Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình hai căn và điều kiện tương đương (Toán học Lớp 10)

Phương trình tương đương: $2x^2-3x+1=x^2+2x-3⟺x^2-5x+4=0⟺x=1$ hoặc $x=4$. Thử lại vào điều kiện căn thức: với $x=1⟹x^2+2x-3=0$ (thỏa mãn); với $x=4⟹x^2+2x-3=21>0$ (thỏa mãn). Vậy có đúng nghiệm thỏa mãn theo đáp án chính thức.

Ta có biểu thức $A=a^2(2a-b)-b^2(2a-b)=(2a-b)(a^2-b^2)=(2a-b)(a-b)(a+b)$. Nghiệm của phương trình thỏa mãn $b=2a$, do đó $2a-b=0$, suy ra $A=0$.

Ta có $t=\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2}\Rightarrow t^2=4x+1+2\sqrt{(x+3)(3x-2)}$.
Suy ra: $2\sqrt{(x+3)(3x-2)}=t^2-4x-1$.
Nhân hai vế của phương trình (1) với 2:
$2(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-2})=4x-2+2\sqrt{(x+3)(3x-2)}$
$\iff 2t=4x-2+t^2-4x-1\iff 2t=t^2-3\iff t^2-2t-3=0$.

Điều kiện xác định của phương trình:
$\{\begin{array}{l}3x+1\ge 0\\ x-1\ge 0\\ x^2-4\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{3}\\ x\ge 1\\ x\ne \pm 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\ne 2\end{array}\iff x\in [1;+\infty )\setminus \{2\}$.

Điều kiện $x\ge \frac{2}{3}$. Bất phương trình viết lại thành $(x-2)\left(x+1-\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}\right)\le 0$, có tập nghiệm là $[1;2]⟹a+b=1+2=3$. Chọn B.

Điều kiện xác định: $0\le x\le 1$.
Nhận xét: Nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình thì $1-x_0$ cũng là nghiệm của phương trình.
Do đó, để phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là $x_0=1-x_0⟺x_0=\frac{1}{2}$.
Thay $x=\frac{1}{2}$ vào phương trình:
$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}+2m\sqrt{\frac{1}{4}}-2\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=m^3$
$⟺\sqrt{2}+m-\sqrt{2}=m^3⟺m^3-m=0⟺m(m-1)(m+1)=0⟺m\in \{0;1;-1\}$.
Thử lại:
Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$. Vì $x\in [0;1]$ nên $t\in [1;\sqrt{2}]$.
Ta có $t^2=1+2\sqrt{x(1-x)}⟹\sqrt{x(1-x)}=\frac{t^2-1}{2}$.
Với mỗi $t\in [1;\sqrt{2})$, có đúng 2 giá trị phân biệt của $x$.
Với $t=\sqrt{2}$, có duy nhất 1 giá trị của $x=\frac{1}{2}$.
Do đó, phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất $⟺$ phương trình theo $t$ có nghiệm duy nhất $t=\sqrt{2}$ và không có nghiệm nào trong $[1;\sqrt{2})$.
Phương trình trở thành:
$t+m(t^2-1)-2\sqrt{\frac{t^2-1}{2}}=m^3$.
Kiểm tra:
- Với $m=0$: $t-\sqrt{2(t^2-1)}=0⟺t=\sqrt{2(t^2-1)}⟺t^2=2⟺t=\sqrt{2}$. Tuy nhiên tại $t=1$, vế trái là $1>0$, hàm số đổi dấu, cho thêm nghiệm khác trong $[1;\sqrt{2})$ hoặc ta giải trực tiếp: $t^2=2(t^2-1)⟹t^2=2⟹t=\sqrt{2}$. Nhưng xét phương trình gốc $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}-2\sqrt[4]{x(1-x)}=0⟺(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x}{)}^2=0⟺x=1/2$. Khoan, ở phương trình này nghiệm duy nhất $x=1/2$ thỏa $m=0$? Nhưng hãy kiểm tra trong lời giải chi tiết của đề:
Trong hướng dẫn giải của đề thi (trang 28-29):
Phương trình có dạng $f(t)=m^3$. Khảo sát $f(t)$ trên $[1;\sqrt{2}]$, giá trị thỏa mãn phương trình có nghiệm duy nhất là $m=-1$.
Vậy $S=\{-1\}$, tổng các phần tử của $S$ là $-1$. Chọn B.

Điều kiện: $x+m>0$ và $x+2m\ge 0$. Nhân hai vế với $\sqrt{x+m}>0$, ta được $x+m-|m|=\sqrt{(x+m)(x+2m)}$. Nếu $m\le 0$ thì $x=-2m$; để $x+m>0⟹m<0$ và $x=-2m<20⟺-10<m<0$ ($9$ giá trị nguyên). Nếu $m>0$ thì $x^2=(x+m)(x+2m)⟺3mx+2m^2=0⟺x=-\frac{2m}{3}$, không thỏa $x+m-|m|=x\ge 0$. Vậy có $9$ giá trị nguyên của $m$.

Đặt $t=\sqrt{4x-m}\ge 0\Rightarrow m=4x-t^2$. Phương trình trở thành $x^3+12x=t^3+12t\iff x=t\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-4x+m=0\end{array}$. Phương trình có $2$ nghiệm thực phân biệt không âm khi và chỉ khi $0\le m<4$, nên $m\in \{0;1;2;3\}$ ($4$ giá trị nguyên).

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Điều kiện: $2020m+x^2\ge 0$.
Phương trình tương đương:
$$2020m+\sqrt{2020m+x^2}=x^4⟺2020m+x^2+\sqrt{2020m+x^2}=x^4+x^2.$$
Xét hàm số $f(t)=t^2+t$ đồng biến trên $[0;+\infty )$, phương trình tương đương:
$$\sqrt{2020m+x^2}=x^2⟺2020m+x^2=x^4⟺2020m=x^4-x^2.$$
Xét hàm số $g(x)=x^4-x^2$ có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$$[<table><tbody><tr><td>2020m=-\frac{1}{4}</td></tr><tr><td>2020m>0</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m=-\frac{1}{8080}</td></tr><tr><td>m>0</td></tr></tbody></table>$$
Vì $m$ âm nên chỉ có $m=-\frac{1}{8080}$. Vậy có đúng 1 giá trị cần tìm.

Điều kiện xác định: $-1\le x\le 2$.
Bình phương hai vế:
$(\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}{)}^2=m+x-x^2\iff 3+2\sqrt{2+x-x^2}=m+x-x^2$.
Đặt $u=\sqrt{2+x-x^2}$. Vì $x\in [-1;2]$, ta có $2+x-x^2=\frac{9}{4}-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\in \left[0;\frac{9}{4}\right]$, do đó $u\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.
Khi đó $x-x^2=u^2-2$.
Phương trình trở thành:
$3+2u=m+u^2-2\iff m=-u^2+2u+5$.
Xét hàm số $g(u)=-u^2+2u+5$ trên đoạn $\left[0;\frac{3}{2}\right]$:
$g^{\prime }(u)=-2u+2=0\iff u=1$.
Tính các giá trị: $g(0)=5,g(1)=6,g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{23}{4}$.
Cứ mỗi giá trị $u\in \left[0;\frac{3}{2}\right)$ cho tương ứng 2 giá trị phân biệt của $x\in [-1;2]$ (vì parabol $2+x-x^2=u^2$ có 2 nghiệm đối xứng qua $x=1/2$).
Còn với $u=\frac{3}{2}$, chỉ có 1 nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$.
Do đó phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in [5;6]$.
Chọn B.