Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Chọn B.
Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h=3\cdot 2=6$.

Chọn D.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 3a=a^3$.

Chọn A.
Khối chóp $A.CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$, diện tích $S=(a\sqrt{2}{)}^2=2a^2$.
Chiều cao hạ từ $A$ đến mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ chính bằng cạnh $AD=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3.$$

Chọn C.
Diện tích đáy là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$$

Chọn D.
Khối chóp $A.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cùng đáy và cùng chiều cao với khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, nên thể tích bằng $\frac{1}{3}$ thể tích lăng trụ, tức là $V^{\prime }=\frac{V}{3}$.

Chọn A.
Thể tích khối trụ được tính bằng công thức $V=\pi R^{2}h$.

Chọn D.
Diện tích xung quanh khối nón là $S_{xq}=\pi rl$.
Suy ra độ dài đường sinh là $l=\frac{S_{xq}}{\pi r}=\frac{2\pi }{\pi \cdot \frac{1}{2}}=4\text{ cm}$.

Chọn A.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, ta có $SO\perp (ABCD)$.
Đáy có $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Chiều cao $h=SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}.$$

Chọn C.
Từ giả thiết ta xác định được chiều cao của hình chóp và diện tích đáy $\Delta BMN$. Thể tích khối chóp $S.BMN$ bằng $\frac{a^3}{12}$.

Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là $AB$.
Do đó góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}=60^{\circ }$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$, suy ra:
$SA=AB\cdot \tan \widehat{SBA}=a\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên diện tích là $S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích của khối chóp là:
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA\cdot S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3}{4}$.
Chọn C.

Thể tích khối lập phương cạnh $2a$ là $V=(2a{)}^3=8a^3$.
Chọn D.

Diện tích đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $S_{ABCD}=a^2$.
Chiều cao của khối chóp là $SA=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối chóp là:
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.
Chọn B.

Giả sử hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$, thể tích là $V=a^3$.
Trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, kéo dài $C^{\prime }I$ cắt $BC$ tại $J$.
Vì $I$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ nên $B$ là trung điểm của $JC\Rightarrow JB=BC=a$, do đó $JC=2a$.
Trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nối $JD$ cắt cạnh $AB$ tại $K$.
Theo định lí Ta-lét trong tam giác $JCD$ với $KB\parallel CD$:
$\frac{JK}{JD}=\frac{KB}{CD}=\frac{JB}{JC}=\frac{1}{2}\Rightarrow KB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}$, do đó $K$ là trung điểm của $AB$.
Thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng $(DI{C}^{\prime })$ là tứ giác $C^{\prime }IKD$.
Mặt phẳng $(DI{C}^{\prime })$ chia khối lập phương thành hai khối, trong đó khối chứa đỉnh $B$ có thể xem là khối đa diện $B.KID$ được tạo bởi việc trừ khối chóp $J.KBI$ khỏi khối chóp $J.CD{C}^{\prime }$:
$V_{J.CD{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot S_{\Delta JCD}\cdot C{C}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a\right)\cdot a=\frac{a^3}{3}$.
Khối chóp $J.KBI$ có:
$\frac{V_{J.KBI}}{V_{J.CD{C}^{\prime }}}=\frac{JK}{JD}\cdot \frac{JB}{JC}\cdot \frac{JI}{J{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\Rightarrow V_{J.KBI}=\frac{1}{8}{V}_{J.CD{C}^{\prime }}=\frac{a^3}{24}$.
Thể tích phần bé (chứa đỉnh $B$) là:
$V_1=V_{J.CD{C}^{\prime }}-V_{J.KBI}=\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{24}=\frac{7a^3}{24}$.
Thể tích phần lớn là:
$V_2=V-V_1=a^3-\frac{7a^3}{24}=\frac{17a^3}{24}$.
Tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn là:
$\frac{V_1}{V_2}=\frac{7}{17}$.
Chọn A.

Gọi $h$ là khoảng cách từ đỉnh $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ và $d$ là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $CD$.
Diện tích hình bình hành đáy là $S_{ABCD}=CD\cdot d=AB\cdot d$.
Ta có thể tích khối chóp là $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=48$.
Tứ giác $MBCN$ là hình thang có hai đáy $MB$ và $NC$, chiều cao là khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.
Theo giả thiết:
$MB=\frac{1}{2}AB$; $NC=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}AB$.
Diện tích hình thang $MBCN$ là:
$S_{MBCN}=\frac{MB+NC}{2}\cdot d=\frac{\frac{1}{2}AB+\frac{2}{3}AB}{2}\cdot d=\frac{7}{12}AB\cdot d=\frac{7}{12}{S}_{ABCD}$.
Vì khối chóp $S.MBCN$ và khối chóp $S.ABCD$ có chung đỉnh $S$ và cùng mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên thể tích tỉ lệ thuận với diện tích đáy:
$V_{S.MBCN}=\frac{S_{MBCN}}{S_{ABCD}}\cdot V_{S.ABCD}=\frac{7}{12}\cdot 48=28$.
Chọn C.

Thể tích tứ diện vuông $ABCD$ là:
$V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB\cdot AC\cdot AD=\frac{1}{6}\cdot 6a\cdot 9a\cdot 3a=27a^3$.
Gọi $I,F,E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CD,DB$.
Vì $M,N,P$ là trọng tâm các tam giác $ABC,ACD,ADB$ nên:
$\frac{AM}{AI}=\frac{AN}{AF}=\frac{AP}{AE}=\frac{2}{3}$.
Áp dụng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:
$\frac{V_{A.MNP}}{V_{A.IFE}}=\frac{AM}{AI}\cdot \frac{AN}{AF}\cdot \frac{AP}{AE}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$.
Mặt khác, tam giác $IFE$ tạo bởi trung điểm ba cạnh của tam giác $BCD$, nên diện tích $S_{\Delta IFE}=\frac{1}{4}{S}_{\Delta BCD}$.
Suy ra $V_{A.IFE}=\frac{1}{4}{V}_{A.BCD}=\frac{1}{4}{V}_{ABCD}$.
Do đó:
$V_{A.MNP}=\frac{8}{27}\cdot V_{A.IFE}=\frac{8}{27}\cdot \frac{1}{4}{V}_{ABCD}=\frac{2}{27}{V}_{ABCD}=\frac{2}{27}\cdot 27a^3=2a^3$.
Chọn A.

Hình bát diện đều cạnh $a$ có 8 mặt là các tam giác đều cạnh $a$.
Diện tích của mỗi mặt tam giác đều là $S_0=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều là:
$S=8\cdot S_0=8\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=2a^2\sqrt{3}$.
Chọn B.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có cạnh huyền $AC=2a$.
Ta có: $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2\iff 2A{B}^2=4a^2\iff AB=a\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác đáy $ABC$ là:
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}=a^2$.
Vì $H$ là trung điểm cạnh $AB$ nên $AH=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vì $A^{\prime }H\perp (ABC)$ nên tam giác $A^{\prime }HA$ vuông tại $H$:
$A^{\prime }H=\sqrt{A^{\prime }{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{2}}=\sqrt{\frac{3a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là:
$V=S_{\Delta ABC}\cdot A^{\prime }H=a^2\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$.
Chọn C.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Thể tích của khối trụ có chiều cao $h=l$ và bán kính đáy $r$ là:
$$V=B\cdot h=\pi r^{2}l.$$

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước $a=2\text{ cm}$, $b=3\text{ cm}$, $c=4\text{ cm}$ là:
$$V=a\cdot b\cdot c=2\times 3\times 4=24{\text{ cm}}^3.$$

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Diện tích đáy hình vuông là $B=3^2=9$.
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\times 9\times 4=12.$$