Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức của đề (mã đề 0119, trang 5), đáp án của Câu 8 là D.

Lưu ý mâu thuẫn với hình vẽ: đồ thị trong hình là đường cong bậc ba có cực đại tại (1;1) và cực tiểu tại (-1;-3), tương ứng với $y=-x^3+3x-1$ (câu A): $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y(1)=1$ (cực đại), $y(-1)=-3$ (cực tiểu). Hàm $y=\frac{x+2}{x-1}$ (câu D) là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, không có cực trị, không khớp với đường cong bậc ba trong hình. Vì đáp án chính thức ghi D nên giữ nguyên D và ghi nhận mâu thuẫn này.

Từ đồ thị Hình 4: hàm số đạt cực đại tại $(-1;1)$ và cực tiểu tại $(1;-3)$. Suy ra $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ có nghiệm $x=-1$ và $x=1$, nên $a=0$, $b=-3$. Vì $f(1)=-3$ nên $1-3+c=-3\Rightarrow c=-1$, tức $f(x)=x^3-3x-1$. Giá trị cực đại $f(-1)=1$. Đáp án (mã đề 1062): a) S, b) S, c) Đ, d) S. (Lời giải do AI suy luận từ đồ thị nguồn; nguồn không in lời giải chi tiết.)
a) Đúng theo đáp án mã đề 1062 (ý a) = S). Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$, nên $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b=0$ có hai nghiệm $x=\pm 1$, suy ra $a=0$, $b=-3$. Vậy khẳng định $b$ bằng 3 là sai. (Lời giải do AI suy ra từ đồ thị Hình 4, khớp đáp án nguồn.)
b) Sai theo đáp án mã đề 1062 (ý b) = S). Với $a=0$, $b=-3$, đồ thị đi qua điểm cực tiểu $(1;-3)$: $f(1)=1-3+c=-3\Rightarrow c=-1$. Vậy $c=-3$ là sai. (Lời giải do AI suy ra từ đồ thị Hình 4, khớp đáp án nguồn.)
c) Đúng theo đáp án mã đề 1062 (ý c) = Đ). Với $f(x)=x^3-3x-1$, giá trị cực đại $f(-1)=-1+3-1=1$. (Lời giải do AI suy ra từ đồ thị Hình 4, khớp đáp án nguồn.)
d) Sai theo đáp án mã đề 1062 (ý d) = S). Hàm số là $f(x)=x^3-3x-1$, không phải $x^3-3x^2+1$. (Lời giải do AI suy ra từ đồ thị Hình 4, khớp đáp án nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên hàm số có dạng $y=\frac{ax+b}{x+1}$ với $a=2$. Xét A: $y=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$, có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, tiệm cận đứng $x=-1$; với $x<-1$ thì $y>2$ (nhánh trái nằm trên tiệm cận ngang), với $x>-1$ thì $y<2$ (nhánh phải nằm dưới), $y(0)=-1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Xét C: $y=\frac{2x+1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$ có $y(0)=1$, không khớp giao điểm với trục tung trong hình (đồ thị cắt trục tung tại $y=-1$). B là hàm bậc ba không có tiệm cận; D có tiệm cận xiên $y=2x+1$, không phải tiệm cận ngang. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, nên hàm số có dạng phân thức với mẫu $x+1$ và phần nguyên $x+1$. Xét $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$. Khi đó $y(0)=2$ khớp với đồ thị (cắt trục tung tại 2), nhánh phải có cực tiểu tại $x=0$ với $y_{\min }=2$, nhánh trái có cực đại tại $x=-2$ với $y=-1$, đúng như hình vẽ. Loại A vì $y=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận ngang $y=1$; loại D vì $y=\frac{x^2+2x}{x+1}=x+1-\frac{1}{x+1}$ có $y(0)=0$ và cực tiểu $y=-1$ tại $x=0$; loại C vì là hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua $(-2;0)$, cắt trục tung tại $(0;2)$, tiếp xúc trục hoành tại $(1;0)$ và có cực đại tại $x=-1$. Xét $y=x^3-3x+2$: $y(-2)=-8+6+2=0$, $y(0)=2$, $y(1)=1-3+2=0$; $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ nên $x=1$ là nghiệm kép của phương trình $y=0$ (đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=1$), $y(-1)=-1+3+2=4$ là cực đại. Tất cả khớp với đồ thị. Loại A (hàm phân thức có tiệm cận), C (hàm bậc ba hệ số âm, đi xuống khi $x\to +\infty$), D (parabol). Đáp án khớp với bảng mã đề 1061: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 2: đồ thị hàm bậc ba có cực đại tại điểm $(0;2)$ và cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=2$.

- $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax+b$. Vì cực đại tại $x=0$ nên $f^{\prime }(0)=b=0$ → câu a đúng.
- $f(0)=c=2$ (cực đại có tung độ 2) → $c=2$, không phải $-2$ → câu d sai.
- Cực tiểu tại $x=2$: $f^{\prime }(2)=12-4a=0\Rightarrow a=3$. Vậy $f(x)=x^3-3x^2+2$, không phải $x^3-6x^2+2$ → câu b sai.
- Hàm số có hai điểm cực trị tại $x=0$ và $x=2$ → câu c đúng.

Khớp với đáp án nguồn (mã 1061, câu 3: Đ S Đ S).

a) Cực đại tại $x=0$ nên $f^{\prime }(0)=b=0$.

b) Từ đồ thị: $b=0$, $c=2$, cực tiểu tại $x=2$ cho $a=3$, vậy $f(x)=x^3-3x^2+2$.

c) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ tại $x=0,2$, hai điểm cực trị là 0 và 2.

d) Cực đại tại điểm $(0;2)$ nên $c=f(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đường cong có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x$ (đi qua gốc, hệ số góc 1). Xét phương án D: $y=\frac{x^2-x+2}{x-1}=x+\frac{2}{x-1}$. Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ (nhánh phải phía trên, nhánh trái phía dưới — khớp hình vẽ), tiệm cận xiên $y=x$. Đạo hàm $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt{2}$. Tại $x=1-\sqrt{2}$ (nhánh trái): $y=1-\sqrt{2}+\frac{2}{-\sqrt{2}}=1-2\sqrt{2}\approx -1,83\approx -2$, đúng với cực đại $-2$ trên hình. Các phương án khác không thỏa: A có tiệm cận đứng $x=-1$; B có $y=\frac{x^2-x-2}{x-1}=x-\frac{2}{x-1}$ cho giá trị trái dấu; C có hệ số góc tiệm cận xiên bằng $-1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án mã đề 1061 trong bảng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=(x+1)+\frac{1}{x+1}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) Vì bậc tử bằng bậc mẫu + 1 và mẫu triệt tiêu tại $x=-1$, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$. → Đúng.

b) Đặt $t=\cos x+1\in (0;2]$, khi đó $y=\frac{(\cos x+1{)}^2+1}{\cos x+1}=t+\frac{1}{t}$. Khi $t\to 0^{+}$ (tức $\cos x\to -1^{+}$) thì $y\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định này. Do đó khẳng định GTLN bằng $\frac{5}{2}$ là Sai. (Lưu ý $\frac{5}{2}$ chỉ là giá trị tại $t=2$, tức $\cos x=1$, nhưng đó không phải GTLN.) → Sai.

c) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=-2$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu với $y(0)=\frac{2}{1}=2$. Vậy $(0;2)$ là điểm cực tiểu của đồ thị. → Đúng.

d) $y^{\prime }>0\iff x(x+2)>0\iff x<-2$ hoặc $x>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$. → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp với đáp án chính thức DSDD (mã đề 312, trang 10).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ vì $y=(x+1)+\frac{1}{x+1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=\cos x+1\in (0;2]$, $y=t+\frac{1}{t}\to +\infty$ khi $t\to 0^{+}$, nên hàm số không có GTLN; khẳng định GTLN $=\frac{5}{2}$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$, $y(0)=2$, nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }>0\iff x(x+2)>0\iff x\in (-\infty ;-2)\cup (0;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên hai khoảng đó.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. a) Trên đoạn $[1;2]$ hàm số đồng biến nên GTNN tại $x=1$: $y(1)=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ → Đúng. b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang $y=1$; ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng $x=-1$ → Đúng. c) Vì $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ nên hàm đồng biến trên khoảng này → Đúng. d) Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ không có cực trị, do đó không tồn tại giá trị cực đại $y=1$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên [1;2] nên GTNN tại x=1: y(1)=-1/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim y=1 khi x→±∞ (TCN y=1); lim y→+∞ khi x→-1⁺ (TCĐ x=-1).
c) (AI giải đề cho tôi)
y'=3/(x+1)²>0 trên (-∞;-1) nên hàm đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất không có cực trị nên không có giá trị cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. a) Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$, nên mệnh đề đồng biến là SAI. b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$; ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng $x=1$. Mệnh đề ĐÚNG. c) Trên đoạn $[-2;0]$ hàm nghịch biến nên GTLN là $y(-2)=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\ne 6$. Mệnh đề SAI. d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nên không có cực trị. Mệnh đề SAI. Kết quả khớp đáp án chính thức SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ (TCN $y=2$) và ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ (TCĐ $x=1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-2;0]$ nên GTLN $=y(-2)=\frac{2}{3}\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định nên không có giá trị cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$. a) $y^{\prime }<0$ khi $-4<x<2$, $x\ne -1$, nên hàm nghịch biến trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$ → Đúng. b) Tại $x=-4$: $y(-4)=\frac{16+12+5}{-3}=-11\ne -10$, nên $(-4;-10)$ không thuộc đồ thị, không phải điểm cực đại → Sai. c) $x=-1$ là tiệm cận đứng; do bậc tử = bậc mẫu + 1 nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-4$, không có tiệm cận ngang → Sai. d) Đặt $t=\sin x\in [-1;1)$, $t\ne -1$; $f(t)=\frac{t^2-3t+5}{t+1}$, $f^{\prime }(t)=\frac{(t+4)(t-2)}{(t+1{)}^2}<0$ trên $[-1;1]$ nên $f$ nghịch biến, GTNN tại $t=1$: $f(1)=\frac{1-3+5}{2}=\frac{3}{2}\ne 1$ → Sai. Kết quả D-S-S-S khớp đáp án chính thức mã đề 311.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$ nên hàm nghịch biến trên hai khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(-4)=\frac{16+12+5}{-3}=-11\ne -10$, điểm $(-4;-10)$ không thuộc đồ thị nên không phải điểm cực đại (điểm cực đại là $(-4;-11)$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-4$ (do bậc tử hơn bậc mẫu 1), không có tiệm cận ngang.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=\sin x\in [-1;1)$, $f(t)=\frac{t^2-3t+5}{t+1}$ nghịch biến trên $[-1;1]$ vì $f^{\prime }(t)=\frac{(t+4)(t-2)}{(t+1{)}^2}<0$; GTNN $=f(1)=\frac{3}{2}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, bậc tử số khác 0. Tiệm cận ngang $y=a<0$ (nhánh trái tiến về giá trị âm khi $x\to -\infty$). Giao điểm với trục tung: $y(0)=\frac{-b}{-1}=b$, đồ thị cắt trục tung tại $-2$ nên $b=-2<0$. Giao điểm với trục hoành: $ax-b=0\Rightarrow x=\frac{b}{a}=2$, suy ra $a=\frac{b}{2}=-1$. Vậy $a=-1$, $b=-2$, tức $b<a<0$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$.
a) Đúng: $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm số không có cực trị.
b) Sai: Cắt trục hoành tại $A\left(\frac{1}{2};0\right)$, cắt trục tung tại $B(0;-1)$. Diện tích tam giác $OAB=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.
c) Đúng: ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=-1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$.
d) Đúng: $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002, câu 13: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số không có cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A\left(\frac{1}{2};0\right)$, $B(0;-1)$, $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;1)$, $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$; $f(-1)=0$, $f(1)=16$, $f(3)=0$, và trên $(3;+\infty )$ hàm đi từ 0 đến $+\infty$ (đồng biến).

a) Trên $(1;3)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến. → Đúng.

b) Khi $x\to 3^{-}$ thì $f(x)\to 0$ và khi $x\to 3^{+}$ thì $f(x)\to 0$ (bảng cho $f$ đi từ 0 lên $+\infty$ trên $(3;+\infty )$), nên $x=3$ không phải tiệm cận đứng. → Sai.

c) Trên $(-1;3)$, hàm đồng biến trên $(-1;1)$ rồi nghịch biến trên $(1;3)$, đạt cực đại $f(1)=16$ là giá trị lớn nhất trên khoảng. → Đúng.

d) Với $x\in (3;+\infty )$ nguyên thì $x^2-1>8>3$, thuộc nhánh $(3;+\infty )$ nơi $f$ đồng biến. Bất phương trình $f(x^2-1)<f(35)$ trở thành $x^2-1<35\iff x^2<36\iff x<6$. Kết hợp $x>3$: $x\in \{4;5\}$, chỉ có 2 nghiệm nguyên chứ không phải 3. → Sai.

Khớp đáp án mã đề 1002: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;3)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 3^{-}$ và $x\to 3^{+}$ thì $f(x)\to 0$ (giá trị hữu hạn), nên $x=3$ không phải tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;3)$ hàm đồng biến rồi nghịch biến, đạt cực đại (đồng thời GTLN) $f(1)=16$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>3$ nguyên, $x^2-1>3$ và $f$ đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên $f(x^2-1)<f(35)\iff x^2-1<35\iff x<6$. Vậy $x\in \{4;5\}$: chỉ 2 nghiệm nguyên, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. a) Trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ ta có $y^{\prime }<0$, nhưng hàm số không liên tục trên $(-2;0)$ (do $x=-1$), nên không nói hàm nghịch biến trên $(-2;0)$ → Sai. b) Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$; giao điểm là $(-1;0)$ chứ không phải $I(-1;1)$ → Sai. c) $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ (và $x=-2$); $y(0)=2$ và $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(x+1{)}^3}>0$ tại $x=0$ nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại → Sai. d) Tiệm cận xiên $y=x+1$ tức $x-y+1=0$; khoảng cách từ $O(0;0)$ là $\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → Đúng. Kết quả S, S, S, Đ khớp bảng đáp án mã đề 1002.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$, nhưng hàm không liên tục tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$; giao điểm là $(-1;0)$, không phải $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(0)=0$, $y(0)=2$, $y^{\prime \prime }(0)=2>0$ nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
TCX $y=x+1$ hay $x-y+1=0$; $d(O,\text{TCX})=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi từ $-\infty$ đến $+\infty$, có điểm cực đại bên trái trục tung (hoành độ âm), điểm cực tiểu bên phải (hoành độ dương), và cắt trục tung tại điểm có hoành độ gốc dương. Loại D vì hàm phân số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Xét các hàm bậc ba: với $y=x^3-3x+1$ (B), $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ (bên trái trục tung), cực tiểu tại $x=1$ (bên phải), và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Với A, $y=-x^3+3x+1$ có cực đại tại $x=1$ (bên phải) và cực tiểu tại $x=-1$ (bên trái) — ngược với hình. Với C, $y=x^3-3x$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, không khớp hình (đồ thị cắt trục tung tại điểm dương). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1002: B).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$.
a) Trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ ta có $y^{\prime }<0$, nhưng hàm số không liên tục tại $x=-1$ nên không thể nói nghịch biến trên cả khoảng $(-2;0)$ → Sai.
b) Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$; giao điểm là $(-1;0)$ chứ không phải $I(-1;1)$ → Sai.
c) $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=-2$. Qua $x=0$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu với $y(0)=2$, tức $(0;2)$ là điểm cực tiểu (không phải cực đại) → Sai.
d) Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến tiệm cận xiên $x-y+1=0$ là $\frac{|1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: S, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$, không nghịch biến trên $(-2;0)$ do gián đoạn tại $x=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$ cắt nhau tại $(-1;0)$, không phải $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=0$ nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,x-y+1=0)=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Cắt trục hoành: $2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$, nên $A\left(\frac{1}{2};0\right)$. Cắt trục tung: $y=-1$, nên $B(0;-1)$. Diện tích tam giác $OAB=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$ → Sai.
b) $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, không có $y^{\prime }=0$ nên hàm số không có cực trị → Đúng.
c) Vì $y^{\prime }>0$ trên từng khoảng xác định, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ → Đúng.
d) $x=-1$ là tiệm cận đứng (mẫu số bằng 0), $y=2$ là tiệm cận ngang (tỉ số hệ số cao nhất $2/1$) → Đúng.
Kết quả: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ, khớp bảng đáp án mã đề 1001 (SĐĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$A\left(\frac{1}{2};0\right)$, $B(0;-1)$, diện tích tam giác $OAB=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với $x\ne -1$, không có nghiệm $y^{\prime }=0$ nên không có cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }>0$ trên từng khoảng xác định nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ dương (nhánh trái đi xuống, nhánh phải đi lên), có cực đại tại $x<0$ và cực tiểu tại $x>0$, đồng thời cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương. Loại B vì là hàm phân thức có tiệm cận. Loại A vì hệ số $x^3$ âm (nhánh trái đi lên). Với $y=x^3-3x$ thì $y(0)=0$, đồ thị đi qua gốc tọa độ, không khớp hình vẽ. Với $y=x^3-3x+1$: $y(0)=1>0$ (cắt trục tung phía trên gốc $O$), $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, cực đại tại $x=-1<0$, cực tiểu tại $x=1>0$, khớp hoàn toàn với hình vẽ. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$. a) Điều kiện $x\ne 1$ nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$: đúng. b) Tại $x=0$: $y=\frac{2}{-1}=-2$, đồ thị cắt trục tung tại $M(0;-2)$: đúng. c) Vì $y=(x-1)+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, không phải $y=x-2$: sai. d) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x-1$ (cắt trục tung tại $-1$), nhánh phải có điểm nhỏ nhất $(2;2)$, nhánh trái đi qua $(0;-2)$ — khớp với hình vẽ: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{0-0+2}{-1}=-2$, nên đồ thị cắt trục tung tại $M(0;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, không phải $y=x-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=1$, TCX $y=x-1$, điểm nhỏ nhất $(2;2)$ trên nhánh phải và đi qua $(0;-2)$ trên nhánh trái, khớp với hình vẽ.