Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Khối chóp $C.AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ có đáy $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ diện tích bằng $15$ và chiều cao $h=d(C,(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }))=6$. Thể tích khối chóp này là $V_{C.AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{1}{3}{S}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 15\cdot 6=30$. Mặt khác khối chóp $C.AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ chiếm $\frac{2}{3}$ thể tích của lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì khối tứ diện $C.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ chiếm $\frac{1}{3}$ thể tích lăng trụ). Do đó thể tích lăng trụ là $V=\frac{3}{2}{V}_{C.AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{3}{2}\cdot 30=45$.

Khối nón có bán kính đáy $R=OA=4\text{ cm}$, đường sinh $l=SA=5\text{ cm}$. Chiều cao hình nón là $h=SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\text{ cm}$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\cdot 3=16\pi {\text{ cm}}^3$.

Chu vi đáy là $C=2\pi R=20\text{ cm}\Rightarrow R=\frac{10}{\pi }\text{ cm}$. Diện tích đáy là $S=\pi R^2=\pi {\left(\frac{10}{\pi }\right)}^2=\frac{100}{\pi }{\text{ cm}}^2$. Thể tích khối trụ là $V_1=S\cdot h_1=\frac{100}{\pi }\cdot 40=\frac{4000}{\pi }{\text{ cm}}^3$. Thể tích khối nón là $V_2=\frac{1}{3}S\cdot h_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{100}{\pi }\cdot 10=\frac{1000}{3\pi }{\text{ cm}}^3$. Tổng thể tích của cái cột là $V=V_1+V_2=\frac{4000}{\pi }+\frac{1000}{3\pi }=\frac{13000}{3\pi }{\text{ cm}}^3$.

Gọi $K$ là trung điểm của $AB$. Ta có khoảng cách $d(N,(AGE))=\frac{1}{2}d(S,(AGE))$. Sử dụng tỉ số thể tích: $V_{N.AGE}=\frac{1}{2}{V}_{S.AGE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{SG}{SK}\cdot \frac{SE}{SN}\cdot V_{S.AKN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}{V}_{S.ABC}=\frac{1}{18}{V}_{S.ABC}$. Mà $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot 2a\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$. Do đó $V_{A.GEN}=V_{N.AGE}=\frac{1}{18}\cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{108}$.

Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ là: S xq = 2$\pi$ Rl = 2$\pi$ .8.3 = 48$\pi$ .

Chọn A

Chọn C

SC  ( SAB ) = S  \widehat
 $\Rightarrow$ ( SC  ( SAB ) ) = ( SC ; SB ) = CSB = 30 .
0
Ta có:
CB \perp ( SAB ) 

BC BC 2a
Xét tam giác SBC vuông tại B có: tan 300 = $\Rightarrow$ SB = 0
= = 2 3a .
SB tan 30 3
3

( 2a 3 ) - 4a = 2a 2 .
2
Xét tam giác SAB vuông tại A có: SA = 2

1 1 8a 3 2
Thể tích khối chóp VS . ABCD = .SA.S ABCD = .2a 2.4a 2 = .
3 3 3

Chọn A

Gọi I là tâm của đáy ABCD suy ra SI \perp ( ABCD ) .

1
Kẻ MH \perp ( ABCD ) $\Rightarrow$ NH // SI , NH = SI và H là trung điểm của đoạn AI đồng thời suy ra
2
(\widehat \widehat = 60 .
MN , ( ABCD ) ) = MNH

3 3 3a 2 1 a \widehat
Xét tam giác HCN có HC = AC = AB 2 + BC 2 = ; CN = BC = ; HCN = 45 ,
4 4 4 2 2
\widehat = 5 a 2 $\Rightarrow$ HN = a 10 .
theo định lý côsin ta có HN 2 = HC 2 + CN 2 - 2 HC.CN .cos HCN
8 4

\widehat = a 10 .tan 60 = a 30 $\Rightarrow$ SI = 2 HM = a 30 .
Do đó MH = HN .tan MNH
4 4 2

1 a2
Lại có diện tích của tam giác ABC là S ABC = AB.BC = .
2 2

1 a 3 30
Vậy VS . ABC = .SI .S ABC = .
3 12

a 3

Chọn C
2x -1

Thể tích của khối lăng trụ là $V=B\cdot h=9a^2\cdot 2a=18a^3$.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}B\cdot h=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 4a=\frac{4}{3}{a}^3$.

Ta có $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot a\cdot 2a=2\pi a^2$.

Kẻ $CH\perp BD$ tại $H$, ta có $CH=\frac{BC\cdot CD}{BD}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Góc giữa $(C^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{C^{\prime }HC}=30^{\circ }$, suy ra $C{C}^{\prime }=CH\tan 30^{\circ }=\frac{a}{2}$. Vậy $V=S_{ABCD}\cdot C{C}^{\prime }=a^2\sqrt{3}\cdot \frac{a}{2}$... (Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 001: Chọn B).

Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi a^2+2\pi ah=8\pi a^2\Rightarrow 2\pi ah=6\pi a^2\Rightarrow h=3a$.

Hình chiếu của $A^{\prime }C$ lên mặt phẳng $(ABC)$ là $AC$, nên góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }CA}=45^{\circ }$. Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông cân tại $A$ nên $A^{\prime }A=AC=a$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }A=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4}$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC=AB=3\text{ cm}$. Lăng trụ đứng nên tam giác $BC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$. Do đó $C{C}^{\prime }=\sqrt{B{C}^{\prime 2}-B{C}^2}=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2-3^2}=3\text{ cm}$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=\frac{9}{2}{\text{ cm}}^2$. Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot C{C}^{\prime }=\frac{9}{2}\cdot 3=\frac{27}{2}{\text{ cm}}^3$.

Độ dài đường chéo hình lập phương cạnh $x$ là $A{C}^{\prime }=x\sqrt{3}$. Theo bài ra $x\sqrt{3}=2a\sqrt{3}\Rightarrow x=2a$. Vậy thể tích khối lập phương là $V=x^3=(2a{)}^3=8a^3$.

Đường sinh của hình nón là $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Diện tích toàn phần của hình nón: $S_{tp}=\pi r^2+\pi rl=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$.

Diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$. Chiều cao $h=SA=a$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a=\frac{a^3}{3}$.

Trong hình nón, bán kính đáy $R$, chiều cao $h$ và đường sinh $l$ tạo thành tam giác vuông với cạnh huyền là $l$. Do đó $l^2=R^2+h^2\Rightarrow l=\sqrt{R^2+h^2}$.