Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$ (với $x\ne -2$), nên $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$, tức $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$ và $x=-1$.

a) Trên khoảng $(-3;-1)$, $(x+1)(x+3)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$: hàm số nghịch biến trên khoảng này. Đúng.

b) Tiệm xiên của $(C)$ là $y=x+2$, cắt $Ox$ tại $(-2;0)$ và cắt $Oy$ tại $(0;2)$, tạo tam giác vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông đều bằng $2$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Đúng.

c) Với $x$ nguyên, $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ nguyên khi $x+2=\pm 1$, tức $x=-1,y=2$ và $x=-3,y=-2$. Vậy $(C)$ chỉ có hai điểm có tọa độ nguyên: $(-1;2)$ và $(-3;-2)$. Đường thẳng cắt $(C)$ tại các điểm có tọa độ nguyên phải đi qua cả hai điểm này, cho đúng một đường thẳng $y=2x+4$ (kiểm tra: $2x+4=x+2+\frac{1}{x+2}\iff (x+2{)}^2=1\iff x=-1$ hoặc $x=-3$). Đúng.

d) Với $y=f(\sin x)$, ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(\sin x)\cos x$. Vì $f^{\prime }(u)=\frac{(u+1)(u+3)}{(u+2{)}^2}\ge 0$ với $u\in [-1;1]$, $f^{\prime }(\sin x)=0$ chỉ khi $\sin x=-1$ (trường hợp $\sin x=-3$ vô nghiệm), và các điểm này đã nằm trong trường hợp $\cos x=0$. Vậy $y^{\prime }=0\iff \cos x=0$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Trên $(-10\pi ;10\pi )$ có 20 điểm như vậy, và tại mỗi điểm $y^{\prime }$ đổi dấu (do $\cos x$ đổi dấu), nên hàm số có 20 điểm cực trị, không phải 10. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}<0$ trên $(-3;-1)$ nên hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm xiên $y=x+2$ cắt hai trục tại $(-2;0)$ và $(0;2)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(C)$ chỉ có hai điểm nguyên $(-1;2)$ và $(-3;-2)$; đường thẳng qua cả hai điểm là $y=2x+4$, đúng 1 đường thẳng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=f^{\prime }(\sin x)\cos x=0\iff \cos x=0$; trên $(-10\pi ;10\pi )$ có 20 điểm cực trị, không phải 10.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-6}{x+1}=x-\frac{6}{x+1}$, tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x-1$. Đặt $t=x+1\ne 0$, điểm trên $(C)$ là $(t-1,t-1-\frac{6}{t})$.

a) Với $x$ nguyên thì $y$ nguyên khi $\frac{6}{x+1}$ nguyên, tức $x+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$, cho $x\in \{0,-2,1,-3,2,-4,5,-7\}$: đúng 8 điểm. Mệnh đề đúng.

b) $AB$ song song trục hoành nghĩa là hai điểm có cùng tung độ $y=c$. Phương trình $t-1-\frac{6}{t}=c\iff t^2-(c+1)t-6=0$ có hai nghiệm trái dấu $t_1{t}_2=-6$ (tương ứng 2 nhánh). Khi đó $AB=t_2-t_1=\sqrt{(t_1+t_2{)}^2-4t_1{t}_2}=\sqrt{(c+1{)}^2+24}\ge \sqrt{24}=2\sqrt{6}$, đạt được khi $c=-1$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt{6}$, không phải $2\sqrt{5}$. Mệnh đề sai.

c) $y^{\prime }=1+\frac{6}{(x+1{)}^2}=7\iff (x+1{)}^2=6$ có 2 nghiệm phân biệt, nên có 2 tiếp tuyến song song với $d$. Mệnh đề đúng.

d) Khoảng cách bình phương từ điểm trên $(C)$ tới tâm $(-1,-1)$: $f(t)=t^2+{\left(t-\frac{6}{t}\right)}^2=2t^2+\frac{36}{t^2}-12\ge 2\sqrt{72}-12=12(\sqrt{2}-1)$, đạt khi $t^4=18$. Vì $f(t)\to +\infty$ khi $t\to 0^{\pm }$ hoặc $|t|\to \infty$, phương trình $f(t)=R^2$ có 4 nghiệm phân biệt (2 trên mỗi nhánh) khi và chỉ khi $R^2>12(\sqrt{2}-1)$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y$ nguyên khi $6/(x+1)$ nguyên: $x+1\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$ cho đúng 8 điểm $x\in \{0,-2,1,-3,2,-4,5,-7\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với cùng tung độ $c$, $AB=\sqrt{(c+1{)}^2+24}\ge 2\sqrt{6}$. Giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt{6}$, không phải $2\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1+\frac{6}{(x+1{)}^2}=7\iff (x+1{)}^2=6$ có 2 nghiệm, nên có 2 tiếp tuyến song song $d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(t)=2t^2+\frac{36}{t^2}-12\ge 12(\sqrt{2}-1)$; phương trình $f(t)=R^2$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $R^2>12(\sqrt{2}-1)$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$, đường tiệm cận ngang là $y=2$ $\Rightarrow$ giao điểm hai đường tiệm cận là $I(1;2)$.
[Hình cần kiểm tra lại: p7_f1]
Gọi $A\left(a;2+\frac{4}{a-1}\right),B\left(b;2+\frac{4}{b-1}\right);(a>1,b>1,a\ne b)$.
$IA=IB\iff a-1=\frac{4}{b-1}\Rightarrow AD=BE$.
Đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ vuông góc với đường phân giác của góc $\widehat{DIE}$.
Đường phân giác của góc $\widehat{DIE}$ là $d:y=x+1$.
Đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ có phương trình là $y=-x+m$.
Xét phương trình $\frac{2x+2}{x-1}=-x+m\iff x^2+(1-m)x+2+m=0(x\ne 1)$.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $a>1,b>1\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-6m-7>0\\ m-1>2\end{array}\iff m>7$.
Ta có $A(a;-a+m),A(b;-b+m)\Rightarrow AB=\sqrt{2}.|b-a|=\sqrt{2}.\sqrt{m^2-6m-7}$.
Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{15}{2}\iff \frac{1}{2}.\frac{|3-m|}{\sqrt{2}}.AB=\frac{15}{2}\iff \frac{|3-m|}{\sqrt{2}}.AB=15$.
$\frac{|3-m|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}.\sqrt{m^2-6m-7}=15\iff |3-m|.\sqrt{(3-m{)}^2-16}=15$.
Giải phương trình ta được $m=8$. Phương trình đường thẳng $d$ là $y=-x+8$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba có cực đại bên trái trục Oy, cực tiểu bên phải, và giao với trục Oy tại điểm có tung độ âm. Loại A (hàm bậc bốn có dạng W) và B (hàm bậc ba có hệ số âm, đi lên từ trái sang phải ngược với hình). Với C: $y=x^3-x+2$ có $y(0)=2>0$, đồ thị cắt trục Oy phía trên gốc O — không khớp hình. Với D: $y=x^3-x-2$ có $y(0)=-2<0$; $y^{\prime }=3x^2-1=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, cực đại tại $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}<0$ (bên trái Oy) và cực tiểu tại $x=\frac{1}{\sqrt{3}}>0$ (bên phải Oy), đúng như đường cong hình bên. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $(C):y=x+1+\frac{1}{x+1}$, có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, nên hai nhánh là nhánh phải ($x>-1$) và nhánh trái ($x<-1$).

Lấy điểm $M$ trên nhánh phải: đặt $u=x+1>0$ thì $M\left(u-1,u+\frac{1}{u}\right)$. Lấy điểm $N$ trên nhánh trái: đặt $x+1=-v$ với $v>0$ thì $N\left(-v-1,-v-\frac{1}{v}\right)$.

Hiệu tọa độ: $\Delta x=u+v$ và $\Delta y=u+v+\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$. Đặt $s=u+v$, $p=uv$; khi đó $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{s}{p}$, nên
$$d^2=s^2+{\left(s+\frac{s}{p}\right)}^2=s^2\left(2+\frac{2}{p}+\frac{1}{p^2}\right).$$
Với $p$ cố định, $s=u+v\ge 2\sqrt{p}$ (AM-GM), đạt tại $u=v$. Thay $s=2\sqrt{p}$:
$$d^2=8p+8+\frac{4}{p}.$$
Khảo sát $f(p)=8p+8+\frac{4}{p}$ với $p>0$: $f^{\prime }(p)=8-\frac{4}{p^2}=0\Rightarrow p=\frac{1}{\sqrt{2}}$, khi đó $d^2=\frac{8}{\sqrt{2}}+8+4\sqrt{2}=8+8\sqrt{2}$.

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là $d=\sqrt{8+8\sqrt{2}}\approx 4,39$ km (đạt khi $u=v=2^{-1/4}$, tức hai tàu ở vị trí đối xứng nhau qua đường thẳng $x=-1$).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nhánh trái đi lên, nhánh phải đi xuống) và tiệm cận xiên $y=-x-1$ đi qua $(-1;0)$ và $(0;-2)$. Loại B vì có tiệm cận đứng $x=1$. Xét A: $y=\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=-x-1-\frac{1}{x+1}$, có tiệm cận xiên $y=-x-1$; khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $y\to -\infty$ — khớp hình vẽ. C: $y=-x-1+\frac{1}{x+1}$ có chiều nhánh ngược lại và $y(0)=0$, sai. D: $y=x-3+\frac{5}{x+1}$ có tiệm cận xiên hệ số góc dương, sai. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=-$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }=+$ trên $(-1;1)$, $y^{\prime }=-$ trên $(1;+\infty )$; các giá trị đặc biệt: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=142$, $f(-1)=8$, $f(1)=38$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=14$. a) Khi $x\to -\infty$, $y\to 142$ và khi $x\to +\infty$, $y\to 14$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=142$ và $y=14$ → Đúng. b) Hàm giảm trên $(-\infty ;-1)$, tăng trên $(-1;1)$, giảm trên $(1;+\infty )$, nên giá trị nhỏ nhất là $f(-1)=8$ → Đúng. c) Khoảng $(8;38)$ là khoảng của $y$, không phải của $x$; hàm số đồng biến trên $(-1;1)$, không thể nói đồng biến trên $(8;38)$ → Sai. d) Trên $\mathbb{R}$, hàm số không có giá trị lớn nhất vì khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 142$ nhưng không đạt giá trị $142$ (và $f(1)=38<142$) → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=142$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=14$ nên đồ thị có hai đường tiệm cận ngang $y=142$ và $y=14$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, đồng biến trên $(-1;1)$, nghịch biến trên $(1;+\infty )$ nên GTNN là $f(-1)=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(8;38)$ là khoảng giá trị của $y$ chứ không phải của $x$; hàm số đồng biến trên $(-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 142$ nhưng không đạt giá trị này, nên hàm số không có GTLN trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=-1$ và $x=1$; hàm số đạt cực đại $f(-1)=2$ và cực tiểu $f(1)=-2$; $y^{\prime }\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$ nên $a>0$ (hai nhánh đi lên). Trong bốn đồ thị, chỉ đồ thị $I$ có điểm cực đại $(-1;2)$, điểm cực tiểu $(1;-2)$ và hai nhánh hướng lên. Đồ thị $II$ có cực đại $(-1;4)$, $III$ có $a<0$, $IV$ có cực đại $(1;2)$ — đều loại. Vậy đồ thị thể hiện hàm số là $I$, khớp với đáp án nguồn (11.A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi qua các điểm $(-2;1)$, $(-1;2)$, $(0;1)$ và có điểm cực tiểu tại $x=0$ (suy ra $f^{\prime }(0)=0$).

- $f(0)=1\Rightarrow d=1$.
- $f^{\prime }(0)=c=0$.
- $f(-1)=2$: $-a+b+1=2\Rightarrow b=a+1$.
- $f(-2)=1$: $-8a+4b+1=1\Rightarrow b=2a$.

Suy ra $a=1$, $b=2$, $c=0$, $d=1$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Kiểm tra: $f(-1)=-1+2+1=2$ ✓, $f(-2)=-8+8+1=1$ ✓, $f(0)=1$ ✓.

$f^{\prime }(x)=3x^2+4x=x(3x+4)$, nên $f^{\prime }=0$ tại $x=-\frac{4}{3}$ và $x=0$. Vì $a=1>0$: hàm đạt cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ với $f\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{59}{27}\approx 2,185$ và cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=1$.

a) Hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ là SAI (cực tiểu tại $x=0$; tại $x=-1$ hàm không đạt cực trị).

b) Trên $(-1;0)$: $f^{\prime }(x)=x(3x+4)<0$ (vì $x<0$, $3x+4>0$), nên hàm nghịch biến → SAI.

c) Vì $1=f(0)<2<\frac{59}{27}=f\left(-\frac{4}{3}\right)$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (một nghiệm trong $(-2;-\frac{4}{3})$, nghiệm $x=-1$ vì $f(-1)=2$, và một nghiệm trong $(0;1)$). ĐÚNG.

d) $2a+3b+c=2(1)+3(2)+0=8$. ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-2)=1$, $f(-1)=2$, $f(0)=1$, $f^{\prime }(0)=0$ (cực tiểu tại $x=0$). Giải hệ được $a=1,b=2,c=0,d=1$, tức $f(x)=x^3+2x^2+1$. Khi đó $f^{\prime }(x)=3x^2+4x=0\iff x=-\frac{4}{3}$ hoặc $x=0$; hàm đạt cực đại tại $x=-\frac{4}{3}$ và cực tiểu tại $x=0$, không phải tại $x=-1$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3+2x^2+1$, trên $(-1;0)$ có $f^{\prime }(x)=x(3x+4)<0$, nên hàm nghịch biến trong khoảng $(-1;0)$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực tiểu $f(0)=1$, cực đại $f(-\frac{4}{3})=\frac{59}{27}\approx 2,185$. Vì $1<2<\frac{59}{27}$, phương trình $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt: một nghiệm trong $(-2;-\frac{4}{3})$, nghiệm $x=-1$ (vì $f(-1)=2$), và một nghiệm trong $(0;1)$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1,b=2,c=0$: $2a+3b+c=2+6+0=8$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$; khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ và nhánh trái đi xuống $-\infty$; khi $x\to +\infty$, $y\to 2$ và nhánh phải đi từ $+\infty$ xuống $2$. Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ nên có TCĐ $x=2$; $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi khoảng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên TCN $y=2$. Tất cả khớp bảng biến thiên. Các phương án khác: A có $y=\frac{2x-7}{x-2}$ cho ${\lim }_{x\to -\infty }y=2$ nhưng giá trị khi $x\to 2^{-}$ là $-\infty$ và $x\to 2^{+}$ là $+\infty$ — tuy cùng dạng nhưng kiểm tra giới hạn tại vô cực: A cũng có TCN $y=2$; tuy nhiên A có $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x-7)}{(x-2{)}^2}=\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ (đồng biến) nên loại. B có TCĐ $x=-2$ nên loại. D có $y^{\prime }=\frac{-2(x-2)-(1-2x)}{(x-2{)}^2}=\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ (đồng biến) nên loại. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$, đồng thời nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Với hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=2$ và hàm nghịch biến khi $ad-bc<0$. Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$: $\frac{a}{c}=\frac{2}{1}=2$ (đúng tiệm cận ngang $y=2$), $ad-bc=2\cdot (-2)-1\cdot 1=-5<0$ nên hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định, và $x\to 2^{-}\Rightarrow y\to -\infty$, $x\to 2^{+}\Rightarrow y\to +\infty$ — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có $y=\frac{2x-7}{x-2}$ cho $ad-bc=2\cdot (-2)-(-7)\cdot 1=3>0$ (đồng biến); B có tiệm cận đứng $x=-2$; D có $ad-bc=1\cdot (-2)-(-2)\cdot 1=0$ và $\frac{a}{c}=1\ne 2$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=-1$ và $x=1$; hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$, nên $a>0$. Hàm số đạt cực đại tại điểm $(-1;2)$ và cực tiểu tại điểm $(1;-2)$, đồng thời ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. Xét các đồ thị: $I$ có cực đại $(-1;2)$, cực tiểu $(1;-2)$, $a>0$ — khớp hoàn toàn. $II$ có cực đại bằng $4$ (khác $2$). $III$ có $a<0$ (đi xuống hai đầu) và cực trị $-4$. $IV$ có cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=-1$ (ngược với bảng). Vậy đồ thị thể hiện hàm số là $I$, đáp án A, khớp với đáp án nguồn (9.A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, có tiệm cận ngang $y=2$ với ${\lim }_{x\to -\infty }y=2$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=2$. Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$ (đáp án C): tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$; $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi khoảng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ (tiệm cận ngang $y=2$); khi $x\to 2^{-}$, tử $2x+1\to 5>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$; khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án khác: A có ${\lim }_{x\to -\infty }y=2$ nhưng $x\to 2^{-}$ cho $+\infty$ (tử $-3<0$) nên sai; B có tiệm cận đứng $x=-2$ nên sai; D có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-2$ nên sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (11.C).

Đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai (SDSS).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ đổi dấu $+\to -\to +$ nên $a>0$; hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=2$ và cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-2$. Xét bốn đồ thị: đồ thị $I$ có $a>0$ (hai nhánh đi lên), cực đại $(-1;2)$, cực tiểu $(1;-2)$ — khớp bảng biến thiên. Đồ thị $II$ có cực đại bằng $4$ (loại), đồ thị $III$ và $IV$ có $a<0$ (hai nhánh đi xuống, loại). Vậy đồ thị thể hiện hàm số là $I$, đáp án A (khớp đáp án nguồn 9.A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → a) Đúng. Vì bậc tử và bậc mẫu bằng nhau, đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$ → b) Đúng. $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và không có cực trị → c) Sai. Hai tiệm cận $x=1$, $y=2$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật có diện tích $1\times 2=2\ne 3$ → d) Sai. Khớp với đáp án nguồn ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}|y|=+\infty$ nên tiệm cận đứng $x=1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật tạo bởi $x=1$, $y=2$ và hai trục có diện tích $1\times 2=2\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$, nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, có tiệm cận ngang $y=2$; khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$. Xét $y=\frac{2x+1}{x-2}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$; $y^{\prime }=\frac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi khoảng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ (tiệm cận ngang $y=2$); tại $x\to 2^{-}$: tử $2x+1\to 5>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$; tại $x\to 2^{+}$: $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A có ${\lim }_{x\to -\infty }y=2$ nhưng khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ (sai dấu); B có tiệm cận đứng $x=-2$ (sai); D có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-2$ (sai tiệm cận ngang). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (6.C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=0$ tại $x=-1$ và $x=1$; hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$, nên $a>0$. Cực đại $f(-1)=2$, cực tiểu $f(1)=-2$. Xét các đồ thị: đồ thị $I$ có cực đại $(-1;2)$ và cực tiểu $(1;-2)$ đúng như bảng biến thiên; đồ thị $II$ có cực đại $(-1;4)$, cực tiểu $(1;0)$ sai giá trị; đồ thị $III$ có cực đại $(1;0)$, cực tiểu $(-1;-4)$ sai; đồ thị $IV$ có $a<0$ (đi từ $+\infty$ xuống $-\infty$) sai chiều biến thiên. Vậy đồ thị $I$ thể hiện hàm số, đáp án A, trùng với đáp án nguồn (8.A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với hệ số $a>0$, có điểm cực đại bên trái trục tung, điểm cực tiểu tiếp xúc trục hoành tại hoành độ dương, và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Xét $y=x^3-3x+2$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; cực đại tại $x=-1$ với $y(-1)=4$, cực tiểu tại $x=1$ với $y(1)=0$ (tiếp xúc trục hoành), $y(0)=2>0$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Loại B vì $a<0$ (đồ thị đi lên từ trái sang phải ngược lại); loại C vì $y^{\prime }=3x^2+2x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2/3$, cực trị không phù hợp; loại D vì là parabol bậc hai. Đáp án trùng bảng đáp án nguồn (mã đề 259, câu 10 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba với hệ số $a>0$ (nhánh trái xuống, nhánh phải lên), đi qua điểm cực đại tại $x=-1$ với $y=0$, điểm cực tiểu tại $x=1$ với $y=-4$, và cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$. Xét $y=x^3-3x-2$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3-2=0$ (cực đại), $y(1)=1-3-2=-4$ (cực tiểu), $y(0)=-2$. Tất cả khớp với đồ thị. Các phương án khác: B có $y(0)=2$ (không đúng dấu chặn trục tung), D có $a<0$ (ngược chiều nhánh), A có $y(0)=-2$ nhưng $y^{\prime }=x^2-7/3$ cho cực trị tại $x=\pm \sqrt{7/3}\approx \pm 1,53$ và giá trị cực trị không khớp. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 132, câu 10: C).