Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=-1, tiệm cận xiên y=x+1, cực đại (-2;-2), cực tiểu (0;2). Suy ra f(x)=x+1+1/(x+1)=(x²+2x+2)/(x+1).
a) Đúng: TCX là y=x+1.
b) Sai: A(-2;-2), B(0;2), S=½|x_A y_B - x_B y_A|=½|(-2)(2)-0|=2≠8.
c) Đúng: tâm đối xứng (-1;0); hai tiệm cận có hệ số góc 1 và ∞ nên hai trục đối xứng là phân giác của góc giữa chúng, có hệ số góc tan(π/8)=√2−1 và tan(3π/8)=√2+1. Vậy d: y=(x+1)tan(3π/8) là một trục đối xứng.
d) Sai: f'(x)=1−1/(x+1)²<0 với mọi x∈(−2;0), x≠−1, nhưng đồ thị bị đứt tại x=−1 (tiệm cận đứng) nên hàm số không nghịch biến trên cả khoảng (−2;0).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận xiên y=x+1 (đường thẳng đi qua (-1;0) và (0;1)).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là A(-2;-2), B(0;2). Diện tích tam giác OAB = ½|(-2)(2)-0·(-2)| = 2, không bằng 8.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận (-1;0). Hai trục đối xứng là phân giác góc giữa tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận xiên y=x+1, có hệ số góc tan(π/8)=√2−1 và tan(3π/8)=√2+1. Vậy y=(x+1)tan(3π/8) là một trục đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=1−1/(x+1)²<0 trên (−2;−1) và (−1;0), nhưng đồ thị có tiệm cận đứng x=−1 nên hàm số không nghịch biến trên toàn khoảng (−2;0).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}$.
a) Điều kiện $x+3\ne 0\Rightarrow x\ne -3$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$: đúng.
b) $y^{\prime }=\frac{(4x+5)(x+3)-(2x^2+5x)}{(x+3{)}^2}=\frac{2x^2+12x+15}{(x+3{)}^2}$. Phương trình $2x^2+12x+15=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-6\pm \sqrt{6}}{2}$ (khác $-3$), tổng nghiệm bằng $-\frac{12}{2}=-6$: đúng.
c) Vì mẫu $x+3$ triệt tiêu tại $x=-3$ và ${\lim }_{x\to -3^{\pm }}y=\pm \infty$, tiệm cận đứng là $x=-3$, không phải $x=3$: sai.
d) Chia đa thức: $y=2x-1+\frac{3}{x+3}$, tiệm cận xiên $y=2x-1$ tức $2x-y-1=0$. Khoảng cách từ $M(2;1)$: $\frac{|2\cdot 2-1-1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\ne \frac{\sqrt{5}}{5}$: sai. Kết quả khớp đáp án nguồn a)Đ b)Đ c)S d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x+3\ne 0\Rightarrow x\ne -3$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2+12x+15}{(x+3{)}^2}=0$ cho hai nghiệm $x=\frac{-6\pm \sqrt{6}}{2}$, tổng bằng $-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-3$ (nơi mẫu bằng 0), không phải $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên $y=2x-1$; khoảng cách từ $M(2;1)$ là $\frac{|4-1-1|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\ne \frac{\sqrt{5}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, nên $I(-1;2)$. Ta có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ và $y_0=2-\frac{3}{x_0+1}$. Tiếp tuyến tại $M(x_0;y_0)$: $y=y_0+\frac{3}{(x_0+1{)}^2}(x-x_0)$. Tại $x=-1$: $y_A=y_0-\frac{3}{x_0+1}=-\frac{6}{x_0+1}$, nên $IA=\left|y_A-2\right|=\frac{6}{x_0+1}$ (vì $x_0>0$). Tại $y=2$: $x_B=x_0+\frac{(2-y_0)(x_0+1{)}^2}{3}=x_0+(x_0+1)=2x_0+1$, nên $IB=|x_B+1|=2(x_0+1)$. Điều kiện: $\frac{36}{(x_0+1{)}^2}+4(x_0+1{)}^2=40$. Đặt $t=(x_0+1{)}^2>1$: $4t^2-40t+36=0\iff t^2-10t+9=0\iff t=9$ (loại $t=1$ vì $x_0>0$). Suy ra $x_0=2$, $y_0=2-\frac{3}{3}=1$. Khi đó $P=x_0^2+2y_0^2-x_0{y}_0=4+2-2=4$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có hai nhánh đi lên ở hai đầu (trái xuống dưới, phải lên trên) nên $a>0$, do đó D sai. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$, do đó C sai. Đồ thị có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (A sai) và có đúng hai điểm cực trị (B đúng). Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-2$ (nên mẫu là $x+2$), tiệm cận xiên là $y=x+2$, và nhánh phải có điểm cực tiểu $(-1;2)$, nhánh trái có điểm cực đại $(-3;-2)$. Xét $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}$, $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=-3$. Tại $x=-1$: $y=\frac{1-4+5}{1}=2$ (cực tiểu, đúng hình); tại $x=-3$: $y=\frac{9-12+5}{-1}=-2$ (cực đại, đúng hình). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1702, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-2$ và tiệm cận xiên là $y=x+2$. Xét $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$: có TCĐ $x=-2$, TCX $y=x+2$, đúng như đồ thị (nhánh phải của $x=-2$ nằm trên tiệm cận xiên, nhánh trái nằm dưới, khớp hình vẽ). Các phương án A (tử $x^2+4x+1$ cho phần dư khác), B (mẫu $-x-2$ cho TCX $y=-x-2$), D (TCĐ $x=2$) đều loại. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1701, Câu 1: C).

a) Đ; b) S; c) S; d) S. a) Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. d) Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=0$, do đó đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y=0$. Có tồn tại $x_1\in (-2;0)$ sao cho $f(x_1)=1$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$, suy ra đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f(x)-1}$ có 2 đường tiệm cận đứng là $x=x_1$, $x=0$. Do đó $a=2,b=1\Rightarrow a^2+b^2=5$ (khẳng định sai).
a) a) Đ. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
b) b) S.
c) c) S.
d) d) S. Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=0$. Do đó đồ thị hàm số có 1 đường TCN là $y=0$. Dựa vào bảng biến thiên là có tồn tại $x_1\in (-2;0)$ sao cho $f\left(x_1\right)=1$ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$ $\Rightarrow \underset{x\to x_1^{+}}{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=+\infty ;\underset{x\to x_1^{-}}{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=-\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{f(x)-1}=-\infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có 2 đường TCD là $x=x_1,x=0$. Do đó $a=2,b=1\Rightarrow a^2+b^2=5$.

a) Sai: Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. b) Đúng: $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\frac{3}{x+3}$, $y^{\prime }=2-\frac{3}{(x+3{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff 2x^2+12x+15=0$ có hai nghiệm phân biệt, tổng hoành độ cực trị bằng $\frac{-12}{2}=-6$. c) Sai: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=-\infty$, nên đồ thị không có tiệm cận ngang. d) Đúng: Đồ thị có tiệm cận xiên $y=2x-1\iff 2x-y-1=0(\Delta )$; $d(M,\Delta )=\frac{|2.2-1-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Lưu ý: trang lời giải chi tiết (trang 12-13) in lại ý d) với giá trị $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ và gán nhãn 'Sai', mâu thuẫn với bảng đáp án chính thức (trang 11: Câu 2 mã 1701: d)Đ) và với đề bài (trang 4: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$). Vì khoảng cách thực tế là $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, theo phát biểu trong đề thì d) Đúng, phù hợp bảng đáp án.
a) a) Sai: Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$.
b) b) Đúng: Ta có $y=\frac{2x^2+5x}{x+3}=2x-1+\frac{3}{x+3}$. $y^{\prime }=2-\frac{3}{(x+3{)}^2}$. $$y^{\prime }=0\iff 2-\frac{3}{(x+3{)}^2}=0\iff \frac{2x^2+12x+15}{(x+3{)}^2}=0\iff 2x^2+12x+15=0$$ có hai nghiệm phân biệt. Vậy hàm số có hai cực trị có tổng hoành độ của cực trị bằng $\frac{-12}{2}=-6$.
c) c) Sai: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2+5x}{x+3}=-\infty$, nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d) d) Đúng: Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-(2x-1)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x+3}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-(2x-1)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x+3}=0$. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=2x-1\iff 2x-y-1=0(\Delta )$. Khoảng cách từ điểm $M(2;1)$ đến $\Delta$ là $d(M,\Delta )=\frac{|2.2-1-1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. (Lời giải chi tiết nguồn ở trang 12-13 in lại ý d) với $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ và nhãn 'Sai', mâu thuẫn với bảng đáp án trang 11 ghi d)Đ và với đề bài trang 4 ghi $\frac{2\sqrt{5}}{5}$; phát biểu trong đề được giữ nguyên và verdict Đúng khớp bảng đáp án.)

Đồ thị $(C):y=\frac{2x-1}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$ nên $I(-1;2)$. Vì $M\in (C)$ nên $M\left(x_0;\frac{2x_0-1}{x_0+1}\right),(x_0>0)$. Phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại $M$ là $y=\frac{3}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0-1}{x_0+1}$. $\Rightarrow A\left(-1;\frac{2x_0-4}{x_0+1}\right)$, $B\left(2x_0+1;2\right)$. Ta có $IA=\left|\frac{6}{x_0+1}\right|$ và $IB=2\left|x_0+1\right|$. Khi đó $I{A}^2+I{B}^2=40\iff \frac{36}{{\left(x_0+1\right)}^2}+4{\left(x_0+1\right)}^2=40$, $x_0>0$ $\iff {\left(x_0+1\right)}^4-10{\left(x_0+1\right)}^2+9=0\iff \{\begin{array}{l}{\left(x_0+1\right)}^2=1\\ {\left(x_0+1\right)}^2=9\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=0(l)\\ x_0=-2(l)\\ x_0=2(n)\\ x_0=-4(l)\end{array}\to x_0=2\Rightarrow y_0=1$. Suy ra $M(2;1)$. Giá trị của biểu thức $P=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng, có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$ (giới hạn khi $x\to \pm \infty$ bằng 2; khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$, khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$). Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}=2+\frac{5}{x-2}$: có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$, và $y^{\prime }=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=-2$; B có $y(0)=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y=-2$; C có tiệm cận ngang $y=0$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1114, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{bx-1}$. Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đường thẳng đứng đi qua hoành độ 1) và tiệm cận ngang $y=1$.
a) Sai: tiệm cận đứng là $x=1$ (nghiệm của $bx-1=0$ với $b=1$), không phải $x=2$.
b) Đúng: tại $x=0$, $y=\frac{0-2}{b\cdot 0-1}=\frac{-2}{-1}=2$, khớp với đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 2.
c) Đúng: với $b=1$, $y=\frac{x-2}{x-1}$, $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên $[-1;0]$. Giá trị lớn nhất tại $x=0$: $y=2$.
d) Đúng: tiệm cận đứng $x=1$ suy ra $b=1$, do đó $T=2b=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận đứng là $x=1$ (vì $bx-1=0\iff x=1$ khi $b=1$), không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $y=\frac{-2}{-1}=2$, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $b=1$: $y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$, hàm đồng biến trên $[-1;0]$, GTLN tại $x=0$ bằng 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=1$ suy ra $b=1$, nên $T=2b=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ từ $+\infty$ xuống $f(-2)=0$, đồng biến trên $(-2;0)$ từ $0$ lên $f(0)=4$, nghịch biến trên $(0;+\infty )$ từ $4$ xuống $-\infty$.
a) $f(-2)=0$ nên đồ thị đi qua $A(-2;0)$ → Đúng.
b) Trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2)$, $(-2;0)$, $(0;+\infty )$, do tính liên tục và đơn điệu với giá trị $1$ nằm giữa hai giới hạn đầu-cuối của từng khoảng, phương trình $f(x)=1$ có đúng một nghiệm trên mỗi khoảng, tổng cộng 3 nghiệm phân biệt → Đúng.
c) Trên $(0;+\infty )$ hàm số nghịch biến (vì $y^{\prime }<0$), nên khẳng định đồng biến trên $(-1;+\infty )$ là Sai.
d) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $f(0)=4>0$, nên khẳng định tung độ âm là Sai.
Kết quả khớp với đáp án bảng điểm: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, $f(-2)=0$ nên đồ thị đi qua $A(-2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng $(-\infty ;-2)$, $(-2;0)$, $(0;+\infty )$, do tính liên tục và đơn điệu, phương trình $f(x)=1$ có đúng một nghiệm (vì $1$ nằm giữa hai giới hạn của từng khoảng), tổng cộng ba nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ vì $y^{\prime }<0$, nên không đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $f(0)=4>0$, không phải tung độ âm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(100;0)$, $D(0;80)$, $C(100;80)$. Đường cong là đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi qua $H(0;40)$, có điểm cao nhất $Q(20;60)$ (vì $AP=20$, $AE=60$, $PQ\parallel AD$) và đi qua $F(100;60)$ với $EF\parallel AB$.
Từ $f(0)=40\Rightarrow d=40$.
$f(20)=60\Rightarrow 400a+20b+c=1$; $f^{\prime }(20)=0\Rightarrow 1200a+40b+c=0$; $f(100)=60\Rightarrow 10000a+100b+c=0,2$.
Giải hệ được $a=0,0005;b=-0,07;c=2,2$, tức $f(x)=0,0005x^3-0,07x^2+2,2x+40$ (kiểm tra $f(100)=60$ đúng).
Điểm $M$ là trung điểm $AB$ nên $M(50;0)$, $N(50;80)$. Hoành độ $x=50$: $f(50)=62,5-175+110+40=37,5$, tức $I(50;37,5)$.
Trên đoạn $MN$: phần thuộc $H_3$ (tô màu, người lớn) dài $37,5$ m, phần thuộc $H_1$ (trẻ em) dài $80-37,5=42,5$ m.
Tổng tiền $=37,5\cdot 190+42,5\cdot 130=7125+5525=12650$ nghìn đồng $=12,65$ triệu đồng $\approx 12,7$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm bậc ba có nhánh đi lên (hệ số $a>0$), đi qua điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$ và cắt trục tung tại $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(0)=1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại); $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B, C có hệ số $a<0$ (nhánh đi xuống), D có $y(0)=-1$ không khớp giao điểm với trục tung. Đáp án trùng với mã đề 1114: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương nên $d>0$. Hàm số có hai điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung (cùng dương), tức hai nghiệm của $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ cùng dương, nên tổng nghiệm $=-\frac{2b}{3a}>0$ và tích nghiệm $=\frac{c}{3a}>0$. Vì $a<0$: từ tích nghiệm $>0$ suy ra $c<0$; từ tổng nghiệm $>0$ suy ra $-2b<0$ tức $b>0$. Vậy có đúng 2 số âm là $a$ và $c$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1114, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đạt cực tiểu $y=1$ tại $x=0$, cực đại $y=5$ tại $x=2$; $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ trên $(0;2)$. Xét $y=-x^3+3x^2+1$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, nên $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$, $y^{\prime }>0$ khi $0<x<2$. Hơn nữa $y(0)=1$ (cực tiểu) và $y(2)=-8+12+1=5$ (cực đại), khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: B có $y(0)=0\ne 1$; C có $y^{\prime }=3x(x-2)$ ngược dấu; D có $y^{\prime }=3x(x+2)$ với điểm tới hạn $x=-2$ không có trong bảng. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1114, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị hàm bậc ba: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ nên $a<0$. Đồ thị có hai điểm cực trị (một điểm cực tiểu và một điểm cực đại đều nằm bên phải trục $Oy$, tức có hoành độ dương), nên phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương. Theo Vi-ét: tổng hai nghiệm $=-\frac{2b}{3a}>0$, vì $a<0$ nên $b>0$; tích hai nghiệm $=\frac{c}{3a}>0$, vì $a<0$ nên $c<0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm phía trên gốc $O$ nên $d=y(0)>0$. Vậy trong các số $a,b,c,d$ có đúng 2 số dương là $b$ và $d$. Chọn D, khớp với đáp án nguồn 10.D.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x+3+\frac{4}{x-1}$, TXĐ: $x\ne 1$.
a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$ (đạo hàm của $\frac{4}{x-1}$ là $-\frac{4}{(x-1{)}^2}$). Mệnh đề đúng.
b) $f(3)=3+3+\frac{4}{2}=8$. Mệnh đề đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff (x-1{)}^2=4\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$, nhưng hàm số không liên tục tại $x=1$ (không thuộc TXĐ), nên không thể nói hàm số nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$. Mệnh đề sai.
d) Trên $[-2;0]$: $f^{\prime }(x)>0$ trên $[-2;-1)$ và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;0]$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=-1$: $f(-1)=-1+3+\frac{4}{-2}=2-2=0$. Mệnh đề đúng.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1010: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=3+3+\frac{4}{2}=8$ đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng không liên tục tại $x=1$, nên không nghịch biến trên cả khoảng $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;0]$, hàm đồng biến trên $[-2;-1]$ và nghịch biến trên $[-1;0]$, GTLN $=f(-1)=-1+3-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$ nên $-c=-1\Rightarrow c=1>0$. Tiệm cận ngang là $y=1$ (đường đứt nét nằm trên trục hoành) nên $a=1>0$. Viết $y=\frac{ax+b}{x+c}=\frac{a(x+c)+(b-ac)}{x+c}=a+\frac{b-ac}{x+c}$. Nhánh trái ($x<-1$) tiến đến $+\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$, do đó $b-ac<0\Rightarrow b<1$, tức $b<0$. Vậy trong các hệ số $a,b,c$ có đúng 2 số dương ($a$ và $c$). Chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua điểm $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $x=2$.
- TCN: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+a}{bx+c}=\frac{1}{b}=1\Rightarrow b=1$.
- TCĐ: $bx+c=0\iff x=-\frac{c}{b}=1\Rightarrow c=-b=-1$.
- Đồ thị đi qua $(0;2)$: $\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=2c=-2$. Kiểm tra: giao điểm với trục hoành $x=-a=2$ đúng như hình.
Vậy $T=a-3b-2c=-2-3(1)-2(-1)=-2-3+2=-3$.