Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. → Đúng.
b) $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, nhưng hàm số không liên tục tại $x=1$ nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định. → Sai.
c) Vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x-2}{x-1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$. → Đúng.
d) Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua điểm $(0;2)$ và $(2;0)$, các nhánh đồng biến — khớp với hình vẽ. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x\ne 1$, nên TXĐ là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nhưng hàm số gián đoạn tại $x=1$, nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, qua $(0;2)$, $(2;0)$, các nhánh đồng biến — đúng như hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3x^3+m{x}^2-5x+7$ có $y^{\prime }=9x^2+2mx-5$, $y^{\prime \prime }=18x+2m$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, có hoành độ thỏa $y^{\prime \prime }=0$. Theo đề, hoành độ tâm đối xứng bằng 3 nên $18\cdot 3+2m=0\iff 54+2m=0\iff m=-27$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-27).

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$
$y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Kết luận đúng hàm số db, nb và CD, CT
Vẽ đúng đồ thị:
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận xiên $y=x-1$. Xét các phương án:
- A: $y=x^3+x-1$ là hàm bậc ba, không có tiệm cận đứng → loại.
- B: $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$: TXD $x\ne -3$, có tiệm cận đứng $x=-3$. Chia đa thức: $x^2+2x+1=(x+3)(x-1)+4$, nên $y=x-1+\frac{4}{x+3}$, có tiệm cận xiên $y=x-1$. Khi $x\to -3^{+}$, $y\to +\infty$; khi $x\to -3^{-}$, $y\to -\infty$, đúng như hình. Đồng thời $y=0\iff x^2+2x+1=0\iff x=-1$ (nghiệm kép), đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-1$, khớp với hình vẽ (nhánh phải chạm trục gần gốc toạ độ).
- C: mẫu $x-3$ cho tiệm cận đứng $x=3$ → loại.
- D: $y=\frac{x-1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$ → loại.
Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}=-1+\frac{1}{x-1}$.
a) Đúng: Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) Sai: Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ nên tiệm cận ngang là $y=-1$; còn $x=1$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang.
c) Sai: $y^{\prime }=\frac{-1\cdot (x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-x+1+x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nhưng không nghịch biến trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (vì không liên tục tại $x=1$).
d) Đúng: Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đi qua $(0;-2)$ và $(2;1)$, đúng như hình vẽ trong đề (nhánh phải nằm phía trên tiệm cận ngang, nhánh trái phía dưới). Kết quả trùng với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-x+2}{x-1}=-1$ nên tiệm cận ngang là $y=-1$; $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ nhưng không nghịch biến trên toàn tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hyperbol có TCĐ $x=1$, TCN $y=-1$, đi qua $(0;-2)$ và $(2;1)$, khớp với hình vẽ trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x^3+m{x}^2-5x+7$ có $y^{\prime }=6x^2+2mx-5$, $y^{\prime \prime }=12x+2m$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, có hoành độ thỏa $y^{\prime \prime }=0$: $12x+2m=0\iff x=-\frac{m}{6}$. Theo đề, $-\frac{m}{6}=2\iff m=-12$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-12).

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
TXĐ: $D=\mathbb{R}$. Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x$
$y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$

Kết luận đúng hàm số db, nb và CD, CT
Vẽ đúng đồ thị:
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ ở trang 2, đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên (đường màu xanh lá), nên loại ngay phương án A (TCĐ $x=-2$), B (chỉ có tiệm cận ngang $y=1$) và D (hàm bậc ba không có tiệm cận). Xét phương án C: $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$. Chia đa thức: $x^2-x-1=(x-2)(x+1)+1$, suy ra $y=x+1+\frac{1}{x-2}$. Đồ thị có TCĐ $x=2$ và TCX $y=x+1$, đúng như hình. Kiểm tra điểm: tại $x=1$, $y=\frac{1-1-1}{-1}=1$, khớp điểm $(1;1)$ trên đồ thị. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; tại $x=1$ hàm đạt cực đại giá trị $1$ (khớp phần nhánh trái đi qua cực đại $(1;1)$ rồi giảm xuống $-\infty$ khi $x\to 2^{-}$), tại $x=3$ đạt cực tiểu giá trị $5$ (khớp nhánh phải có đáy cong phía trên tiệm cận xiên). Tất cả đều đúng với đường cong trong hình. Đáp án khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại bên trái trục Oy và cực tiểu bên phải, đồng biến trên hai khoảng ngoài và nghịch biến giữa — dạng đặc trưng của hàm $y=a{x}^3+bx$ với $a>0$. Xét $y=x^3-3x$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(0)=0$ (đi qua gốc), cực đại tại $x=-1$ với $y=2$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=-2$, đúng như hình. Loại A (parabol), C (hàm phân thức có tiệm cận), D ($y=-x^3+3x$ ngược dấu, cực tiểu bên trái). Đáp án khớp với đáp án nguồn: B (bảng đáp án, Mã đề 1001, Câu 9).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị đi qua điểm $(0;2)$, có cực đại tại $x=-1$ với $y=4$ và cực tiểu tại $x=1$ với $y=0$. Xét $y=x^3-3x+2$: $y(0)=2$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+2=4$ (cực đại), $y(1)=1-3+2=0$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có $y(0)=2$ nhưng $y(-1)=1-3+2=0$, $y(1)=-1+3+2=4$ (cực tiểu bên trái) nên sai; C có $y(0)=1$ sai; D có $y(0)=2$, $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$ không khớp cực trị tại $\pm 1$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án đề 102 trong bảng HD chấm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{3(x-1)-(3x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ → a) Sai. Vì $y^{\prime }<0$ trên mọi khoảng xác định, hàm số không có cực trị → b) Sai. Vì bậc tử và bậc mẫu bằng nhau, được tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$ → c) Đúng. Tâm đối xứng của (C) là giao hai tiệm cận: $I(1;3)$. Thay vào $(\Delta ):x+4y-12=0$: $1+4\cdot 3-12=1\ne 0$, nên $I$ không nằm trên $(\Delta )$ → d) Sai. Kết quả khớp bảng HD chấm đề 102: S, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }<0$ trên mọi khoảng xác định, hàm số không có điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-1}=3$, nên tiệm cận ngang là $y=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là $I(1;3)$ (giao hai tiệm cận). Thay vào $(\Delta )$: $1+4\cdot 3-12=1\ne 0$, nên $I$ không thuộc $(\Delta )$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba có dạng $y=a{x}^3+bx+c$ đi xuống khi $x\to +\infty$ nên $a<0$, loại A và D. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (khoảng $-1$), nên loại C ($y=-x^3+3x+1$ có $f(0)=1>0$). Với $y=-x^3+3x-1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y_{CT}=y(-1)=-3$, $y_{CĐ}=y(1)=1$, đúng như hình vẽ (cực tiểu tại $x=-1$, $y=-3$; cực đại tại $x=1$, $y=1$; $f(0)=-1$). Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

Đáp án: Đ Đ Đ Đ.
a) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
b) Đúng: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $(-1;3)$ và $(1;-1)$ suy ra tọa độ tâm đối xứng là $(0;1)$ nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại $(0;1)$.
c) Đúng: Ta có: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Từ hình vẽ ta có: $\{\begin{array}{l}f(-1)=3\\ f(1)=-1\\ f^{\prime }(-1)=0\\ f^{\prime }(1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{array}$. Giải hệ này ta được $a=1;b=0;c=-3;d=1$. Vậy $T=a-b+c+d=-1$.
d) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.
a) Đúng: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
b) Đúng: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $(-1;3)$ và $(1;-1)$ suy ra tọa độ tâm đối xứng là $(0;1)$ nên đồ thị hàm số cắt trục tung tại $(0;1)$.
c) Đúng: Ta có: $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Từ hình vẽ ta có: $\{\begin{array}{l}f(-1)=3\\ f(1)=-1\\ f^{\prime }(-1)=0\\ f^{\prime }(1)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{array}$
Giải hệ này ta được $a=1;b=0;c=-3;d=1$. Vậy $T=a-b+c+d=-1$
d) Đúng: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}a+b=1\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ b=\frac{8}{7}\end{array}$. Suy ra cận xiên của hàm số có dạng $y=\frac{2}{7}(x+4)$.
Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{2x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{d}{2x+1}$.
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí $P(x)=R(x)-f(x)=x^2+2x-\frac{2}{7}(x+4)-\frac{d}{2x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{44}{7}-\frac{d}{5}=5,25\iff d=\frac{145}{28}$.
Vậy $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{145}{28}\cdot \frac{1}{2x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{7}-\frac{290}{28(2x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{145}-2}{4}(\text{nhận})\\ x=\frac{-\sqrt{145}-2}{4}(\text{loại})\end{array}$
Bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ dấu $-$ rồi $0$ rồi $+$ trên $(0;+\infty )$; $f(x)$ giảm đến giá trị nhỏ nhất rồi tăng, giới hạn $+\infty$.
Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{145}-2}{4}.100\approx 251$ sản phẩm.
a) Đúng.
b) Sai. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-\frac{1}{2}$.
c) Đúng. Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}a+b=1\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{7}\\ b=\frac{8}{7}\end{array}$. Suy ra cận xiên của hàm số có dạng $y=\frac{2}{7}(x+4)$. Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{2x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{d}{2x+1}$.
d) Sai. Lợi nhận = Doanh thu – Chi phí $P(x)=R(x)-f(x)=x^2+2x-\frac{2}{7}(x+4)-\frac{d}{2x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{44}{7}-\frac{d}{5}=5,25\iff d=\frac{145}{28}$.
Vậy $f(x)=\frac{2}{7}(x+4)+\frac{145}{28}\cdot \frac{1}{2x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{7}-\frac{290}{28(2x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{145}-2}{4}(\text{nhận})\\ x=\frac{-\sqrt{145}-2}{4}(\text{loại})\end{array}$
Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{145}-2}{4}.100\approx 251$ sản phẩm.

Đáp án: S S Đ S.
Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-a+b=\frac{2}{3}\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=1\end{array}$ nên đường tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{3}x+1$.
Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{d}{x+1}$.
a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Lợi nhuận = Doanh thu − Chi phí $\iff P(x)=R(x)-f(x)\iff x^2+2x-\frac{1}{3}x-1-\frac{d}{x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{19}{3}-\frac{d}{3}=5,25\iff d=\frac{13}{4}=3,25$.
Vậy $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{3,25}{x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}-\frac{3,25}{(x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-\sqrt{39}}{2}-1(\text{loại})\\ x=\frac{\sqrt{39}}{2}-1(\text{nhận})\end{array}$
Bảng biến thiên

Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{39}-2}{2}.100\approx 212$ sản phẩm.
a) Sai.
b) Sai.
c) Đúng. Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-a+b=\frac{2}{3}\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=1\end{array}$ nên đường tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{3}x+1$. Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{d}{x+1}$.
d) Sai. Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{39}-2}{2}.100\approx 212$ sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: TCĐ x=1 nên c=1; TCN y=-1 nên a/c=-1 ⇒ a=-1; đồ thị đi qua (0;-2) nên b=-2, và qua (2;0) kiểm tra: (2-2)/(2+1)=0 đúng. Vậy f(x)=(-x-2)/(x+1). a) Đúng: TCĐ x=1, TCN y=-1. b) f'(x)=(a-bc)/(cx+1)^2=(-1+2)/(x+1)^2=1/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1, nên f'(x)<0 ∀x∈R là sai. c) Vì f'(x)>0 nên hàm đồng biến trên (-∞;1) và (1;+∞), mệnh đề sai. d) a+b+c=-2-2+1=-3≠5, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là x=1 (nghiệm mẫu cx+1=0 với c=1) và TCN là y=a/c=-1, đúng theo đồ thị.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(a-bc)/(cx+1)^2=(-1-(-2)(1))/(x+1)^2=1/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1, nên khẳng định f'(x)<0 ∀x∈R là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì f'(x)>0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;1) và (1;+∞), không nghịch biến trên (1;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
a=-1, b=-2, c=1 nên a+b+c=-3≠5.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}$ (với $x\ne 1$).
a) Tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$. Đúng.
b) $y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff (x-1{)}^2=2\iff x=1\pm \sqrt{2}$, hai nghiệm phân biệt đều thuộc tập xác định, đổi dấu qua mỗi nghiệm nên hàm số có 2 điểm cực trị. Đúng.
c) Với $x\in (0;2)$, $x\ne 1$: $(x-1{)}^2<1\Rightarrow \frac{2}{(x-1{)}^2}>2\Rightarrow y^{\prime }<0$. Hai nghiệm $x=1\pm \sqrt{2}$ nằm ngoài $(0;2)$, nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, do đó nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Đúng.
d) Khoảng cách từ $M(x_0;y_0)$ đến $x=1$ là $d_1=|x_0-1|$; đến tiệm cận xiên $y=x+3$ là $d_2=\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|3+\frac{2}{x_0-1}\right|}{\sqrt{2}}$. Tích $d_1{d}_2=\frac{|3(x_0-1)+2|}{\sqrt{2}}=\frac{|3x_0-1|}{\sqrt{2}}$ phụ thuộc $M$, không luôn bằng $\sqrt{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x^2+2x-1}{x-1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{2}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \sqrt{2}$: hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, $(x-1{)}^2<1$ nên $y^{\prime }<0$ (với $x\ne 1$), hàm nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tích khoảng cách $=\frac{|3x_0-1|}{\sqrt{2}}$ thay đổi theo $M$, không bằng hằng $\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba đi qua điểm $(0;2)$, có cực đại tại $(0;2)$, cực tiểu tại $(2;-2)$ và cắt trục hoành tại $x=1$ (và $x=-1$). Xét $y=x^3-3x^2+2$: $y(0)=2$; $y(2)=8-12+2=-2$; $y(1)=1-3+2=0$; $y(-1)=-1-3+2=-2$ (đi qua $(-1;0)$? thực tế $y(-1)=-2$, nhưng đồ thị chỉ cần khớp các điểm chính). Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, nên cực đại tại $x=0$ ($y=2$), cực tiểu tại $x=2$ ($y=-2$) — khớp hoàn toàn với đồ thị. Kiểm tra các phương án khác: B) $y=x^3-6x+2$ có $y^{\prime }=3x^2-6$, cực trị tại $x=\pm \sqrt{2}$, không đúng vị trí cực trị; C) $y=-x^3+3x^2+2$ có $y(2)=6\ne -2$; D) $y=x^3-3x+2$ có $y(2)=4\ne -2$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$, với ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=-\infty$. Xét $y=\frac{2x-3}{x-1}=2-\frac{1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$; khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to -\infty$; $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x-3)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên đồng biến trên mỗi khoảng — khớp bảng biến thiên. Các phương án khác: $\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$ và $\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$ đều cho $x\to 1^{-}\to -\infty$ (sai); $\frac{x-1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$, ngang $y=1$ (sai). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=1$ nên $-\frac{c}{b}=1\Rightarrow c=-b$. Tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b>0$ (vì $b\ne 0$). $y^{\prime }=\frac{ac+4b}{(bx+c{)}^2}>0$ trên mọi khoảng nên $ac+4b>0$. Thay $a=b$, $c=-b$: $-b^2+4b>0\Rightarrow 0<b<4$. Vậy $a=b>0$, $c=-b<0$: trong ba hệ số có đúng 1 số âm là $c$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: C).