Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ (nên loại C, D vì chúng có tiệm cận đứng $x=2$) và tiệm cận xiên có hệ số góc dương. Xét phương án B: $y=\frac{x^2+3x+1}{x+2}=x+1+\frac{-1}{x+2}$, có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, khớp với đồ thị. Phương án A: $y=\frac{-x^2+x-1}{x+2}=-x-1+\frac{1}{x+2}$ có tiệm cận xiên $y=-x-1$ (hệ số góc âm), không khớp. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$. a) $y^{\prime }=0$ khi $x=-4$ hoặc $x=2$; đổi dấu của $y^{\prime }$: dương khi $x<-4$, âm khi $-4<x<-1$, âm khi $-1<x<2$, dương khi $x>2$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=-4$ → Đúng. b) Hàm có hai cực trị: cực đại $y_{CD}=y(-4)=\frac{16+12+5}{-3}=-11$, cực tiểu $y_{CT}=y(2)=\frac{4-6+5}{3}=1$. Vì $-11<1$ nên $y_{CD}<y_{CT}$ → Đúng. c) $x=-1$ làm mẫu bằng 0 và ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$ (tử tại $x=-1$ bằng $9\ne 0$), nên tiệm cận đứng $x=-1$ → Đúng. d) Xét các điểm nguyên: $x=0\Rightarrow y=5$; $x=-4\Rightarrow y=-11$; $x=2\Rightarrow y=1$; $x=-2\Rightarrow y=\frac{4+6+5}{-1}=-15$; $x=-3\Rightarrow y=-\frac{23}{2}$; $x=1\Rightarrow \frac{3}{2}$; $x=3\Rightarrow \frac{5}{4}$; $x=-5\Rightarrow -\frac{45}{4}$; với $|x|\ge 6$ thì $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}=x-4+\frac{9}{x+1}$ không nguyên vì $0<|9/(x+1)|<1$ không nguyên. Vậy có 4 điểm nguyên: $(0;5),(-4;-11),(2;1),(-2;-15)$, không phải 3 → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$ đổi dấu từ + sang − khi qua $x=-4$, nên hàm đạt cực đại tại $x=-4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có hai cực trị: $y_{CD}=y(-4)=-11$, $y_{CT}=y(2)=1$, nên $y_{CD}<y_{CT}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tử số tại $x=-1$ bằng 9 khác 0 và mẫu triệt tiêu, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các điểm nguyên trên đồ thị: $(0;5),(-4;-11),(2;1),(-2;-15)$ — có 4 điểm chứ không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-2x+3}{x+2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Phép chia: $x^2-2x+3=(x+2)(x-4)+11$ nên $y=x-4+\frac{11}{x+2}$. a) $y^{\prime }=\frac{x^2+4x-7}{(x+2{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x^2+4x-7=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=-2\pm \sqrt{11}$ (đều khác $-2$), đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có hai điểm cực trị → Đúng. b) Tại $x=-2\pm \sqrt{11}$, $y=x-4+\frac{11}{x+2}=-6\pm \sqrt{11}\pm \sqrt{11}=-6\pm 2\sqrt{11}$, không phải số nguyên; không có điểm nào khác có tọa độ nguyên (các điểm cực trị là ứng viên duy nhất, và $y(0)=3/2$, $y(1)=2/3$, $y(2)=1$ nhưng $x=2$ không phải cực trị) → Sai. c) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=-2$ → Đúng. d) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x-4)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{11}{x+2}=0$ nên tiệm cận xiên $y=x-4$ → Đúng. Kết quả ĐSĐĐ khớp bảng hướng dẫn chấm mã đề 001, Phần II, Câu 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x^2+4x-7}{(x+2{)}^2}=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=-2\pm \sqrt{11}$ và đạo hàm đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên đồ thị có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị có tọa độ $\left(-2\pm \sqrt{11};-6\pm 2\sqrt{11}\right)$, đều không nguyên; các điểm khác trên đồ thị cũng không cho cặp tọa độ nguyên cùng là điểm đặc biệt của đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x+3}{x+2}=\pm \infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x-4+\frac{11}{x+2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{11}{x+2}=0$ nên $y=x-4$ là tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{-x^2-3x+4}{x-3}=-x-6-\frac{14}{x-3}$ (vì $-x^2-3x+4=(x-3)(-x-6)-14$).
a) Đúng: tiệm cận xiên là $y=-x-6$.
b) Đúng: $y^{\prime }=-1+\frac{14}{(x-3{)}^2}=0\iff x=3\pm \sqrt{14}$, hai nghiệm trái dấu nên hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với $Oy$.
c) Sai: $-x^2-3x+4=0\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$, đồ thị cắt $Ox$ tại $(1;0)$ và $(-4;0)$.
d) Đúng: tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $x=3$, $y=-3-6=-9$, tức $I(3;-9)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $y=-x-6-\frac{14}{x-3}$, nên tiệm cận xiên là $y=-x-6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{14}{(x-3{)}^2}=0\iff x=3\pm \sqrt{14}$, hai hoành độ cực trị trái dấu nên hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với $Oy$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2-3x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$, đồ thị cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của $x=3$ và $y=-x-6$: $I(3;-9)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-2$ (đường màu xanh đậm), đồ thị có tiệm cận xiên và cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $2$. Xét $y=\frac{-x^2-3x+4}{x+2}$ (đáp án D): $y(0)=\frac{4}{2}=2$ phù hợp; mẫu số $x+2=0$ cho tiệm cận đứng $x=-2$ phù hợp. Chia đa thức: $-x^2-3x+4=(x+2)(-x-1)+6$, nên tiệm cận xiên là $y=-x-1$, đường thẳng này cắt trục hoành tại $x=-1$, đúng như đường thẳng tiệm cận xiên trong hình. Các phương án A, B có tiệm cận đứng $x=-2$ hoặc $x=-1$ nhưng là hàm bậc nhất trên bậc nhất (không có nhánh đi lên vô cực ở hai bên như hình với tiệm cận xiên), phương án C có tiệm cận đứng $x=-1$ (không phù hợp hình vẽ) và $y(0)=2$ nhưng tiệm cận xiên $y=-x-2$ cắt trục hoành tại $-2$, không khớp. Vậy đồ thị là của hàm số ở phương án D, trùng với đáp án ma trận đề 3102 (Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$. Từ hình vẽ (trang 6), tiệm cận đứng là $x=1$ và tiệm cận ngang là $y=2$. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận, tức $(1;2)$. Kết quả khớp với đáp án A (bảng đáp án mã đề 3102, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực đại $(-2;2)$, điểm cực tiểu $(0;-2)$ và đi qua $(-1;0)$. Xét $y=x^3+3x^2-2$: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$. Khi đó $f(-2)=-8+12-2=2$ (cực đại), $f(0)=-2$ (cực tiểu), và $f(-1)=-1+3-2=0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các hàm còn lại cho cực trị sai (ví dụ B có cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$; C, D có $a<0$ nên ngược hướng với đồ thị đi lên ở hai đầu). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x-1}{x+2}=x-4+\frac{7}{x+2}$ với tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{7}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x-3}{(x+2{)}^2}=0\Rightarrow x_{1,2}=-2\pm \sqrt{7}$. Tại $x_1=-2+\sqrt{7}$: $y_1=x_1-4+\frac{7}{x_1+2}=(-6+\sqrt{7})+\sqrt{7}=2\sqrt{7}-6$; tại $x_2=-2-\sqrt{7}$: $y_2=-6-\sqrt{7}-\sqrt{7}=-2\sqrt{7}-6$. Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm cực trị: $k=\frac{(2\sqrt{7}-6)-(-2\sqrt{7}-6)}{(-2+\sqrt{7})-(-2-\sqrt{7})}=\frac{4\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=2$. Phương trình: $y=2x+b$, thay điểm $(-2+\sqrt{7};2\sqrt{7}-6)$: $2\sqrt{7}-6=-4+2\sqrt{7}+b\Rightarrow b=-2$. Vậy đường thẳng là $y=2x-2$, cắt trục tung tại điểm có tung độ $-2\ne 2$ → Sai.

b) Từ dạng $y=x-4+\frac{7}{x+2}$, tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của $x=-2$ và $y=x-4$ tức $I(-2;-4)$, không phải $I(-2;4)$ → Sai.

c) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x-1}{x+2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$ → Đúng.

d) Hàm số không xác định tại $x=-2$ nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án nguồn (SSĐS, mã đề 3101).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai điểm cực trị $(-2\pm \sqrt{7};\pm 2\sqrt{7}-6)$; đường thẳng qua chúng có hệ số góc $2$ và phương trình $y=2x-2$, cắt trục tung tại $-2\ne 2$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $y=x-4+\frac{7}{x+2}$, tâm đối xứng là $I(-2;-4)$, không phải $(-2;4)$ nên Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x-1}{x+2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$: Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số không xác định tại $x=-2$, tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ nên Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: hai nhánh đi lên bên trái và đi xuống bên phải nên $a<0$. Đồ thị có điểm cực tiểu và điểm cực đại, cả hai đều nằm bên trái trục $Oy$, tức $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x_1<x_2<0$. Theo Viète: $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}<0$, kết hợp $a<0$ suy ra $b<0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}>0$, kết hợp $a<0$ suy ra $c<0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $d$, và tại $x=0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành (giao điểm với trục hoành nằm bên phải $O$) nên $d>0$. Vậy $a<0,b<0,c<0,d>0$: chỉ có đúng $1$ số dương. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 3101, câu 2 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$, đi qua $(0;1)$.

a) $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với $f^{\prime }(\pm 1)=0$ nên $\{\begin{array}{l}3a+2b+c=0\\ 3a-2b+c=0\end{array}$ → Đúng.

b) $y=f(4-x)+1$ có điểm cực đại là ảnh của điểm cực đại $(-1;3)$ của $f$ qua phép biến đổi $x\mapsto 4-x$ rồi cộng 1: $4-x=-1\Rightarrow x=5$, $y=3+1=4$ → điểm cực đại $(5;4)$ → Đúng.

c) Giá trị cực tiểu của $f$ bằng $-1$, nên phương trình $f(x)=-1$ có nghiệm kép tại $x=1$ và một nghiệm đơn $x<-1$: chỉ có 2 nghiệm phân biệt → Sai.

d) Hàm bậc ba không có tiệm cận ngang → Sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị lần lượt tại $x=-1$ và $x=1$, nên $f^{\prime }(\pm 1)=0$, tức $3a\pm 2b+c=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(4-x)+1$ nhận được từ đồ thị $f$ qua đối xứng qua trục $x=2$ (tâm $x=2$) rồi tịnh tiến lên 1 đơn vị; điểm cực đại $(-1;3)$ thành $(5;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì min $f=-1$ đạt tại $x=1$, phương trình $f(x)=-1$ có nghiệm kép $x=1$ và một nghiệm đơn, tức 2 nghiệm phân biệt chứ không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm đa thức bậc ba không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng đường cong bậc ba với điểm cực tiểu tại $(-1;-2)$ và điểm cực đại $(1;2)$, đi qua gốc tọa độ, nên là hàm bậc ba dạng $y=a{x}^3+bx$ với $a>0$. a) Đúng: đồ thị có hình dạng đường cong bậc ba với hai nhánh đi lên hai đầu vô cực. b) Sai: hàm $y=-x^3-3x$ có $a<0$ (nhánh đi xuống phía bên phải) và là hàm nghịch biến trên ℝ, không có cực trị, trong khi đồ thị đã cho có hai cực trị và tăng rồi giảm. Thực tế đồ thị khớp với $y=x^3-3x$ (cực tiểu $(-1;-2)$, cực đại $(1;2)$). c) Đúng: đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x=-1$ và một điểm cực đại tại $x=1$, tức hai điểm cực trị. d) Sai: trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại, nên hàm số đồng biến (không nghịch biến) trên $(-1;1)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng đường cong bậc ba với hai nhánh đi lên hai đầu vô cực, nên là đồ thị hàm số bậc ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=-x^3-3x$ nghịch biến trên ℝ và không có cực trị, trong khi đồ thị đã cho có cực tiểu $(-1;-2)$ và cực đại $(1;2)$. Đồ thị khớp với $y=x^3-3x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x=-1$ và một điểm cực đại tại $x=1$: hai điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại, nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, nên $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. a) Trên $(-3;1)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$ ($f(0)=1$) → đúng. b) Trên $(0;2)$ hàm số tăng trên $(0;1)$ và giảm trên $(1;2)$, không nghịch biến trên toàn khoảng → sai. c) Vì $f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x+1$ → sai. d) Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$ → sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn DSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$; trên $(-3;1)$ hàm tăng trên $(-3;0)$ và giảm trên $(0;1)$ nên GTLN đạt tại $x=0$, $f(0)=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, hàm số tăng trên $(0;1)$ và giảm trên $(1;2)$ (khoảng $(1;2)$ nằm ngoài tập xác định tại $x=1$), nên không nghịch biến trên toàn khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+2+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }={\left(x+2+\frac{1}{x-1}\right)}^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}\ne \frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có hệ số a<0 (nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống), đạt cực tiểu tại điểm (0;−4) và cực đại tại điểm (2;0), đồng thời đi qua điểm (−1;0). Kiểm tra phương án A: y=−x³+3x²−4 có y(0)=−4 (cực tiểu vì y'=−3x²+6x=−3x(x−2), y'<0 khi x<0, y'>0 khi 0<x<2), y(2)=−8+12−4=0 (cực đại), y(−1)=1+3−4=0. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án B có a>0 (sai chiều nhánh); phương án C cho y(0)=−2 (sai); phương án D không có cực đại tại x=2 (y'=−3x² chỉ có 1 nghiệm x=0). Đáp án khớp với mã đề 1002, câu 5: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hai nhánh đi xuống hai đầu nên $a<0$. Đồ thị có điểm cực tiểu bên trái trục tung và điểm cực đại bên phải trục tung, tức phương trình $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm $x_1<0<x_2$. Theo Vi-ét: $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, mà $a<0$ nên $c>0$; $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$, mà $a<0$ nên $b>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ $d<0$ (giao điểm với trục $Oy$ nằm dưới gốc $O$). Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Câu 8, Mã đề 1002).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm bậc ba có điểm cực tiểu tại $(0;-4)$ và điểm cực đại tại $(2;0)$, đồng thời nhánh trái đi lên khi $x\to -\infty$ nên hệ số $a<0$. Xét $y=-x^3+3x^2-4$: có $y(0)=-4$ (cực tiểu), $y(2)=-8+12-4=0$ (cực đại), $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, phù hợp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có $a>0$ và $y(0)=-4$ nhưng cực đại tại $x=0$; C cho $y(0)=-2\ne -4$; D không có cực trị (đạo hàm $-3x^2\le 0$). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba có cực tiểu tại $x=-1$ với $f(-1)=-2$ và cực đại tại $x=1$ với $f(1)=2$, đi qua gốc tọa độ, nên $f(x)=x^3-3x$ (dạng $y=a{x}^3+bx$ với $a=1,b=-3$; kiểm tra: $f(1)=1-3=-2$... thực tế đồ thị cho $f(1)=2$, phù hợp $f(x)=x^3-3x$ tại cực đại $x=1$: $f(1)=1-3=-2$? Xét lại: cực đại tại $x=1$ có $y=2$ và cực tiểu tại $x=-1$ có $y=-2$ tương ứng $f(x)=x^3-3x$ đảo dấu, tức đồ thị có dạng đi lên từ trái, cực tiểu bên trái tại $x=-1$, cực đại bên phải tại $x=1$ — đúng là $f(x)=x^3-3x$ với $f(-1)=-1+3=2$? Kiểm tra kỹ: $f(x)=x^3-3x$ có $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, cực đại tại $x=-1$ ($f(-1)=2$), cực tiểu tại $x=1$ ($f(1)=-2$). Đồ thị vẽ cho thấy nhánh trái đi xuống từ $+\infty$... thực chất đồ thị có cực tiểu tại $x=-1$ ($y=-2$) và cực đại tại $x=1$ ($y=2$), tức $f(x)=-x^3+3x$. Dù hệ số cụ thể là $x^3-3x$ hay $-x^3+3x$, các kết luận không đổi:
a) Đúng: đồ thị có dạng đường cong bậc ba với hai cực trị, xác định trên $\mathbb{R}$, nên là hàm bậc ba.
b) Sai: $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$, hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$, không có cực trị — mâu thuẫn với đồ thị có hai cực trị.
c) Sai: trên $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu đến điểm cực đại, hàm đồng biến trên khoảng này.
d) Đúng: đồ thị có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại, tức hai điểm cực trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong liên tục trên $\mathbb{R}$, có hai cực trị và hai nhánh đi ra vô cực theo hai phía khác nhau, đặc trưng của hàm số bậc ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$ nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị, mâu thuẫn với đồ thị có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;1)$, đồ thị đi từ điểm cực tiểu (tại $x=-1$) lên điểm cực đại (tại $x=1$), nên hàm đồng biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại, vậy hàm số có hai điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có điểm cực đại $(-1;3)$ và điểm cực tiểu $(1;-1)$, nên $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ tại $x=\pm 1$, tức $\{\begin{array}{l}3a+2b+c=0\\ 3a-2b+c=0\end{array}$ → b) đúng. a) $y=f(4-x)+1$ đạt cực đại khi $4-x=-1\Rightarrow x=5$, giá trị $f(-1)+1=3+1=4$ → điểm $(5;4)$, đúng. c) $f(x)=-1$: vì $-1$ là giá trị cực tiểu, phương trình có nghiệm kép $x=1$ và một nghiệm khác, chỉ có 2 nghiệm phân biệt → sai. d) Hàm bậc ba không có tiệm cận ngang → sai. Khớp đáp án nguồn DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại của $f$ tại $(-1;3)$. Với $y=f(4-x)+1$, đặt $4-x=-1\Rightarrow x=5$, giá trị $y=f(-1)+1=4$. Vậy điểm cực đại là $(5;4)$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ với nghiệm $x=-1$ (cực đại) và $x=1$ (cực tiểu) theo đồ thị, nên $3a+2b+c=0$ và $3a-2b+c=0$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu của $f$ là $-1$ tại $x=1$, nên $f(x)=-1$ có nghiệm kép $x=1$ cộng thêm một nghiệm đơn, chỉ 2 nghiệm phân biệt → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$ (hoặc $\mp \infty$), không có tiệm cận ngang → sai.

a) Phép chia: $\frac{x^2+x-1}{x-1}=x+2+\frac{1}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x+1$ → Sai.
b) Với đạo hàm đúng $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, trên $(-3;1)$ có $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đó → Đúng.
c) Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, khác công thức in trong đề → Sai (đáp án đề 1001: S).
d) Theo công thức đạo hàm in trong đề $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}>0$ trên $(0;2)$, hàm số đồng biến nên khẳng định nghịch biến là Sai (đáp án đề 1001: S). Lưu ý: đề in công thức đạo hàm $x^2+2x$ trong khi đạo hàm đúng là $x^2-2x$; với đạo hàm đúng, hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ — mâu thuẫn nội tại của đề gốc, giữ nguyên theo đáp án chính thức SDSS.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba: nhánh phải đi xuống nên $a<0$. Hàm số có cực tiểu tại $x_1<0$ và cực đại tại $x_2>0$. Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ với $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$, do $a<0$ nên $c>0$. Tổng $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$, do $a<0$ nên $b>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$. Vậy $a<0,b>0,c>0,d<0$, khớp đáp án A (đáp án nguồn: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi qua các điểm đặc biệt: cắt trục $Oy$ tại $(0;-2)$, đi qua $(1;0)$, có điểm cực tiểu tại $(0;-2)$ và điểm cực đại tại $(2;2)$. Xét phương án B: $y=-x^3+3x^2-2$. Ta có $y(0)=-2$ (khớp giao với $Oy$), $y(1)=-1+3-2=0$ (khớp giao $Ox$ tại $x=1$), $y(2)=-8+12-2=2$ (khớp điểm cực đại). Đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; với $x<0$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến), $0<x<2$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến), $x>2$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến) — đúng dạng cực tiểu tại $(0;-2)$ và cực đại tại $(2;2)$ như hình vẽ. Các phương án khác loại: A là parabol (không phải đường cong bậc ba có 2 cực trị dạng chữ S), C là hyperbol có tiệm cận, D có $y(0)=-2$ nhưng $y^{\prime }=3x^2+3>0$ luôn đồng biến nên không có cực trị. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 11: B).