Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là:
$$S_{xq}=2\pi rh=2\pi \times 5\times 4=40\pi .$$

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh $3a$.
Do đó:
- Chiều cao hình trụ: $h=3a$.
- Đường kính đáy: $2r=3a⟹r=\frac{3a}{2}$.
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
$$S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi \cdot \frac{3a}{2}\cdot 3a+2\pi \cdot {\left(\frac{3a}{2}\right)}^2=9\pi a^2+\frac{9\pi a^2}{2}=\frac{27\pi a^2}{2}.$$

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Thể tích khối nón được tính bởi công thức:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h⟺2\pi a^3=\frac{1}{3}\pi a^{2}h⟺h=\frac{3\times 2\pi a^3}{\pi a^2}=6a.$$

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên $(ABCD)$.
Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SBA}=45^{\circ }$.
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $A⟹SA=AB=a$.
Diện tích đáy hình vuông là $S_{ABCD}=a^2$.
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a=\frac{a^3}{3}.$$

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Diện tích đáy $ABC$ vuông tại $A$ là:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Kẻ $AH\perp BC$ tại $H$. Vì $A^{\prime }A\perp (ABC)⟹A^{\prime }H\perp BC$ (định lý ba đường vuông góc).
Do đó góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{A^{\prime }HA}=30^{\circ }$.
Độ dài đường cao $AH$ trong tam giác vuông $ABC$:
$$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{4}{3a^2}⟹AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Chiều cao của lăng trụ:
$$A^{\prime }A=AH\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{2}.$$
Thể tích khối lăng trụ đứng là:
$$V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }A=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $x=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ nên $BM\perp AC$.
Lại có $BM\perp A{A}^{\prime }⟹BM\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tại $M$.
Do đó $M{C}^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $B{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ là góc $\widehat{B{C}^{\prime }M}=\alpha$.
Tam giác $BM{C}^{\prime }$ vuông tại $M$, ta có:
$$\cot \alpha =\frac{C^{\prime }M}{BM}=2⟹C^{\prime }M=2BM.$$
Tính $BM$:
$$BM=\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=a.$$
Suy ra $C^{\prime }M=2a$.
Trong hình chữ nhật $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ với chiều cao $h=C^{\prime }C$ và $MC=\frac{x}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$:
$$C^{\prime }{M}^2=C^{\prime }{C}^2+M{C}^2⟺4a^2=h^2+\frac{a^2}{3}⟺h^2=\frac{11a^2}{3}⟹h=a\sqrt{\frac{11}{3}}.$$
Diện tích đáy tam giác đều $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{4a^2}{3}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}.$$
Thể tích của khối lăng trụ đều là:
$$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}\cdot a\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{a^3\sqrt{11}}{3}=\frac{1}{3}{a}^3\sqrt{11}.$$

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Diện tích tam giác đáy $ABC$:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$
Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos 120^{\circ }=4+9-2(2)(3)\left(-\frac{1}{2}\right)=13+6=19⟹BC=\sqrt{19}.$$
Đặt $SA=h>0$.
Trong các tam giác vuông $SAB$ và $SAC$ với $AM\perp SB,AN\perp SC$:
$$SM\cdot SB=S{A}^2=h^2⟹\frac{SM}{SB}=\frac{h^2}{S{B}^2}=\frac{h^2}{h^2+4}.$$
$$SN\cdot SC=S{A}^2=h^2⟹\frac{SN}{SC}=\frac{h^2}{S{C}^2}=\frac{h^2}{h^2+9}.$$
Gọi $K=MN\cap BC$. Khi đó $AK$ là giao tuyến của $(AMN)$ và $(ABC)$.
Theo định lý Menelaus cho tam giác $SBC$ cắt bởi đường thẳng qua $M,N,K$:
$$\frac{KB}{KC}\cdot \frac{NC}{NS}\cdot \frac{MS}{MB}=1.$$
Kết hợp với góc giữa $(AMN)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$, giải tìm được chiều cao $h=\frac{2\sqrt{19}}{3}$.
Khi đó thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{19}}{3}=\frac{\sqrt{57}}{3}.$$

Ta có $|\vec{u}|=|\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SC}|=|\overrightarrow{CA}|=AC=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{6}$.

Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h=6\cdot 3=18$.

Từ công thức $V=\frac{1}{3}Bh\Rightarrow h=\frac{3V}{B}$.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2}{3}{a}^3$.

Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}{a}^2$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{1}{2}{a}^2\cdot 2a=a^3$.

Thể tích khối lăng trụ tam giác đều cạnh $a$ là $V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SB$ và đáy là $\widehat{SBA}=45^{\circ }\Rightarrow SA=AB\tan 45^{\circ }=a$. Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}SA\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{3}a\cdot a\cdot 2a=\frac{2a^3}{3}$.

Vì $S$ đối xứng với $O$ qua $C{D}^{\prime }\subset (CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên $d(S,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=d(O,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{a}{2}$. Thể tích khối đa diện $ABCDS{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}+V_{S.CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=a^3+\frac{1}{3}\cdot \frac{a}{2}\cdot a^2=\frac{7}{6}{a}^3$.

Chọn B.
Thể tích khối nón là:
$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (\sqrt{3}{)}^2\cdot 4=4\pi .$$

Chọn D.
Thể tích khối lăng trụ đứng là $V=B\cdot h=2a^2\cdot 3a=6a^3$.

Chọn D.
Diện tích xung quanh hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot 5\cdot 7=70\pi$.

Chọn C.
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}.$$

Chọn D.
Hai khối chóp $S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $S.ABC$ có chung đỉnh $S$ và đáy cùng nằm trên mặt phẳng $(ABC)$.
Ta có $\frac{S_{A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{S_{ABC}}=\frac{A{B}^{\prime }}{AB}\cdot \frac{A{C}^{\prime }}{AC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
Do đó $V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}{V}_{S.ABC}=\frac{1}{4}V$.