Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=0,5$, tiệm cận ngang $y=-0,5$, đồ thị cắt Ox tại $(1;0)$ và cắt Oy tại $(0;-1)$.

Với $f(x)=\frac{-x+b}{cx+d}$: tiệm cận ngang $y=\frac{-1}{c}=-0,5\Rightarrow c=2$; tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}=0,5\Rightarrow d=-1$; cắt Ox tại $x=b=1$; kiểm tra $f(0)=\frac{b}{d}=-1$ thỏa mãn. Vậy $b=1,c=2,d=-1$.

a) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$ → Đúng.

b) $b=1>0$, $d=-1<0$ trái dấu → Sai.

c) $f^{\prime }(x)=\frac{c(b-d)}{(cx+d{)}^2}=\frac{2\cdot 2}{(2x-1{)}^2}>0$ nên $f$ tăng trên $[2;5]$. Do đó $\min f=f(2)=\frac{-2+1}{4-1}=-\frac{1}{3}$, còn $f(5)=-\frac{4}{9}$ là giá trị lớn nhất → Sai (đề nói min bằng $-\frac{4}{9}$).

d) Diện tích tứ giác $MHOK$ (H, K là hình chiếu của $M(x;y)$) là $|xy|=\left|x\cdot \frac{-x+1}{2x-1}\right|=2$ với $x>0$.
- Nhánh $0<x<0,5$: $y<0$, $\frac{x(1-x)}{1-2x}=2\iff x^2-5x+2=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$; chỉ $x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\approx 0,44$ thỏa $0<x<0,5$.
- Nhánh $x>0,5$: $\frac{x(x-1)}{2x-1}=2\iff x^2-5x+2=0$; chỉ $x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\approx 4,56$ thỏa.
Vậy chỉ có 2 điểm $M$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=0,5$ và tiệm cận ngang $y=-0,5$, tức $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị suy ra $c=2$, $d=-1$, $b=1$; vậy $b$ và $d$ trái dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{4}{(2x-1{)}^2}>0$ nên hàm số tăng trên $[2;5]$; giá trị nhỏ nhất là $f(2)=-\frac{1}{3}$, không phải $-\frac{4}{9}$ (đó là giá trị lớn nhất $f(5)$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\left|x\cdot \frac{1-x}{2x-1}\right|=2$ với $x>0$ tương đương $x^2-5x+2=0$, cho đúng 2 nghiệm hợp lệ $x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$ (mỗi nhánh một nghiệm), nên chỉ có 2 điểm $M$, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong bậc ba đi từ $+\infty$ (khi $x\to -\infty$) xuống $-\infty$ (khi $x\to +\infty$), có một điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành gần gốc tọa độ và một điểm cực đại tại khoảng $(2;3)$, nên loại ngay các phương án A, C (hàm phân thức có tiệm cận đứng). Xét hai phương án còn lại:
- $y=x^3-3x^2-1$: $y^{\prime }=3x^2-6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=-1$ (cực tiểu), $y(2)=8-12-1=-5$ (cực đại). Điểm cực đại có tung độ âm, không khớp hình vẽ (cực đại có tung độ dương khoảng 3) → loại D.
- $y=-x^3+3x^2-1$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=-1$ (cực tiểu, nằm dưới trục hoành gần gốc), $y(2)=-8+12-1=3$ (cực đại tại $(2;3)$, đúng như hình vẽ). Đồng thời $y=0\Rightarrow x^3-3x^2+1=0$ cho nghiệm gần $x\approx 0,65$ và $x\approx 2,53$, khớp với hai giao điểm của đồ thị với trục hoành trong hình.
Vậy hàm số có đồ thị như hình vẽ là $y=-x^3+3x^2-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên, nhánh phải đạt cực tiểu tại điểm có tung độ $2$ khi $x=0$. Xét $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$; $y(0)=2$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\Rightarrow x=0$ (cực tiểu, $y=2$) và $x=-2$ (cực đại, $y=-1$), khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án khác có tiệm cận đứng $x=2$ (C, D) hoặc không cho giá trị $y(0)=2$ với cực trị đúng vị trí (B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, và $y(0)=\frac{1}{-1}=-1$ — khớp hoàn toàn. Loại A vì $y(0)=1$; loại C vì TCĐ $x=-1$; loại D vì TCĐ $x=-\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị hàm bậc ba: nhánh phải đi lên nên $a>0$. Cực đại nằm bên trái trục tung ($x_1<0$) và cực tiểu nằm bên phải ($x_2>0$), do đó tổng hai nghiệm của $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ là $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$; tích hai nghiệm $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ nên $d>0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1203, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-2x+6}{x+1}=x-3+\frac{9}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-(x-3)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x+1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$ → Đúng. b) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$ → Đúng. c) $f^{\prime }(x)=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$ nhưng hàm số không liên tục tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-4;2)$ → Sai. d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$; $f(-4)=-10$ là cực đại (nhánh $(-\infty ;-1)$), $f(2)=2$ là cực tiểu (nhánh $(-1;+\infty )$). Trên nhánh $(-\infty ;-1)$ hàm không có giá trị nhỏ nhất, trên nhánh $(-1;+\infty )$ giá trị nhỏ nhất bằng $2$, nên hàm số không có GTNN bằng $-10$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1203: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x-3+\frac{9}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$ nhưng hàm gián đoạn tại $x=-1$, nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-4;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(-4)=-10$ là cực đại trên nhánh $(-\infty ;-1)$; cực tiểu trên nhánh $(-1;+\infty )$ là $f(2)=2$. Hàm số không có GTNN bằng $-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua điểm $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $x=2$. Xét $y=\frac{x-2}{x-1}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên có TCĐ $x=1$; bậc tử bằng bậc mẫu nên có TCN $y=\frac{1}{1}=1$; tại $x=0$ có $y=\frac{-2}{-1}=2$; $y=0\iff x=2$. Tất cả khớp với hình vẽ. Hàm ở D cho $y(0)=-2$, không khớp; B và C là đa thức không có tiệm cận. Đáp án A, trùng đáp án nguồn (mã 1203, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $x=2$. Xét $y=\frac{x-2}{x-1}$: tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$; ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên có TCĐ $x=1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên có TCN $y=1$; $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$; $y=0\iff x=2$. Tất cả khớp với hình vẽ. Các đáp án khác: A và C là đa thức (không có tiệm cận), D có $y(0)=-2$ và cắt trục hoành tại $x=-2$ (không khớp). Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-2x+6}{x+1}=x-3+\frac{9}{x+1}$ (với $x\ne -1$).
a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-(x-3)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x+1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$. Đúng.
d) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=2$ hoặc $x=-4$. Trên khoảng $(-1;+\infty )$, $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$: $f(2)=\frac{4-4+6}{3}=2$. Trên khoảng $(-\infty ;-1)$, $x=-4$ là điểm cực đại với $f(-4)=\frac{16+8+6}{-3}=-10$. Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $2$ (không phải $-10$; $-10$ là giá trị lớn nhất trên nhánh trái). Sai.
c) Trên khoảng $(-4;2)$ có điểm gián đoạn $x=-1$; hơn nữa $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-4;-1)$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;2)$, nên hàm số không nghịch biến trên $(-4;2)$. Sai.
Đối chiếu bảng đáp án mã đề 1201, Phần II câu 3: DSSD — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=x-3+\frac{9}{x+1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{9}{x+1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $f(2)=2$; $f(-4)=-10$ là giá trị lớn nhất trên nhánh $(-\infty ;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=-1\in (-4;2)$ và đồng biến trên $(-1;2)$ vì $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (-1;2)$, nên không nghịch biến trên $(-4;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp: $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+6)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị hàm bậc ba: hai nhánh đi lên nên $a>0$. Điểm cực đại có hoành độ $x_1<0$, điểm cực tiểu có hoành độ $x_2>0$. y' = 3ax²+2bx+c có hai nghiệm $x_1,x_2$ với $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp đáp án D (cũng trùng với bảng đáp án mã đề 1201: câu 9 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận ngang là $y=1$, đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ và cắt trục hoành tại $(1;0)$. Xét $y=\frac{x-1}{x+1}$: có TCĐ $x=-1$, TCN $y=1$; tại $x=0$ thì $y=-1$; tại $x=1$ thì $y=0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có TCĐ $x=1$, TCN $y=2$; B là hàm bậc ba không có tiệm cận; C có TCĐ $x=2$, TCN $y=x+3$ — đều loại. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Đề 2, Câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=2$: $y=\frac{4+2+1}{2-1}=7$, nên $M(2;7)$ thuộc đồ thị. Với $N(2;-1)$: $y=7\ne -1$. Với $P(3;1)$: $y=\frac{9+3+1}{2}=\frac{13}{2}\ne 1$. Với $Q(1;7)$: $x=1$ làm mẫu số bằng 0, hàm không xác định. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 12: A).

Đáp án chính thức (bảng Hướng dẫn chấm, Đề 2): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nghịch biến trên mỗi khoảng, cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi khoảng xác định; $y(0)=-1<0$ — tất cả phù hợp hình vẽ. A có tiệm cận ngang $y=2$ nên loại; C có tiệm cận đứng $x=2$ nên loại; D là hàm bậc ba nên loại. Vậy đáp án là B, trùng đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ (điều kiện $x\ne -1$):
- $M(-2;-3)$: $y=\frac{4-2+1}{-2+1}=\frac{3}{-1}=-3$ → thuộc đồ thị.
- $N(2;4)$: $y=\frac{4+2+1}{3}=\frac{7}{3}\ne 4$.
- $P(3;5)$: $y=\frac{9+3+1}{4}=\frac{13}{4}\ne 5$.
- $Q(-1;7)$: $x=-1$ làm mẫu số bằng 0, không xác định.
Vậy điểm thuộc đồ thị là $M(-2;-3)$, khớp với đáp án A trong bảng hướng dẫn chấm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(0)=1\Rightarrow d=1$; điểm $(0;1)$ là điểm cực tiểu nên $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Đồ thị đi qua $(-2;1)$ (dấu gạch ngang chỉ trên hình) và đi qua điểm $(-1;2)$ (hai đường đứt nét chỉ tới điểm có hoành độ $-1$, tung độ $2$ trên đường cong — đây là điểm thuộc đồ thị, không phải điểm cực đại). Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+1$: $f(-2)=1\Rightarrow -8a+4b=0\Rightarrow b=2a$; $f(-1)=2\Rightarrow -a+b=1\Rightarrow a=1,b=2$. Vậy $f(x)=x^3+2x^2+1$, $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=3x(x+\frac{4}{3})$, nên điểm cực đại thực sự của hàm số là $x=-\frac{4}{3}$ (giá trị $\approx 2,19$), điểm cực tiểu $x=0$. a) Hàm đạt cực tiểu tại $x=0$ (không phải $x=1$) → Sai. b) $f(0)=1$ nên đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;1)$ → Đúng. c) Hàm đồng biến trên $(-\infty ;-\frac{4}{3})$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-\frac{4}{3};0)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$ → Sai. d) $2a+3b+c=2+6+0=8\ne 9$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu của đồ thị là $(0;1)$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=d=1$ nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x+\frac{4}{3})$ đổi dấu tại $x=-\frac{4}{3}$, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1,b=2,c=0$ ta có $2a+3b+c=8\ne 9$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x+7}{x+1}=x-2+\frac{9}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. a) $y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=2$, hai điểm này đều là điểm cực trị (đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có 2 cực trị) → Đúng. b) $y^{\prime }<0\iff (x+1{)}^2<9\iff -4<x<2$, nên hàm nghịch biến trên $(-4;-1)$ → Đúng. c) Vì $y=x-2+\frac{9}{x+1}$ với $\frac{9}{x+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận xiên là $y=x-2$ → Đúng. d) Trên $(-\infty ;-1)$, hàm đồng biến trên $(-\infty ;-4)$, nghịch biến trên $(-4;-1)$, nên GTLN đạt tại $x=-4$: $y(-4)=\frac{16+4+7}{3}=9$. GTLN bằng 9, không phải 3 → Sai. Kết quả ĐĐĐS khớp đáp án chính thức (bảng Hướng dẫn chấm, Phần II Câu 2, ĐỀ 2: ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=0\iff x=\pm 2$, hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ khi $-4<x<2$, do đó nghịch biến trên $(-4;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-2+\frac{9}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ hàm đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $y(-4)=9$, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$ (nhánh phải đi qua điểm gần $(2;0)$, nhánh trái đi qua $(0;-2)$). Tâm đối xứng của hyperbol là giao hai tiệm cận: $I(1;-1)$. Kiểm tra: hàm số dạng $y=\frac{1}{x-1}-1$ thỏa các đặc điểm trên đồ thị. Vậy tâm đối xứng là $(1;-1)$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$. a) Điều kiện xác định: $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$: đúng. b) $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$; tuy nhiên tập $(-\infty ;-1)\cup (-1;+\infty )$ không phải là một khoảng và hàm không đồng biến trên tập hợp đó (ví dụ $f(-2)=5>-1=f(0)$), nên mệnh đề b) sai. c) $y=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$, đồ thị là hyperbol nhận giao điểm hai tiệm cận $x=-1$, $y=2$ làm tâm đối xứng, tức $I(-1;2)$: đúng. d) Trên đoạn $[0;2]$ hàm liên tục và đồng biến nên $\underset{[0;2]}{\mathrm{Max}}y=f(2)=\frac{4-1}{3}=1$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $x+1\ne 0$, tức $x\ne -1$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, nhưng không đồng biến trên hợp của hai khoảng (không phải là khoảng); ví dụ $f(-2)=5>-1=f(0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=2-\frac{3}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, nên đồ thị nhận $I(-1;2)$ làm tâm đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$ hàm đồng biến nên giá trị lớn nhất tại $x=2$: $f(2)=\frac{3}{3}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có cực đại tại $(-2;4)$ và cực tiểu tại $(2;-4)$ (theo hình vẽ). Tâm đối xứng của đồ thị là trung điểm của hai điểm cực trị này: $\left(\frac{-2+2}{2};\frac{4+(-4)}{2}\right)=(0;0)$. Vậy chọn D.