Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Chọn B.
Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi Rh$.
Theo giả thiết $S_{xq}=3\pi a^2$ và $R=a$, suy ra:
$$2\pi ah=3\pi a^2⟺h=\frac{3a}{2}.$$

Chọn C.
Vì $A^{\prime }B\perp (ABCD)$ nên $B$ là hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ trên $(ABCD)$.
Do đó góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }AB}=45^{\circ }$.
Suy ra tam giác $A^{\prime }AB$ vuông cân tại $B$, do đó $A^{\prime }B=AB$.
Khoảng cách từ $A$ đến $B{B}^{\prime }$ bằng $AB=1$, do đó $A^{\prime }B=1$.
Đồng thời khoảng cách từ $A$ đến $D{D}^{\prime }$ bằng 1. Vì $ABCD$ là hình bình hành có các khoảng cách đến $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ bằng nhau, kết hợp với góc giữa hai mặt phẳng bên bằng $60^{\circ }$, ta tính được diện tích đáy $S_{ABCD}=3$.
Khi đó thể tích khối hộp là:
$$V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }B=3\cdot 1=3.$$

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Bán kính đáy của hình nón là $r=l\cdot \cos 60^{\circ }=2a\cdot \frac{1}{2}=a$.
Diện tích xung quanh: $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot a\cdot 2a=2\pi a^2$.
Diện tích đáy: $S_d=\pi r^2=\pi a^2$.
Diện tích toàn phần: $S_{tp}=S_{xq}+S_d=2\pi a^2+\pi a^2=3\pi a^2$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Theo công thức tỉ số thể tích Simson cho khối chóp tam giác:
$$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SB}\cdot \frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}.$$
Do đó tỉ số $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.MNP}}=8$.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Trong tam giác vuông $ABC$ tại $C$ với $AC=a,\widehat{ABC}=30^{\circ }$:
$$BC=\frac{AC}{\tan 30^{\circ }}=a\sqrt{3}⟹S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Kẻ $SH\perp AB⟹SH\perp (ABC)$. Dựng $HP\perp AC$ và $HQ\perp BC$, ta có góc giữa các mặt bên $(SAC),(SBC)$ với đáy là $\widehat{SPH}=\widehat{SQH}=60^{\circ }$.
Suy ra $HP=HQ$, tức tứ giác $HPCQ$ là hình vuông. Đặt cạnh hình vuông là $x$:
$$x\sqrt{3}=a\sqrt{3}-x⟹x=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}.$$
Chiều cao của khối chóp: $SH=x\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{3a}{\sqrt{3}+1}$.
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3a}{\sqrt{3}+1}=\frac{3a^3}{2(\sqrt{3}+1)}.$$

Diện tích đáy hình vuông $ABCD$ là:
$S_{ABCD}=A{B}^2=(2a{)}^2=4a^2$.
Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$, ta có $SO\perp (ABCD)\Rightarrow SO=3a$.
Thể tích $V$ của khối chóp đã cho là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 4a^2\cdot 3a=4a^3$.
Chọn B.

Thể tích của khối chóp có chiều cao $h$ và diện tích đáy $B$ được tính theo công thức $V=\frac{1}{3}Bh$.
Chọn A.

Vì $H$ là trung điểm $AB$ nên $AH=\frac{a}{2}$.
Trong tam giác vuông $HAD$ tại $A$:
$HD=\sqrt{A{D}^2+A{H}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Vì $SH\perp (ABCD)$ nên tam giác $SHD$ vuông tại $H$:
$SH=\sqrt{S{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{13}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{13a^2}{4}-\frac{5a^2}{4}}=a\sqrt{2}$.
Diện tích đáy hình vuông $ABCD$ là $S_{ABCD}=a^2$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.
Chọn A.

Khối lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh $a$ nên diện tích đáy là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Chiều cao của lăng trụ bằng cạnh bên là $h=a$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.
Chọn A.

Diện tích đáy hình vuông cạnh $2a$ là $S=(2a{)}^2=4a^2$.
Chiều cao của khối chóp là $h=3a$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 4a^2\cdot 3a=4a^3$.
Chọn C.

Áp dụng công thức tỉ số thể tích đối với hình chóp tam giác (tứ diện):
$\frac{V_{MIJK}}{V_{MNPQ}}=\frac{MI}{MN}\cdot \frac{MJ}{MP}\cdot \frac{MK}{MQ}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.
Chọn C.

Diện tích đáy tam giác đều $ABC$ là $S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot SA$.
Theo giả thiết:
$\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot SA=\frac{a^3}{4}\iff \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot SA=\frac{a^3}{4}\iff SA=\frac{12a^3}{4a^2\sqrt{3}}=a\sqrt{3}$.
Chọn D.

Diện tích đáy tam giác đều $ABC$ là $S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Chiều cao của khối lăng trụ bằng hình chiếu vuông góc của cạnh bên lên phương thẳng đứng:
$h=A{A}^{\prime }\cdot \sin 60^{\circ }=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Thể tích của khối lăng trụ là:
$V=S_{\Delta ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$.
Chọn C.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có cạnh huyền $AC=2\Rightarrow AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác đáy là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA\cdot S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 1=\frac{4}{3}$.
Theo giả thiết, $H$ là trung điểm $SB\Rightarrow \frac{SH}{SB}=\frac{1}{2}$.
$KC=2KS\Rightarrow \frac{SK}{SC}=\frac{1}{3}$.
Tỉ số thể tích khối chóp $S.AHK$ so với $S.ABC$ là:
$\frac{V_{S.AHK}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}\cdot \frac{SH}{SB}\cdot \frac{SK}{SC}=1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\Rightarrow V_{S.AHK}=\frac{1}{6}{V}_{S.ABC}$.
Thể tích khối chóp $A.BHKC$ là:
$V_{A.BHKC}=V_{S.ABC}-V_{S.AHK}=\left(1-\frac{1}{6}\right)V_{S.ABC}=\frac{5}{6}\cdot \frac{4}{3}=\frac{10}{9}$.
Chọn B.

Thể tích của toàn bộ khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là:
$V_0=S_{\Delta ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.
Khối đa diện $ABC.MNP$ thu được bằng cách cắt bỏ 3 khối chóp tam giác ở các đỉnh trên: $A.A^{\prime }PM,B.B^{\prime }MN,C.C^{\prime }NP$.
Ba khối chóp này có thể tích bằng nhau:
$S_{\Delta A^{\prime }PM}=\frac{1}{4}{S}_{\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.
$V_{A.A^{\prime }PM}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta A^{\prime }PM}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{16}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{48}$.
Thể tích khối đa diện lồi $ABC.MNP$ là:
$V_{ABC.MNP}=V_0-3V_{A.A^{\prime }PM}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}-3\cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{48}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}-\frac{a^3\sqrt{3}}{16}=\frac{3a^3\sqrt{3}}{16}$.
Chọn C.

Gọi $I$ là trung điểm đoạn $BC$.
Tam giác $B^{\prime }{C}^{\prime }{I}^{\prime }$ nằm trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ có diện tích là:
$S_{\Delta B^{\prime }{C}^{\prime }{I}^{\prime }}=\frac{1}{2}{S}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}B$ (với $B$ là diện tích đáy của hình hộp).
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }BC$ nên khoảng cách từ $G$ đến $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ $I$ đến $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$:
$d(G,(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }))=\frac{2}{3}h$ (với $h$ là chiều cao hình hộp).
Thể tích khối tứ diện $G{B}^{\prime }{C}^{\prime }{I}^{\prime }$ là:
$V_{G{B}^{\prime }{C}^{\prime }{I}^{\prime }}=\frac{1}{3}d(G,(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }))\cdot S_{\Delta B^{\prime }{C}^{\prime }{I}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}h\cdot \frac{1}{2}B=\frac{1}{9}Bh=\frac{V}{9}$.
Chọn C.

Thể tích khối chóp $S.ABD$ là:
$V_{S.ABD}=\frac{1}{6}SA\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 1\cdot 2=\frac{2}{3}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông:
- Trong $\Delta ABD$ vuông tại $A$, đường cao $AP$:
$\frac{BP}{BD}=\frac{A{B}^2}{B{D}^2}=\frac{1}{5}\Rightarrow S_{\Delta ABP}=\frac{1}{5}{S}_{\Delta ABD}=\frac{1}{5}$.
- Trong $\Delta SAB$ vuông tại $A$, đường cao $AM$:
$\frac{BM}{BS}=\frac{B{A}^2}{B{S}^2}=\frac{1}{5}\Rightarrow d(M,(ABCD))=\frac{1}{5}SA=\frac{2}{5}$.
Suy ra: $V_{M.ABP}=\frac{1}{3}d(M,(ABCD))\cdot S_{\Delta ABP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{2}{75}$.
- Trong $\Delta SAD$ vuông cân tại $A$, đường cao $AN$:
$N$ là trung điểm $SD\Rightarrow d(N,(ABCD))=\frac{1}{2}SA=1$.
$S_{\Delta APD}=\frac{4}{5}{S}_{\Delta ABD}=\frac{4}{5}$.
Suy ra: $V_{N.APD}=\frac{1}{3}d(N,(ABCD))\cdot S_{\Delta APD}=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}$.
- Tỉ số thể tích: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABD}}=\frac{SM}{SB}\cdot \frac{SN}{SD}=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{5}\Rightarrow V_{S.AMN}=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{15}$.
Thể tích khối chóp $A.MNP$ là:
$V_{A.MNP}=V_{S.ABD}-V_{M.ABP}-V_{N.APD}-V_{S.AMN}=\frac{2}{3}-\frac{2}{75}-\frac{4}{15}-\frac{4}{15}=\frac{8}{75}$.
Chọn A.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng độ dài cạnh hình lập phương: $d(A,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=AD=2$.
Vì $\frac{C^{\prime }M}{C^{\prime }A}=\frac{1}{4}$ nên khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ là:
$d(M,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{1}{4}d(A,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}$.
Trong mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$, $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình vuông cạnh 2, diện tích $S_{CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=2^2=4$.
Vì $N$ là trung điểm của $C{D}^{\prime }$ nên diện tích tam giác $C{C}^{\prime }N$ là:
$S_{\Delta C{C}^{\prime }N}=\frac{1}{4}{S}_{CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot 4=1$.
Thể tích tứ diện $C{C}^{\prime }NM$ là:
$V_{C{C}^{\prime }NM}=\frac{1}{3}d(M,(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }))\cdot S_{\Delta C{C}^{\prime }N}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}$.
Chọn A.

Chọn C.
Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h$.

Chọn B.
Từ $\overrightarrow{SM}=2\overrightarrow{MA}\Rightarrow \frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}$.
Từ $\overrightarrow{SN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}\Rightarrow \frac{SN}{SC}=\frac{1}{3}$.
Áp dụng công thức tỉ số thể tích:
$$\frac{V_{S.MNB}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SC}\cdot \frac{SB}{SB}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot 1=\frac{2}{9}\Rightarrow V_{S.MNB}=\frac{2}{9}V.$$