Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức trên trang 9 (bảng đáp án, Mã đề 132, câu 2a–2d) là: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
- a) Sai theo đáp án nguồn.
- b) Sai: đường thẳng qua hai điểm cực trị (0;2) và (2;-2) có hệ số góc (-2-2)/(2-0)=-2, phương trình y=-2x+2, không phải y=2x+1.
- c) Đúng theo đáp án nguồn.
- d) Sai theo đáp án nguồn.
Lưu ý: một số mệnh đề (a, c, d) khi suy luận trực tiếp từ hình vẽ (cực đại (0;2), cực tiểu (2;-2)) cho kết quả khác với bảng đáp án chính thức; đáp án nguồn được giữ nguyên theo đúng bản in.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức (trang 9, bảng đáp án Mã đề 132, 2a) ghi S (Sai). Lưu ý: theo hình vẽ, cực đại tại (0;2) và cực tiểu tại (2;-2) gợi ý M+m=0, tuy nhiên đáp án nguồn ghi mệnh đề này là Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức (2b) ghi S (Sai). Đường thẳng qua hai điểm cực trị (0;2) và (2;-2) có phương trình y=-2x+2, không phải y=2x+1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức (2c) ghi D (Đúng). Lưu ý: nếu cực đại tại x=0 và cực tiểu tại x=2 thì hàm chỉ nghịch biến trên (0;2); đáp án nguồn xác nhận mệnh đề c là Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án chính thức (2d) ghi S (Sai). Lưu ý: với f(x)=x³-3x²+2 (a=1>0, b=-3<0, c=0, d=2>0) sẽ có đúng hai giá trị dương, tuy nhiên đáp án nguồn ghi mệnh đề này là Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

$y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$.

a) $y^{\prime }=0\iff x=-4$ hoặc $x=2$. $y(-4)=\frac{16+12+5}{-3}=-11$ (cực đại), $y(2)=\frac{4-6+5}{3}=1$ (cực tiểu). Đường thẳng qua $(-4;-11)$ và $(2;1)$: hệ số góc $\frac{1+11}{2+4}=2$, $y=2x-3$. Vậy khẳng định $y=2x+3$ là SAI.

b) Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=-1$). SAI.

c) Phép chia: $x^2-3x+5=(x+1)(x-4)+9$, nên $y=x-4+\frac{9}{x+1}$. Tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+1$. SAI.

d) $y^{\prime }<0\iff -4<x<2,x\ne -1$, tức hàm nghịch biến trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại $(-4;-11)$, điểm cực tiểu $(2;1)$, đường thẳng qua hai điểm là $y=2x-3$, không phải $y=2x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên, không có tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-4+\frac{9}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-4;-1)$ và $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=-1, tiệm cận ngang y=1, đồ thị đi qua (0;-1) nên a=-1. Khi đó f(x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x+1).
a) Đúng: Đồ thị y=1-2/(x+1) có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận I(-1;1).
b) Sai: f'(x)=2/(x+1)^2>0 nên f đồng biến trên [0;3], max tại x=3: f(3)=(3-1)/(3+1)=1/2, không phải 1/3.
c) Đúng: Điểm nguyên trên đồ thị: với x nguyên, y=1-2/(x+1) nguyên khi x+1∈{±1;±2}, tức x∈{0;-2;1;-3}, cho 4 điểm (0;-1),(1;0),(-2;3),(-3;2). Không có 3 điểm nào thẳng hàng (kiểm tra từng bộ ba), nên số đường thẳng qua 2 trong 4 điểm là C(4,2)=6.
d) Đúng: f'(x)=2/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1, hàm số không có cực trị. Khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với a=-1, f(x)=1-2/(x+1) có tiệm cận đứng x=-1 và tiệm cận ngang y=1, giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng I(-1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
f đồng biến trên [0;3] nên max f(x)=f(3)=(3-1)/(3+1)=1/2, không phải 1/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các điểm nguyên: (0;-1),(1,0),(-2;3),(-3;2); không có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng là C(4,2)=6.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=2/(x+1)^2>0 với mọi x≠-1 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng và không có điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục tung: thay $x=0$ vào $y=-2x^3+3x^2-5$, được $y=-5$. Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $-5$, đáp án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 132, câu 2: D).

Khảo sát được điểm cực tiểu là $B(4;7)$.

Tiệm cận xiên là đường thẳng $\Delta :y=x+1$.

Điểm $M\in \Delta \iff M(m;m+1)$.

Tam giác $ABM$ cân tại $A$ nên $AM=AB\iff (m-1{)}^2+(m-2{)}^2=25\iff \{\begin{array}{l}m=-2\\ m=5\end{array}$.

+) Với $m=-2$ thì $M(-2;-1)$: loại vì khi đó $A$ là trung điểm $BM$.

+) Với $m=5$ thì $M(5;6)$: thỏa mãn.

Vậy $M(5;6)$.

Từ hình vẽ, ta thấy nhánh cuối đồ thị hàm số đi lên nên loại đáp án B, C. Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$. Khi đó, chỉ có hàm số $y=x^3-3x+1$ thỏa mãn

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua điểm $(0;5)$, $(-3;-4)$. Do đó, chỉ có hàm số $y=\frac{x^2+2x+5}{x+1}$ thỏa mãn các điều kiện trên

a) Đúng. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$.

b) Sai. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right);\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

c) Sai. Tiệm cận đứng $x=\frac{-1}{c}=\frac{-1}{2}\Rightarrow c=2$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=\frac{a}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=1$. $x=0\Rightarrow y=b=0$.

d) Đúng. $a+2b+c=2+2.0+1=3$
a) Đúng. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$
b) Sai. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right);\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$
c) Sai. Tiệm cận đứng $x=\frac{-1}{c}=\frac{-1}{2}\Rightarrow c=2$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=\frac{a}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=1$. $x=0\Rightarrow y=b=0$
d) Đúng. $a+2b+c=2+2.0+1=3$

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai (DDDS).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba đi lên ở hai đầu nên $a>0$. Hàm số có cực đại tại $x<0$ (khoảng $x\approx -2$) và cực tiểu tại $x>0$ (khoảng $x\approx 0,5$), tức hai nghiệm của $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có tổng $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}<0$ mà $a>0$ nên $b>0$. Trên khoảng giữa hai cực trị hàm nghịch biến nên $y^{\prime }(0)=c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $d=y(0)<0$. Vậy $a>0;b>0;c<0;d<0$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích $f(x)=\frac{x^2+3x+2}{2x+1}=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}+\frac{3}{4(2x+1)}$ (kiểm tra: $(2x+1)\left(\frac{x}{2}+\frac{5}{4}\right)=x^2+3x+\frac{5}{4}$, dư $\frac{3}{4}$). a) TCĐ $x=-\frac{1}{2}$ (bên trái trục Oy), TCX $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}$ (hệ số góc dương), nhánh trái đi xuống, nhánh phải có cực tiểu — khớp hình vẽ, đúng. b) $\frac{x^2+3x+2}{2x+1}=-x-2\iff 3x^2+8x+4=0\iff x=-2$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$; $A(-2;0)$, $B\left(-\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$, $AB=\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$, đúng. c) TCX $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}\iff 2x-4y+5=0$, đúng. d) TCĐ là $x=-\frac{1}{2}$ (mẫu $2x+1=0$), không phải $x=\frac{1}{2}$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=-\frac{1}{2}$, TCX $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}$, hình dạng đồ thị khớp với hình vẽ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $A(-2;0)$, $B\left(-\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$, $AB=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
TCX $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}$ tương đương $2x-4y+5=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là $x=-\frac{1}{2}$, không phải $x=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và có tiệm cận xiên là đường thẳng dốc (không phải tiệm cận ngang), nên loại B (chỉ có tiệm cận ngang $y=1$) và loại C (tiệm cận đứng $x=-2$).
Xét A và D, cả hai đều có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$:
- A: $y=\frac{x^2-x+1}{x-2}=x+1+\frac{3}{x-2}$; tử số $x^2-x+1>0$ với mọi $x$ nên đồ thị không cắt trục hoành.
- D: $y=\frac{x^2-x-3}{x-2}=x+1-\frac{1}{x-2}$; đồ thị cắt trục hoành tại $x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}\approx -1,3$ và $x\approx 2,3$, tức nhánh trái cắt trục hoành bên trái gốc $O$ và nhánh phải cắt trục hoành ngay bên phải $x=2$ — khớp với hình vẽ (hai nhánh, nhánh phải đi từ $-\infty$ bên phải tiệm cận đứng rồi tăng lên theo tiệm cận xiên, nhánh trái đi xuống cắt trục hoành bên trái $O$).
Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đi qua điểm $(0;1)$ và cắt trục hoành tại $(1;0)$. Xét $y=\frac{-x+1}{x+1}$: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$; tại $x=0$ thì $y=1$; tại $x=1$ thì $y=0$. Các phương án khác: A cho $y(0)=2$; B cho $y(0)=0$; C có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đi từ $+\infty$ xuống $-\infty$ nên là hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ âm; có điểm cực tiểu tại $x=-1$ với $f(-1)=0$ và điểm cực đại tại $x=1$ với $f(1)=4$. Xét đáp án B: $y=-x^3+3x+2$ có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$, nên $y^{\prime }=0$ tại $x=\pm 1$; với $x<-1$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến), $-1<x<1$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến), $x>1$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến). Ngoài ra $f(-1)=1-3+2=0$ và $f(1)=-1+3+2=4$, khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các đáp án khác: A có $y^{\prime }=-3x(x+2)$ với nghiệm $0,-2$ (loại); C có hệ số $x^3$ dương (loại); D có $y^{\prime }=3x^2-3$ nhưng $f(-1)=6\ne 0$ (loại). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$; hàm đạt cực đại $f(0)=2$ và cực tiểu $f(3)=-4$.
a) Sai: hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$, không phải $(-\infty ;2)$ (trên $(0;2)$ hàm nghịch biến).
b) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=3$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) Sai: trên khoảng $(-\infty ;3)$, hàm đạt giá trị lớn nhất $2$ tại $x=0$ (nội điểm của khoảng), nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất vì $f(x)>-4$ với mọi $x<3$ và $x=3\notin (-\infty ;3)$.
d) Sai: hàm $y=\frac{2025}{f(x)+2}$ có tiệm cận ngang $y=0$ và tiệm cận đứng là các nghiệm của $f(x)=-2$. Trên $(-\infty ;0)$, $f$ tăng từ $-\infty$ đến $2$ nên có 1 nghiệm; trên $(0;3)$, $f$ giảm từ $2$ đến $-4$ nên có 1 nghiệm; trên $(3;+\infty )$, $f$ tăng từ $-4$ đến $+\infty$ nên có 1 nghiệm. Vậy có 3 tiệm cận đứng, tổng cộng 4 đường tiệm cận, không phải 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$; trên $(0;2)$ hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=3$, nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
GTLN bằng 2 đạt tại $x=0$, nhưng hàm không đạt GTNN $-4$ trên khoảng mở $(-\infty ;3)$ vì $x=3$ không thuộc khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có 3 tiệm cận đứng (3 nghiệm của $f(x)=-2$) và 1 tiệm cận ngang $y=0$, tổng cộng 4 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x$ (đường nét đứt qua gốc $O$). Xét $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$: có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x$; đồ thị đi qua điểm $(-2;-3)$ vì $y(-2)=\frac{4-2+1}{-1}=-3$ (khớp với điểm $(-2;-3)$ trên hình) và $y(0)=1$ (cực tiểu trên nhánh phải, khớp hình). Các phương án khác: A có $y(-2)=-2+1=-1\ne -3$; B là hàm phân thức bậc nhất có tiệm cận ngang, không có tiệm cận xiên; D có $y(-2)=\frac{4+2+1}{-1}=-7\ne -3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho hàm số có hai điểm tới hạn $x=-1$ (điểm cực tiểu, giá trị $-1$) và $x=1$ (điểm cực đại, giá trị $3$), hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$, và đi từ $+\infty$ đến $-\infty$ (hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ âm). Xét $y=-x^3+3x+1$: có $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Với $x=-1$: $y(-1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu); với $x=1$: $y(1)=-1+3+1=3$ (cực đại). $y^{\prime }<0$ khi $|x|>1$ và $y^{\prime }>0$ khi $|x|<1$, đúng với bảng biến thiên. Các phương án khác: A và D là hàm phân thức (có tiệm cận, không phải bậc ba); B: $y=x^3-3x$ có $y^{\prime }=3x^2-3$, cực đại tại $x=-1$ với giá trị $2$ và cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-2$, ngược với bảng. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$ (vì $y\to 1$ khi $x\to \pm \infty$). Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$: $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm nghịch biến trên từng khoảng. Khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$; khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$; khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 1$. Khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A là hàm bậc ba (không có tiệm cận); C có tiệm cận đứng $x=1$ và $y\to \pm \infty$ khi $x\to \pm \infty$ (không có tiệm cận ngang $y=1$); D có tiệm cận đứng $x=-2$ (khác $x=2$). Đáp án khớp với đáp án nguồn là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+2$ (đường nét đứt đi qua $(-2;0)$ và cắt trục tung tại $2$), nên loại A (đa thức) và B (tiệm cận xiên $y=x+1$). Xét hai hàm còn lại:
- C: $y=\frac{x^2+3x+1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}$, có $y(0)=1$, trái với đồ thị cắt trục tung tại $3$.
- D: $y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}$, có $y(0)=3$ đúng như đồ thị; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$ cho cực tiểu tại $x=0$ với $y=3$ (nhánh phải) và cực đại tại $x=-2$ với $y=-1$, khớp hoàn toàn với đồ thị (điểm $(-2;-1)$ được đánh dấu). Vậy đáp án là D.