Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị đi qua $(0;5)$, $(1;3)$, $(3;5)$ và có điểm cực tiểu $(2;1)$, cực đại tại $(0;5)$. Xét $y=x^3-3x^2+5$: $y(0)=5$, $y(1)=1-3+5=3$, $y(2)=8-12+5=1$, $y(3)=27-27+5=5$. Ngoài ra $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ ($y=5$) và cực tiểu tại $x=2$ ($y_{\min }=1$), hoàn toàn khớp đồ thị. Các phương án khác không thỏa: A và C có $y^{\prime }=3x^2\pm 3$ nên cực trị tại $x=\pm 1$, không khớp; B có $y(1)=-1+3+5=7\ne 3$. Vậy đáp án là D, khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=x^3-3x-2$. a) Sai: ${\lim }_{x\to -\infty }(x^3+3x-2)=-\infty$ vì số hạng bậc cao nhất $x^3\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, không phải $+\infty$. b) Sai: $x^3-3x-2=0$ có nghiệm $x=-1$, phân tích $x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)=0$ chỉ cho hai nghiệm phân biệt $x=-1$ (nghiệm kép) và $x=2$, nên đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt chứ không phải ba. c) Đúng: $y^{\prime }=(x^3-3x-2{)}^{\prime }=3x^2-3$. d) Đúng: trên đoạn $[0;4]$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$, chỉ $x=1$ thuộc đoạn. So sánh $f(0)=-2$, $f(1)=1-3-2=-4$, $f(4)=64-12-2=50$. Max $=50$, min $=-4$, tổng $=50+(-4)=46$. Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 102: S-S-D-D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x^3\to -\infty$ khi $x\to -\infty$ nên ${\lim }_{x\to -\infty }(x^3+3x-2)=-\infty$, không phải $+\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)=0$ chỉ cho hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=2$, nên đồ thị cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=(x^3-3x-2{)}^{\prime }=3x^2-3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;4]$: $y^{\prime }=0\iff x=1$ (trong đoạn). $f(0)=-2$, $f(1)=-4$, $f(4)=50$. Max $=50$, min $=-4$, tổng $=46$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2$ có $y^{\prime }=3x^2-6x$, $y^{\prime \prime }=6x-6$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là điểm uốn, nơi $y^{\prime \prime }=0$: $6x-6=0\iff x=1$. Khi đó $y=1^3-3\cdot 1^2=-2$, nên $I(1;-2)$, tức $a=1,b=-2$. Vậy $T=a^2+b^2=1+4=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 4 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=\frac{2x+1}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ (TCĐ $x=-1$); bậc tử bằng bậc mẫu nên TCN $y=\frac{2}{1}=2$; tại $x=0$ có $y=\frac{1}{1}=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có TCĐ $x=1$, TCN $y=-1$; B có TCN $y=1$; D có TCN $y=1$ và $y(0)=2$, đều loại. Vậy đáp án C (khớp với đáp án nguồn, mã đề 102).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=1$ nên $b+c=0\Rightarrow c=-b$; tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b$. Hàm số đồng biến trên mỗi nhánh nên $y^{\prime }=\frac{a(bx+c)-b(ax-4)}{(bx+c{)}^2}=\frac{ac+4b}{(bx+c{)}^2}>0\Rightarrow ac+4b>0$. Thay $a=b$, $c=-b$: $-b^2+4b=b(4-b)>0\Rightarrow 0<b<4$. Khi đó $a=b>0$, $c=-b<0$: chỉ có $c$ âm. Kiểm tra thêm nhánh trái đi từ $1$ tăng lên $+\infty$: $y-1=\frac{b-4}{bx}\to 0^{-}$ khi $x\to -\infty$ (vì $b>0$, $b-4<0$) và $y\to +\infty$ khi $x\to 1^{-}$ (tử $a-4=b-4<0$, mẫu $b(x-1)\to 0^{-}$) — phù hợp bảng biến thiên. Vậy trong ba hệ số có đúng 1 số âm. Đáp án D, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận ngang là $y=2$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=\frac{2x+1}{x+1}$ (đáp án D): mẫu số bằng 0 tại $x=-1$ nên tiệm cận đứng $x=-1$; bậc tử bằng bậc mẫu nên tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$; tại $x=0$ có $y=\frac{1}{1}=1$. Tất cả khớp với đồ thị. Các phương án khác: A có tiệm cận ngang $y=1$; B có tiệm cận đứng $x=1$; C có tiệm cận ngang $y=1$ và đi qua gốc tọa độ — đều loại. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\frac{1}{x-1}$ (với $x\ne 1$).
a) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(2x-1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên $y=2x-1$ → Đúng.
b) $y^{\prime }=2-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-4x+1}{(x-1{)}^2}$; cho $y^{\prime }=0\iff 2x^2-4x+1=0\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm đều thuộc tập xác định và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm, nên hàm số có đúng hai điểm cực trị → Đúng.
c) Tiệm cận đứng của $(C)$ là đường thẳng $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$), không phải $y=2$ → Sai.
d) Đặt $X=x-1,Y=y-1$ thì $Y=2X+\frac{1}{X}$ là hàm lẻ: $f(-X)=-f(X)$, nên đồ thị nhận $I(1;1)$ làm tâm đối xứng → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-Đ-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x-1+\frac{1}{x-1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2-4x+1}{(x-1{)}^2}=0\iff x=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, hai nghiệm hợp lệ và $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm nên có đúng hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$; $y=2$ không phải tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $X=x-1,Y=y-1$ ta có $Y=2X+\frac{1}{X}$ là hàm lẻ, nên $I(1;1)$ là tâm đối xứng của $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x-2$.
a) Sai: Khi $x\to -\infty$, $x^3\to -\infty$ nên ${\lim }_{x\to -\infty }(x^3+3x-2)=-\infty$, không phải $+\infty$.
b) Sai: $x^3-3x-2=0$ có nghiệm $x=-1$ (vì $-1+3-2=0$), phân tích $x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)$, chỉ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=2$, nên đồ thị cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt (điểm $x=-1$ là tiếp điểm).
c) Đúng: $y^{\prime }=3x^2-3$.
d) Đúng: Trên $[0;4]$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$, lấy $x=1\in [0;4]$. Tính $f(0)=-2$, $f(1)=-4$, $f(4)=64-12-2=50$. Vậy $\max =50$, $\min =-4$, tổng $50+(-4)=46$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $x^3\to -\infty$ nên giới hạn bằng $-\infty$, không phải $+\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)$ chỉ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=2$, nên đồ thị cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=(x^3-3x-2{)}^{\prime }=3x^2-3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;4]$: $f(0)=-2$, $f(1)=-4$ (cực tiểu), $f(4)=50$. Tổng $\max +\min =50+(-4)=46$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2$ có $y^{\prime \prime }=6x-6=0\iff x=1$, khi đó $y=1-3=-2$. Vậy tâm đối xứng $I(1;-2)$, tức $a=1,b=-2$, nên $T=a^2+b^2=1+4=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (5).

Giả sử hàm số vận tốc có dạng: $v(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d,t>0$. Ta có: $v^{\prime }(t)=3a{t}^2+2bt+c$ (0,25 điểm).

Dựa vào đồ thị hàm số, tại các thời điểm $t_1,t_2$ đồ thị hàm vận tốc đi qua các điểm cực trị $A(1;4)$, $B(2;1)$. Khi đó: $\{\begin{array}{l}v(1)=4\\ v^{\prime }(1)=0\\ v(2)=1\\ v^{\prime }(2)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a+b+c+d=4\\ 3a+2b+c=0\\ 8a+4b+2c+d=1\\ 12a+4b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=6\\ b=-27\\ c=36\\ d=-11\end{array}$ (0,5 điểm).

Suy ra: $v(t)=6t^3-27t^2+36t-11(\text{km/h})$. Vậy vận tốc của vật tại thời điểm $t=3h$ là: $v(3)=6\cdot 3^3-27\cdot 3^2+36\cdot 3-11=16\text{km/h}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đi qua các điểm $(0;5)$, $(1;3)$, đạt cực đại tại $x=0$ với $y=5$ và cực tiểu tại $x=2$ với $y=1$. Xét $y=x^3-3x^2+5$: có $y(0)=5$, $y(1)=1-3+5=3$, $y(2)=8-12+5=1$; đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ nên $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ (cực đại, vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + thành −) và $x=2$ (cực tiểu, $y^{\prime }$ đổi dấu từ − thành +). Hoàn toàn khớp đồ thị. Các phương án khác: B có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ (không có cực trị); C có $y(1)=3$, $y(2)=7\ne 1$ và cực trị tại $x=\pm 1$; D có $y(1)=7\ne 3$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $b+c=0$; tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{b}=1$ nên $b=1$, suy ra $c=-1$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $2$ nên $y(0)=\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=-2$ (kiểm tra: nghiệm $x=-a=2$ khớp giao điểm với trục hoành trên hình vẽ). Vậy $T=a-3b-2c=-2-3+2=-3$. Chọn D, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$; tại $x=2$ hàm số có tiệm cận đứng ($f(x)\to -\infty$ khi $x\to 2^{-}$ và $f(x)\to +\infty$ khi $x\to 2^{+}$); $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;+\infty )$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=m$.
a) Đúng: Trên $(-5;0)\subset (-\infty ;0)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-5;0)$.
b) Sai: Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $f(0)=5\ne 0$ (0 là hoành độ điểm cực đại, không phải giá trị cực đại).
c) Sai: Trên khoảng $(-\infty ;2)$, khi $x\to 2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$, do đó hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng này (không thể bằng 3).
d) Đúng: Đồ thị hàm số có dạng phân thức chứa căn thức bậc hai với mẫu có dạng $(x-2)\sqrt{x-2}$ (hoặc tương đương), cho phép có ba đường tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang $y=m$. Điều kiện để có ba tiệm cận đứng và tiệm cận ngang cho $m\in (0;5]$, các giá trị nguyên thỏa mãn là $m\in \{1;2;3;4\}$ — đúng 4 giá trị nguyên. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-5;0)$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ (vì $f^{\prime }(x)>0$ trên toàn $(-\infty ;0)$), nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-5;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đạt cực đại tại $x=0$, giá trị cực đại là $f(0)=5$, không phải $0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-\infty ;2)$, khi $x\to 2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất bằng 3 trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có ba đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang $y=m$ khi $m\in (0;5]$; các giá trị nguyên là $m\in \{1;2;3;4\}$, tức 4 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=ax+b+\frac{c}{x-2}$ (tiệm cận đứng $x=2$). Máy bay xuất phát tại $A(2,5;0)$ nên $f(2,5)=0$. Điểm cao nhất $B$ cách $A$ 1,5 đơn vị theo phương ngang nên $x_B=4$, cao 4,5 nên $f(4)=4,5$ và $f^{\prime }(4)=0$. Từ $f^{\prime }(x)=a-\frac{c}{(x-2{)}^2}$, điều kiện $f^{\prime }(4)=0$ cho $c=4a$. Thay vào $f(2,5)=0$: $2,5a+b+2c=0\Rightarrow b=-10,5a$. Thay vào $f(4)=4,5$: $4a-10,5a+2a=4,5\Rightarrow a=-1$, suy ra $b=10,5$, $c=-4$. Vậy $f(x)=-x+10,5-\frac{4}{x-2}$. Tiệm cận xiên $y=-x+10,5$ cắt $Ox$ tại $G(10,5;0)$. Điểm tiếp đất: $f(x)=0\Rightarrow -x+10,5=\frac{4}{x-2}\Rightarrow x^2-12,5x+25=0\Rightarrow x=2,5$ (điểm xuất phát) hoặc $x=10$ (điểm tiếp đất $C$). Khoảng cách từ $C$ đến $G$ là $10,5-10=0,5$ đơn vị, khớp đáp án nguồn 0,5.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$, khác với $\frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$ trong đề nên ý a) Sai.

b) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$ và $(1;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Tại $x=0$ đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=-2$). Ý b) Đúng.

c) Trên $(1;+\infty )$, hàm nghịch biến trên $(1;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên đạt giá trị nhỏ nhất $y=\frac{4-4+2}{1}=2$ tại $x=2$. Ý c) Đúng.

d) Bảng biến thiên: đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$; cực đại $y=-2$ tại $x=0$, cực tiểu $y=2$ tại $x=2$, tiệm cận đứng $x=1$, khớp với bảng trong đề. Ý d) Đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}\ne \frac{x^2+2x}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$, nên hàm đạt cực đại tại $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến trên $(1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt giá trị nhỏ nhất $y=2$ tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bảng biến thiên với cực đại $-2$ tại $x=0$, cực tiểu $2$ tại $x=2$, tiệm cận đứng $x=1$ khớp với hàm số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trang 5: hàm bậc ba có cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$. Với $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Từ $f^{\prime }(-1)=0$ và $f^{\prime }(1)=0$: $3a-2b+c=0$ và $3a+2b+c=0$ suy ra $b=0$, $c=-3a$. Từ $f(-1)=-a+3a+d=2a+d=3$ và $f(1)=a-3a+d=-2a+d=-1$, cộng hai phương trình được $2d=2\Rightarrow d=1$, suy ra $a=1$. Vậy $y=x^3-3x+1$ và $a+b+c+d=f(1)=1+0-3+1=-1$, khớp đáp án nguồn $-1$.

» Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
» $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Suy ra $y^{\prime }=0\iff -3x^2+6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$.
» $y^{\prime \prime }=-6x+6$. Suy ra $y^{\prime \prime }=0\iff x=1\Rightarrow y=-2$. Điểm uốn $I(1;-2)$
» Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;2\right)$; nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.
Hàm số đạt giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$ tại $x_{CT}=0$
Hàm số đạt giá trị cực đại $y_{CD}=0$ tại $x_{CD}=2$
» Đồ thị đi qua điểm $A\left(-1;0\right),B\left(3;-4\right)$ và có tâm đối xứng là $I\left(1;-2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có điểm cực tiểu $(-1;0)$ và điểm cực đại $(1;4)$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba là trung điểm của hai điểm cực trị (cũng là điểm uốn): hoành độ $x=\frac{-1+1}{2}=0$, tung độ $y=\frac{0+4}{2}=2$. Vậy tâm đối xứng là $(0;2)$, trùng với đáp án D đã cho trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$. Xét $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $f(-1)=2$ (cực đại), $f(1)=-2$ (cực tiểu), $f(0)=0$ nên đồ thị đi qua gốc — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Loại A (hàm phân số), loại B vì $f(0)=1\ne 0$, loại C vì $-x^3+3x$ có cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=-1$ (ngược với hình vẽ). Khớp đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-5}{x-2}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x+5}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Đúng.

b) $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Với $x\in (1;2)$: $y^{\prime }<0$; với $x\in (2;3)$: $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và $(2;3)$, tức nghịch biến trên $(1;3)$ (hàm không xác định tại $x=2$ nhưng trên mỗi khoảng nó đều giảm). Đúng.

c) Tại $x=3$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$, không phải cực đại. Sai.

d) Chia đa thức: $\frac{x^2+x-5}{x-2}=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+3)\right)=0$. Tiệm cận xiên là $y=x+3$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}<0$ trên $(1;2)$ và $(2;3)$, nên hàm nghịch biến trên $(1;3)$ (trừ điểm gián đoạn $x=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+3$.