Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đáp án bảng mã đề 2101, câu 15: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai (DDSD). Lưu ý: chữ "Đ." in sẵn sau mệnh đề b) trong bản gốc đề, có thể là đáp án bị in lẫn vào đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba có cực tiểu tại $(-1;-1)$ và cực đại tại $(1;3)$. Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$. Khi đó $y(-1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu, vì $y^{\prime \prime }=-6x>0$ tại $x=-1$) và $y(1)=-1+3+1=3$ (cực đại, vì $y^{\prime \prime }=-6x<0$ tại $x=1$). Hoàn toàn khớp với hình vẽ. Các phương án B, D là hàm phân thức (có tiệm cận), phương án C $y=x^3-3x+1$ có cực đại tại $x=-1$ với giá trị $3$ và cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-1$, ngược với hình vẽ. Đáp án khớp với mã đề 2101: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(2;1)$ → A, C, D đúng. Trên khoảng $(2;+\infty )$, nhánh đồ thị đi từ $+\infty$ xuống tiến gần $y=1$, tức hàm số nghịch biến, nên khẳng định B 'hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$' là sai. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình 2: với $x>-1$ đồ thị trùng nhánh phải của $y=\frac{x+1}{x+2}$ (tiệm cận ngang $y=1$, tiệm cận đứng $x=-2$); với $x<-1$ đồ thị nằm dưới trục hoành, có tiệm cận ngang $y=-1$ và khi $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$. Kiểm tra $y=\frac{|x+1|}{x+2}$: khi $x\ge -1$ thì $y=\frac{x+1}{x+2}$ (giống hình 1); khi $x<-1$ thì $y=-\frac{x+1}{x+2}$, có tiệm cận ngang $y=-1$ và $x\to -2^{-}$ cho $y\to -\infty$, đúng như hình 2. Các phương án khác: A cho $y\ge 0$ mọi nơi (loại); C là hàm chẵn, đối xứng qua trục $Oy$ (loại); D với $x<-2$ thì $y=-\frac{x+1}{x+2}$ có tiệm cận ngang $y=-1$ nhưng khi $x\to -2^{-}$ thì $y\to +\infty$, không khớp hình 2 (loại). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $y=\frac{2x^2+3x+10}{x+2}=2x-1+\frac{12}{x+2}$ (kiểm tra: $(x+2)(2x-1)+12=2x^2+3x+10$). Để $y$ nguyên với $x$ nguyên, $x\ne -2$, cần $(x+2)\mid 12$. Các ước của 12 là $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$, tức có 12 giá trị của $x+2$, ứng với 12 giá trị nguyên của $x$ (loại $x+2=0$ không là ước). Vậy có 12 điểm có tọa độ nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một đường hypebol có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$. Xét các phương án: $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ có ${\lim }_{x\to -1}=\pm \infty$ (TCĐ $x=-1$), ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=1$ (TCN $y=1$), và $f(0)=\frac{-1}{1}=-1$ khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án B $\frac{2x-1}{x+1}$ có tiệm cận ngang $y=2$ (loại); C có TCĐ $x=0$ (loại); A là hàm bậc ba (loại). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x+2}{x-1}=x+2+\frac{4}{x-1}$.
a) ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$ → Đúng.
b) So sánh với $ax+b+\frac{c}{x-1}$, tiệm cận xiên là $y=x+2$ → Đúng.
) $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Trên $(-\infty ;-1)$ hàm đồng biến, $(-1;3)$ nghịch biến, $(3;+\infty )$ đồng biến, nên $x=-1$ là điểm cực đại với $y(-1)=-1$, còn điểm cực tiểu là $B(3;7)$ (vì $y(3)=\frac{9+3+2}{2}=7$). Mệnh đề nói cực tiểu $A(-1;-1)$ → Sai.
d) Đường thẳng qua $(-1;-1)$ và $(3;7)$: $y=2x+1$. Giao Ox tại $(-\frac{1}{2};0)$, Oy tại $(0;1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì mẫu số triệt tiêu tại x=1 và lim y = +∞ khi x→1⁺, đồ thị có tiệm cận đứng x=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
y = x + 2 + 4/(x−1), nên tiệm cận xiên là y = x + 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
y' = 1 − 4/(x−1)² = 0 cho x = −1 và x = 3. Hàm đồng biến trên (−∞;−1), nghịch biến trên (−1;3), đồng biến trên (3;+∞), nên x = −1 là cực đại (A(−1;−1)) và điểm cực tiểu là B(3;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua hai điểm cực trị (−1;−1) và (3;7) là y = 2x + 1, cắt hai trục tại (−1/2;0) và (0;1), diện tích tam giác = 1/2 · 1/2 · 1 = 1/4.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{6x-3-6x+2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$. Mệnh đề đưa ra $y^{\prime }=\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$ là sai.

b) Trên tập xác định, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không đồng thời nghịch biến trên cả hai khoảng. Mệnh đề nói hàm tăng là sai.

c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ nên tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$: đúng. ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$: đúng. Mệnh đề đúng.

d) Với $x=0$: $y=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }<0$ trên tập xác định, hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ (tiệm cận ngang) và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ (tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{-1}{-1}=1\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$ nên $-c=2\Rightarrow c=-2$. Tiệm cận ngang $y=1$ nên $a=1$. Kiểm tra giao với trục tung: $y(0)=\frac{3}{c}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$, khớp với hình vẽ (điểm $-\frac{3}{2}$ trên trục tung). Vậy $T=a-2c=1-2(-2)=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại bên trái trục tung và cực tiểu bên phải trục tung. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Tại $x=-1$ hàm đạt cực đại, tại $x=1$ đạt cực tiểu, và $y(0)=0$ nên đồ thị đi qua gốc tọa độ — khớp với hình vẽ. Các phương án A, B có $y(0)\ne 0$ (A qua gốc nhưng cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$ và dạng đi xuống bên phải không khớp; B cắt trục tung tại $y=1$), phương án C là hàm lẻ $y=-x^3+3x$ có cực tiểu bên trái và cực đại bên phải, ngược với hình vẽ. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên, nên loại A (TCĐ $x=-2$ nhưng là tiệm cận ngang $y=-2$, không có TCX), loại B (TCĐ $x=2$), loại C (TCĐ $x=-3$, tiệm cận ngang $y=1$). Xét D: $y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=2x+1+\frac{2}{x+2}$, có TCĐ $x=-2$, TCX $y=2x+1$; $y^{\prime }=2-\frac{2}{(x+2{)}^2}=0\iff x=-3$ hoặc $x=-1$; $y(-3)=-7$ (cực tiểu nhánh trái), $y(-1)=1$ (cực tiểu nhánh phải) — khớp hoàn toàn với đồ thị (các giá trị $1,-3,-7$ và đường tiệm cận xiên trên hình). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi xuống rồi lên (đi lên vô cực khi x→−∞... thực tế khi x→−∞ thì y→−∞? Xét kỹ: đồ thị có điểm cực tiểu tại (0;−4), đi qua (1;−2) và cực đại tại (2;0). Xét $y=-x^3+3x^2-4$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=-4$ là cực tiểu, $y(2)=-8+12-4=0$ là cực đại, và $y(1)=-1+3-4=-2$, khớp hoàn toàn với đồ thị. Loại A, B vì là hàm phân thức có tiệm cận (đồ thị không có). Loại D vì $y=x^3-3x^2+4$ có $y(0)=4$ (cực đại) và $y(2)=0$ (cực tiểu), ngược với đồ thị. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 11 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x-1+\frac{4}{x-1}$ có điều kiện $x\ne 1$ nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, do đó a) Sai. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, b) Đúng. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$; trên $(-1;3)$ (loại $x=1$) ta có $y^{\prime }<0$ trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng hàm không liên tục tại $x=1$, nên không thể nói nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$, c) Sai. Tâm đối xứng của $(C)$ là giao của hai tiệm cận $x=1$ và $y=x-1$, tức $I(1;0)$, không phải $I(1;1)$, d) Sai. Kết quả: a) S, b) Đ, c) S, d) S, khớp đáp án mã đề 1201 (SDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có mẫu $x-1$ nên yêu cầu $x\ne 1$; tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=x-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. Trên $(-1;3)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng hàm số không xác định tại $x=1$ nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của $(C)$ là giao điểm của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x-1$, tức là $I(1;0)$, không phải $I(1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ (khớp mẫu số $x-1$), tiệm cận ngang là $y=-1$ nên $a=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(2;0)$ nên $\frac{2a-b}{2-1}=0\Rightarrow b=2a=-2$. Khi đó $a^2-8b=(-1{)}^2-8(-2)=1+16=17$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (17).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: nhánh trái đi xuống và nhánh phải đi lên nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ nên $d>0$. Hàm số có cực đại tại $x_1<0$ và cực tiểu tại $x_2>0$, do đó $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu: $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, vì $a>0$ nên $c<0$. Tổng $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$ (vì $a>0$) nên $b<0$. Vậy chỉ có $a$ và $d$ dương, tức có 2 số dương trong các số $a,b,c,d$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$ vào $y=x^3+2x-8$ được $y=0+0-8=-8$. Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $-8$, tương ứng phương án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 10 là hàm bậc ba đi lên hai đầu, có cực đại tại $(0;2)$ và cực tiểu tại $(2;-2)$.
- Loại A, B vì đồ thị không có tiệm cận (A, B là hàm phân thức có tiệm cận đứng $x=0$ hoặc $x=1$).
- Xét C: $y=-x^3+3x^2+2$, $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\Rightarrow x=0,x=2$; nhưng $y(2)=-8+12+2=6\ne -2$, và $a<0$ nên nhánh trái đi lên, phải đi xuống — trái với đồ thị.
- Xét D: $y=x^3-3x^2+2$, $y(0)=2$; $y^{\prime }=3x^2-6x=0\Rightarrow x=0$ (cực đại $y=2$), $x=2$ (cực tiểu $y=8-12+2=-2$); $a>0$ nên hai nhánh đi lên vô cực, hoàn toàn khớp đồ thị.
Đáp án khớp với đáp án nguồn (Mã đề 121, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=1$ và đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=2$.

- $f(0)=d=1$; $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, cực tiểu tại $x=0$ nên $c=0$; cực đại tại $x=-1$ nên $3a-2b=0$.
- $f(-1)=-a+b+d=2\Rightarrow -a+b=1$. Kết hợp $b=\frac{3a}{2}$ ta được $a=2,b=3,c=0,d=1$.

a) Đúng: đồ thị có điểm cực tiểu tại gốc tọa độ $x=0$.
b) Sai: đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$, không phải $(0;2)$.
c) Đúng: với $a=2>0$, hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$ (khoảng từ điểm cực tiểu).
d) Sai: $2a+b-c=2\cdot 2+3-0=7\ne 5$.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực tiểu tại $x=0$ (điểm thấp nhất gần gốc, $f(0)=1$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(0)=d=1$, đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$, không phải $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực tiểu tại $x=0$ với $a>0$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $d=1$, $c=0$, $3a-2b=0$, $-a+b=1$ nên $a=2,b=3$. Khi đó $2a+b-c=7\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=0$ (trục $Oy$) và tiệm cận ngang $y=1$ (đường đứt nét ngang qua mức $y=1$). Tâm đối xứng của đồ thị là giao hai tiệm cận: $I(0;1)$, nên $a=0$, $b=1$, suy ra $S=a+b=0+1=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 121: đáp số 1).