Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$. a) TXĐ: $x\ne 1$ nên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, đúng. b) $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, đúng. c) Đồ thị $y=2+\frac{1}{x-1}$ có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;2)$, không phải $I(2;1)$, sai. d) Trên $[-2;0]$ hàm nghịch biến nên $\underset{[-2;0]}{\mathrm{Max}}y=y(-2)=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}\ne 1$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $x-1\ne 0$, tức $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $x=1$, $y=2$ tức $I(1;2)$, không phải $(2;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-2;0]$ nên Max $=y(-2)=\frac{5}{3}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$ (đồ thị đi qua điểm $(2;0)$, nhánh trái đi qua $(0;-2)$, hai nhánh đối xứng qua giao của hai tiệm cận). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của hai đường tiệm cận, nên tâm đối xứng là $(1;-1)$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$ nên $d=1$. Phép chia đa thức cho $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}$: $y=ax+(b-a)+\frac{c-b+a}{x+1}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+(b-a)$. Đồ thị có cực tiểu tại $(-2;4)$: $y^{\prime }=a-\frac{c-b+a}{(x+1{)}^2}=0$ tại $x=-2$ cho $c-b+a=a$, tức $b=c$. Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $c=0$, suy ra $b=0$. Khi đó $y(-2)=\frac{4a}{-1}=-4a=4\Rightarrow a=-1$. Vậy $a=-1,b=0,c=0,d=1$, do đó $a+b+c+d=0$. Kiểm tra: tiệm cận xiên $y=-x+1$, hàm số $y=\frac{-x^2}{x+1}$ có cực tiểu $(-2;4)$ và đi qua $O$, khớp hình vẽ; kết quả trùng đáp án nguồn là $0$.

Theo bảng đáp án chính thức của đề (mã đề 1020, trang 13), câu 5 có đáp án D. Hình vẽ cho đồ thị hàm số bậc ba đi qua gốc tọa độ O, có điểm uốn tại (1;-2) và cực tiểu tại (2;-4), phù hợp với hàm số $y=x^3-3x^2$ (có $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=0$, $y(2)=-4$, điểm uốn tại $x=1$, $y(1)=-2$).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, nhánh phải đạt cực tiểu bằng 2 tại $x=0$. Xét phương án A: $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$ (với $x\ne -1$). Khi đó $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; tại $x=0$ hàm đạt cực tiểu $y=2$, tại $x=-2$ hàm đạt cực đại $y=-3$, khớp với đồ thị. Các phương án B, C, D có tiệm cận đứng hoặc tiệm cận xiên khác ($x=2$ cho C, D) nên loại. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (đề 1020, câu 7: A).

a) Đúng: đồ thị đi qua $(0;1)$ nên $d=1$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;1)$.
b) Sai: hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
c) Sai: trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến.
d) Đúng: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$; cực tiểu tại $x=0$ nên $c=0$; đồ thị qua $(0;1)$ nên $d=1$; đồ thị qua $(-1;2),(-2;1)$ nên $-a+b+1=2$ và $-8a+4b+1=1$, suy ra $\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}$. Vậy $a=1,b=2,c=0,d=1$: có ba số dương.
a) Đúng. Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ nên $d=1$, tức đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại điểm có tọa độ $(0;1)$.
b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
c) Sai. Trên khoảng $(-\infty ;-1)$ hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến.
d) Đúng. Ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ nên $c=0$. Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ nên $d=1$. Đồ thị đi qua các điểm $(-1;2),(-2;1)$ nên $-a+b+1=2$ và $-8a+4b+1=1$. Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}-a+b=1\\ -8a+4b=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}$. Vậy $a=1,b=2,c=0,d=1$. Trong 4 số $a,b,c,d$ có ba số dương.

Đáp án: 0. Dựa vào đồ thị ta có tiệm cận đứng $x=-1$ suy ra $d=1$. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ suy ra $c=0$. Hàm số có dạng $y=\frac{a{x}^2+bx}{x+1}$ có đồ thị đi qua điểm $(-2;4)$ suy ra $4a-2b=-4$ (1). $$y^{\prime }=\frac{(2ax+b)(x+1)-\left(a{x}^2+bx\right)}{(x+1{)}^2}=\frac{a{x}^2+2ax+b}{(x+1{)}^2}$$ đồ thị hàm số có điểm cực đại $O(0;0)$. Suy ra phương trình $y^{\prime }=0$ có nghiệm $x=0$ suy ra $b=0$ (2). Thay (2) vào (1) ta được $a=-1$. Hàm số $y=\frac{-x^2}{x+1}$. Do đó $a+b+c+d=-1+0+0+1=0$.

Chọn A. Dựa vào đồ thị suy ra hàm số cần tìm là hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a>0$ nên loại C, D. Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm $(0;0)$, $(2;-4)$ nên chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$. a) Tập xác định: $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → sai. b) $y^{\prime }=\frac{3(x+1)-(3x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$ → đúng. c) Tiệm cận đứng là $x=-1$ (không phải $x=1$), tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$ → vì nửa đầu sai nên khẳng định sai. d) Trên đoạn $[0;3]$: $f(0)=-2$, $f(3)=\frac{7}{4}=1,75$; hàm đồng biến nên $\max =\frac{7}{4}$, $\min =-2$, tổng $=\frac{7}{4}-2=-\frac{1}{4}=-0,25$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ vì mẫu số $x+1=0$ khi $x=-1$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(x+1)-(3x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2},\forall x\ne -1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-1$ (nghiệm của mẫu), chỉ có tiệm cận ngang $y=3$ là đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $[0;3]$ vì $y^{\prime }>0$. Giá trị lớn nhất $f(3)=\frac{7}{4}=1,75$, giá trị nhỏ nhất $f(0)=-2$. Tổng $=1,75-2=-0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị của hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ là một đường cong nhẵn (hyperbolic không, parabol không) đi từ $-\infty$ đến $+\infty$ (hoặc ngược lại), có dạng chữ S với hai điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu) và có tâm đối xứng. Xét các hình: A là parabol (đồ thị hàm bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$); B là hyperbol (đồ thị hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$); D là đồ thị hàm phân thức có tiệm cận đứng; chỉ có hình C là đường cong bậc ba có hai cực trị dạng chữ S, đúng là đồ thị của hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 201, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số cắt Ox tại ba điểm $x=-1,x=1,x=3$, có $f(0)=-2$ và điểm cao nhất (cực đại) tại $x=2$ với $f(2)=2$. Vậy $f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)$. Với $f(0)=-2$: $a(1)(-1)(-3)=3a=-2\Rightarrow a=-\frac{2}{3}$. Suy ra $f(x)=-\frac{2}{3}(x^3-3x^2-x+3)=-\frac{2}{3}{x}^3+2x^2+\frac{2}{3}x-2$, tức $a=-\frac{2}{3},b=2,c=\frac{2}{3},d=-2$.

a) $f^{\prime }(x)=-2x^2+4x+\frac{2}{3}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Vì $a<0$, hàm đạt cực đại tại $x=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2,15\ne 1$ (trên đồ thị điểm cực đại rõ ràng ở $x=2$). → Sai.

b) Đồ thị cắt Ox tại $x=1$ (thay $x=1$: $f(1)=0$), tọa độ $(1;0)$. → Đúng.

c) Hàm đồng biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị $\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}};1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\approx (-0,15;2,15)$, không đồng biến trên toàn $(0;3)$ (trên $(2,15;3)$ hàm nghịch biến). → Sai.

d) $3a+2b+d=3\left(-\frac{2}{3}\right)+2(2)+(-2)=-2+4-2=0\ne 7$. → Sai.

Kết quả S-Đ-S-S khớp với đáp án chính thức mã 201 (SDSS). Lưu ý: nhận xét trong dữ liệu lỗi (dùng các điểm $f(1)=-2,f(3)=0$) là sai vì theo đồ thị $f(1)=0$ (đồ thị cắt Ox tại $x=1$) và $f(3)=0$ là nghiệm thứ ba, không phải điểm với tung độ tự do; khi giải đúng hệ từ ba nghiệm $-1,1,3$ và $f(0)=-2$, không có mâu thuẫn với đáp án.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại tại $x=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2,15$ (điểm cao nhất trên đồ thị ở $x=2$), không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt Ox tại $x=-1,x=1,x=3$; trong đó có điểm $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ đồng biến trên $\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}};1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\approx (-0,15;2,15)$, nên không đồng biến trên toàn $(0;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-\frac{2}{3},b=2,d=-2$ thì $3a+2b+d=-2+4-2=0\ne 7$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Điểm cực tiểu tại gốc $O(0;0)$ nên $d=0$ và $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. Điểm cực đại tại $(-4;1)$ nên $f^{\prime }(-4)=0$: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx=3ax(x+4)\Rightarrow b=6a$. Kết hợp $f(-4)=1$: $a(-64)+6a(16)=32a=1\Rightarrow a=\frac{1}{32}$. Vậy $y=\frac{1}{32}(x^3+6x^2)$. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang $2,6$ dặm thì $x=-2,6$: $y=\frac{1}{32}\left((-2,6{)}^3+6\cdot (2,6{)}^2\right)=\frac{-17,576+40,56}{32}=\frac{22,984}{32}\approx 0,71825\approx 0,72$ dặm. Kết quả khớp đáp án nguồn 0,72.

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 28: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=-1$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và đi qua điểm $(-3;-2)$. Xét $y=\frac{x+1}{-x-2}$ (đáp án C): mẫu số $-x-2=0\iff x=-2$ nên tiệm cận đứng $x=-2$; khi $x\to \pm \infty$, $y\to \frac{1}{-1}=-1$ nên tiệm cận ngang $y=-1$; $y=0\iff x=-1$; tại $x=-3$: $y=\frac{-3+1}{3-2}=-2$, khớp điểm $(-3;-2)$. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=2$, cắt trục hoành tại $x=0$; B có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$; D có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=-1$ nhưng cắt trục hoành tại $x=1$ và tại $x=-3$ có $y=\frac{4}{-1}=-4\ne -2$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án của đề (mã 201, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ luôn có tâm đối xứng tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $f^{\prime \prime }(x)=0$. Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$. Giải $6ax+2b=0$ cho $x=-\frac{b}{3a}$. Vậy tâm đối xứng là $I\left(-\frac{b}{3a};f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: cực đại tại $(-1;1)$, cực tiểu tại $(1;-3)$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;-1)$ nên $d=-1$. Ta có hệ: $f(1)=a+b+c-1=-3\Rightarrow a+b+c=-2$; $f(-1)=-a+b-c-1=1\Rightarrow -a+b-c=2$. Cộng hai phương trình được $b=0$, suy ra $a+c=-2$. Vì $f^{\prime }(1)=3a+2b+c=0\Rightarrow c=-3a$, nên $a-3a=-2\Rightarrow a=1,c=-3$. Vậy $f(x)=x^3-3x-1$ (kiểm tra $f(-1)=-1+3-1=1$ đúng).
a) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (điểm $(1;-3)$): Đúng.
b) Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;-1)$, không phải $(0;1)$: Sai.
c) $f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ với $x\in (-1;1)$, do đó hàm nghịch biến trên $(0;1)$: Đúng.
d) $2a+3b+c=2+0-3=-1\ne 8$: Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực tiểu $(1;-3)$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $d=f(0)=-1$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;-1)$ chứ không phải $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3-3x-1$, $f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ trên $(-1;1)$, nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ hệ phương trình thu được $a=1,b=0,c=-3$, nên $2a+3b+c=2+0-3=-1\ne 8$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Vì máy bay tiếp đất tại gốc tọa độ $O(0;0)$ là điểm cực tiểu nên $f(0)=0\Rightarrow d=0$ và $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$.
Điểm cực đại $(-4;1)$: $f(-4)=-64a+16b=1$ và $f^{\prime }(-4)=48a-8b=0\Rightarrow b=6a$. Suy ra $-64a+96a=32a=1\Rightarrow a=\frac{1}{32},b=\frac{3}{16}$.
Vậy $f(x)=\frac{x^3}{32}+\frac{3x^2}{16}$ với $x\in [-4;0]$.
Trong bài, "vị trí hạ cánh" là nơi máy bay tiếp đất, tức gốc tọa độ $O(0;0)$ (điểm cực tiểu). Máy bay đang hạ cánh di chuyển từ $x=-4$ về $x=0$, nên khi cách vị trí hạ cánh (gốc tọa độ) theo phương ngang $1,6$ dặm thì hoành độ của máy bay là $x=-1,6$.
Khi đó độ cao (khoảng cách tới mặt đất) là:
$f(-1,6)=\frac{(-1,6{)}^3}{32}+\frac{3\cdot (-1,6{)}^2}{16}=\frac{-4,096}{32}+\frac{3\cdot 2,56}{16}=-0,128+0,48=0,352$.
Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: $0,35$ dặm, khớp với đáp án nguồn $0,35$ (bảng đáp án, Mã đề 101, Phần III, Câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có đồ thị là đường cong hình chữ S đi qua toàn bộ mặt phẳng, không có tiệm cận và có hai điểm cực trị (hoặc một điểm uốn nếu $y^{\prime }=0$ có nghiệm kép). Xét các hình: - Hình A: đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, đây là đồ thị của hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, không phải hàm bậc ba. - Hình B: đồ thị là đường cong bậc ba đi từ $-\infty$ lên $+\infty$, có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, đúng dạng đồ thị hàm trùng phương dạng hàm bậc ba với $a>0$. - Hình C: đồ thị là parabol (hàm bậc hai), không phải hàm bậc ba. - Hình D: đồ thị có tiệm cận, là đồ thị hàm phân thức, không phải hàm bậc ba. Vậy chỉ có hình B là đồ thị của hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Kết quả này trùng với đáp án đã cho là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 6: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đồ thị cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-2)$. Xét $y=\frac{x-2}{-x+1}$: mẫu số $-x+1=0\iff x=1$ nên tiệm cận đứng là $x=1$; tiệm cận ngang $y=\frac{1}{-1}=-1$; $y=0\iff x=2$; $y(0)=\frac{-2}{1}=-2$. Tất cả khớp với đồ thị. Loại các phương án khác: A có $y(0)=1$ và không có giao điểm $(2;0)$; B có tiệm cận đứng $x=-1$; D có tiệm cận ngang $y=1$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba có cực đại tại điểm $(1;3)$ và cực tiểu tại điểm $(-1;-1)$, nên loại ngay C và D (đồ thị hàm phân thức có tiệm cận). Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y(1)=-1+3+1=3$ (cực đại vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm), $y(-1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Xét $y=x^3-3x+1$ thì cực đại tại $x=-1$ với $y=3$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=-1$, ngược với hình. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$, nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ về gần $y=1$ khi $x\to +\infty$, tức hàm số nghịch biến trên $(2;+\infty )$. Do đó khẳng định A (hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$) là sai. Các khẳng định B, C, D đều đúng: tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(2;1)$, tiệm cận ngang $y=1$, tiệm cận đứng $x=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).