$, nên tâm đối xứng là $I(0;2)$ → Đúng.
b) $f(0)=2$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;2)$, không phải $(1;0)$ → Sai.
c) $f(-2)=(-3{)}^2\cdot 0=0$, đồ thị cắt trục hoành tại $(-2;0)$ → Đúng.
d) $f(x)=4\iff x^3-3x+2=4\iff x^3-3x-2=0\iff (x+1{)}^2(x-2)=0$, có hai nghiệm thực phân biệt $x=-1$ và $x=2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, tại $x=0$ (trung điểm hai cực trị $-1$ và $1$), $f(0)=2$, nên $I(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3-3x+2$ thì $f(0)=2$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;2)$ chứ không phải $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=(-2-1{)}^2(-2+2)=0$, đồ thị cắt trục hoành tại $(-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=4\iff x^3-3x-2=0\iff (x+1{)}^2(x-2)=0$, có hai nghiệm thực phân biệt $x=-1$ và $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: f(0)=1 nên d=1; f'(0)=0 (cực tiểu tại x=0) nên c=0; f'(-1)=0 (cực đại tại x=-1) nên 3a-2b+c=0. f(-1)=2: -a+b+d=2 ⇒ b-a=1. f(-2)=0: -8a+4b+d=0 ⇒ 4b-8a=-1. Thay b=a+1: 4a+4-8a=-1 ⇒ a=5/4, b=9/4. Vậy T=2a+3b+c=2·(5/4)+3·(9/4)+0=10/4+27/4=37/4=9,25.

Trang nguồn (trang 6) in đáp án D được gạch chân. Kiểm chứng bằng đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;-1)$. Xét $y=\frac{2x-1}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ nên tiệm cận đứng $x=-1$; $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$; tại $x=0$ thì $y=\frac{-1}{1}=-1$ khớp với đồ thị. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=1$ (loại); B có $y(0)=1$ (loại); C có $y(0)=0$ (loại). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$ nên $cx+1=0\iff -c+1=0\Rightarrow c=1$ (b đúng). Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=1$. Đồ thị đi qua điểm $(2;0)$: $\frac{2a+b}{3}=0\Rightarrow b=-2$. Vậy $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ (c đúng). $y^{\prime }=\frac{a-b}{(cx+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ (d đúng), và vì $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm số không có cực trị (a sai). Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{a-b}{(cx+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số không có điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-1$ suy ra $-c+1=0\Rightarrow c=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $c=1$, tiệm cận ngang $y=1\Rightarrow a=1$; qua $(2;0)$ suy ra $b=-2$; vậy $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ (kiểm tra $f(0)=-2$ đúng theo đồ thị).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng đó.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-2$:
- TXĐ $D=\mathbb{R}$ (0,125đ)
- $y^{\prime }=3x^2-6x$ (0,125đ)
- Cho $y^{\prime }=0\iff 3x^2-6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$ (0,125đ)
- Giới hạn tại vô cực: ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. (0,125đ)
- Bảng biến thiên: (0,125đ)



- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{CD}=-2$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và $y_{CT}=-6$ (0,125đ)
- $y^{\prime \prime }=6x-6$. Cho $y^{\prime \prime }=0\iff 6x-6=0\iff x=1\Rightarrow y=-4$ (0,125đ)
- Bảng tọa độ một số điểm thuộc đồ thị (điểm này có thể biểu diễn trực tiếp trên hệ trục tọa độ Oxy vẫn chấp nhận):

(0,125đ)
- Đồ thị: (0,375đ)

[Hình cần kiểm tra lại: p14_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 7 có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường thẳng đi qua $(-1,-2)$ và gần gốc với hệ số góc 1), hai nhánh nằm khác phía: nhánh phải ($x>-1$) nằm trên tiệm cận xiên, nhánh trái nằm dưới. Xét $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$: có TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$, và vì $\frac{1}{x+1}>0$ khi $x>-1$ nên nhánh phải nằm trên đường tiệm cận xiên — khớp hình vẽ. Các đáp án B, C là hàm bậc ba (không có tiệm cận), đáp án D $y=\frac{x+1}{3x-2}$ có TCĐ $x=\frac{2}{3}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{1}{3}$, không khớp. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường hypebol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nhánh phải nằm trên $y=1$, nhánh trái nằm dưới $y=1$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; với $x>1$ thì $y>1$, với $x<1$ thì $y<1$, đúng như hình vẽ. Các đáp án B, C là hàm bậc ba (đồ thị không có tiệm cận), loại. Đáp án D: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x$, không phải tiệm cận ngang $y=1$, loại. Vậy đáp án A, khớp với mã đề 102 câu 9.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên cx-1=0 tại x=1 ⇒ c=1 (không phải c=-1, ý c Sai). Tiệm cận ngang y=a/c=2 và đồ thị đi qua (0;-1): y(0)=b/(-1)=-1 ⇒ b=1. Vậy y=(2x+1)/(x-1), ý b Đúng. y'=[2(x-1)-(2x+1)]/(x-1)²=-3/(x-1)²<0 nên hàm số nghịch biến trên (-∞;1) và (1;+∞), ý a Sai. Hàm phân thức nhất biến bậc nhất trên tử và mẫu không có cực trị (y' không đổi dấu qua điểm tới hạn, không có điểm tới hạn), ý d Đúng. Khớp bảng đáp án SDĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
y'=-3/(x-1)²<0 với mọi x≠1 nên hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên (-∞;1) và (1;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: TCĐ x=1 ⇒ c=1; TCN y=a/c=2 ⇒ a=2; đồ thị qua (0;-1) ⇒ b/(-1)=-1 ⇒ b=1. Vậy y=(2x+1)/(x-1).
c) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là x=1 nên cx-1=x-1 ⇒ c=1, không phải c=-1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức y=(2x+1)/(x-1) có y'=-3/(x-1)²<0 trên từng khoảng xác định, không đổi dấu, nên không có cực trị.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-4$.
- TXĐ $D=\mathbb{R}$ (0,125đ)
- $y^{\prime }=-3x^2+6x$ (0,125đ)
- Cho $y^{\prime }=0\iff -3x^2+6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$ (0,125đ)
- Giới hạn tại vô cực: ${\lim }_{x\to -\infty }y=+\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$. (0,125đ)
- Bảng biến thiên: (0,125đ)

[Hình cần kiểm tra lại: p12_f1]

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $y_{ct}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và $y_{cd}=0$ (0,125đ)
- $y^{\prime \prime }=-6x+6$. Cho $y^{\prime \prime }=0\iff -6x+6=0\iff x=1\Rightarrow y=-2$ (0,125đ)
- Bảng tọa độ một số điểm thuộc đồ thị (điểm này có thể biểu diễn trực tiếp trên hệ trục tọa độ Oxy vẫn chấp nhận):

(0,125đ)
- Đồ thị: (0,375đ)

[Hình cần kiểm tra lại: p12_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 8 là một hypebol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh nghịch biến trên từng khoảng. Xét các phương án: A và D là hàm bậc ba (đồ thị liên tục, không có tiệm cận) nên loại. B: $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x-2$ (không có tiệm cận ngang) nên loại. C: $y=\frac{x}{x-1}$ có ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}=\pm \infty$ (TCĐ $x=1$), ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x}{x-1}=1$ (TCN $y=1$), $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng — khớp hoàn toàn với đồ thị. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên, đi qua điểm $(0;2)$, nên loại A, B (đa thức, không có tiệm cận). Với C: $y=\frac{2x-2}{3x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{3}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{3}$, không phù hợp. Với D: $y=\frac{-x^2+2x-2}{x-1}=-x+1-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=-x+1$, và $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$ khớp với đồ thị. Vậy đáp án D (khớp với mã đề 101, câu 9).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 0119, Phần II, Câu 3: DDSS (a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng). Nhận xét từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2$ nên đồ thị chỉ có một tiệm cận ngang $y=2$ (a Sai); $f^{\prime }(x)<0$ trên phần lớn $(-2;+\infty )$ nên hàm không đồng biến trên khoảng này (b Sai); trên $(-\infty ;0]$, $f$ giảm từ 2 về 1 nên $\min f=1$, do đó $\min h=2\cdot 1-2025=-2023$ (c Đúng); hàm có hai điểm cực trị tại $x=0$ và $x=1$ (d Đúng). Nguồn không cung cấp lời giải chi tiết.