Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$. Phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k=-\frac{1}{3}$ biến tứ diện $ABCD$ thành tứ diện $MNPQ$. Do đó tỉ số thể tích là $\frac{V_{MNPQ}}{V_{ABCD}}=|k{|}^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$. Suy ra $V_{MNPQ}=\frac{2022}{27}=\frac{674}{9}$ hay phân số tối giản với mẫu số $b\in [20;30]$ là $\frac{2022}{27}$ ($b=27,a=2022$). Khi đó $a+b=2022+27=2049$.

Thể tích của khối trụ có chiều cao $h=2$ và bán kính đáy $r=3$ là:
$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 2=18\pi .$

Chọn đáp án D.

Diện tích đáy của khối lăng trụ hình vuông là $B=a^2$.
Chiều cao của khối lăng trụ là $h=4a$.
Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
$V=B\cdot h=a^2\cdot 4a=4a^3.$

Chọn đáp án B.

Vì $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc tại $S$ nên thể tích khối tứ diện $SABC$ được tính theo công thức:
$V=\frac{1}{6}SA\cdot SB\cdot SC=\frac{1}{6}\cdot 3a\cdot 4a\cdot 5a=10a^3.$

Chọn đáp án C.

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$.
Theo giả thiết, năm mặt của khối chóp có diện tích bằng nhau, do đó bốn mặt bên $SAB,SBC,SCD,SDA$ có diện tích bằng nhau và bằng diện tích đáy $ABCD$.
Vì $S_{SAB}=S_{SCD}$ và $S_{SBC}=S_{SAD}$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ cách đều hai cặp cạnh đối $AB,CD$ và $AD,BC$. Do đó hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ chính là tâm $O$ của hình chữ nhật $ABCD$, tức là $SO\perp (ABCD)$ với $SO=3$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $OM\perp BC$ và $SM\perp BC$.
Diện tích tam giác $SBC$ bằng diện tích đáy $ABCD$:
$S_{SBC}=S_{ABCD}\iff \frac{1}{2}SM\cdot BC=AB\cdot BC\iff SM=2AB.$
Trong tam giác vuông $SOM$ vuông tại $O$, ta có:
$S{O}^2=S{M}^2-O{M}^2.$
Vì $OM=\frac{AB}{2}$, nên:
$S{O}^2=(2AB{)}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=4A{B}^2-\frac{A{B}^2}{4}=\frac{15A{B}^2}{4}\Rightarrow A{B}^2=\frac{4S{O}^2}{15}.$
Tương tự, gọi $N$ là trung điểm của $AB$, ta cũng có $B{C}^2=\frac{4S{O}^2}{15}$.
Suy ra $AB=BC$, tức đáy $ABCD$ là hình vuông có diện tích:
$S_{ABCD}=A{B}^2=\frac{4\cdot 3^2}{15}=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}.$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{12}{5}\cdot 3=\frac{12}{5}.$

Chọn đáp án B.

Gọi $G$ là giao điểm của đường chéo $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$. Khi đó $G$ là trọng tâm tam giác $A^{\prime }BD$ và $\frac{AG}{A{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$, suy ra:
$AG=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Lấy điểm $K$ đối xứng với $B$ qua $G$. Dựng hình lăng trụ $GDK.APN$.
Dễ thấy khoảng cách giữa các cạnh bên của hình lăng trụ $GDK.APN$ chính là khoảng cách từ các đỉnh $A^{\prime },B,D$ đến đường thẳng $A{C}^{\prime }=AG$.
Do đó, thiết diện vuông góc của hình lăng trụ này có diện tích bằng diện tích tam giác tạo bởi ba khoảng cách trên, tức là $S=\frac{\sqrt{6}}{12}$.
Thể tích khối lăng trụ $GDK.APN$ là:
$V=AG\cdot S=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{6}}{12}=\frac{\sqrt{18}}{36}=\frac{3\sqrt{2}}{36}=\frac{\sqrt{2}}{12}.$
Mặt khác, thể tích khối lăng trụ $GDK.APN$ bằng thể tích khối tứ diện $A.A^{\prime }BD$ và bằng $\frac{1}{6}$ thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
Do đó, thể tích của khối hộp đã cho là:
$V_{\text{hộp}}=6V=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Chọn đáp án A.

Diện tích đáy hình vuông là $B=a^2$.

Thể tích khối chóp là:
$V=\frac{1}{3}B\cdot h=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot 4a=\frac{4}{3}{a}^3.$

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là:
$V=B\cdot h=3a^2\cdot a=3a^3.$

Chiều cao khối trụ: $h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{5\pi }{\pi \cdot 1^2}=5$.

Diện tích toàn phần của hình trụ là:
$S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi \cdot 1\cdot 5+2\pi \cdot 1^2=12\pi .$

Diện tích đáy chữ nhật: $S_{ABCD}=AB\cdot AD=3a\cdot 4a=12a^2$.

Ta có $AK\perp SD$ và $AK\perp CD$ (do $CD\perp (SAD)$) nên $AK\perp (SCD)⟹AK\perp SC$.
Tương tự $AH\perp (SBC)⟹AH\perp SC$.
Suy ra $SC\perp (AHK)$, do đó góc giữa mặt phẳng $(AHK)$ và đáy $(ABCD)$ chính bằng góc tạo bởi $SC$ và đường vuông góc với đáy $SA$, tức là góc $\widehat{ASC}=30^{\circ }$.

Đường chéo đáy: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(3a{)}^2+(4a{)}^2}=5a$.
Trong tam giác vuông $SAC$ vuông tại $A$:
$SA = \dfrac{{AC}}{{\tan 30^\circ}} = \dfrac{{5a}}{{\frac{1}{{\sqrt}}}}

a^3.$

Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy của hình nón, $I$ là trung điểm của dây cung $AB$.
Ta có $OI\perp AB$ và $SI\perp AB$, nên góc giữa $(\alpha )$ và mặt đáy là $\widehat{SIO}=30^{\circ }$.

Trong tam giác vuông $SOI$ vuông tại $O$:
$OI=\frac{SO}{\tan 30^{\circ }}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=3a$
Bán kính đường tròn đáy của hình nón:
$R=OA=\sqrt{O{I}^2+I{A}^2}=\sqrt{(3a{)}^2+(4a{)}^2}=5a$
Độ dài đường sinh của hình nón:
$l=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2+(5a{)}^2}=\sqrt{3a^2+25a^2}=2a\sqrt{7}$
Diện tích xung quanh của hình nón là:
$S_{xq}=\pi Rl=\pi \cdot 5a\cdot 2a\sqrt{7}=10\sqrt{7}\pi a^2.$

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 5a^2\cdot a=\frac{5}{3}{a}^3$.
Chọn đáp án B.

Thể tích khối tứ diện $ABCD$ là:
$V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB\cdot AC\cdot AD=\frac{1}{6}\cdot a\cdot 2a\cdot 3a=a^3$.
Gọi tọa độ trọng tâm tương đối của điểm $M$ đối với tam giác $BCD$ là $(x;y;z)$ với $x+y+z=1$ ($x,y,z>0$).
Khi đó khối tứ diện $M{B}_1{C}_1{D}_1$ có thể tích là:
$V_{M{B}_1{C}_1{D}_1}=xyz\cdot V_{ABCD}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$xyz\le {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$.
Suy ra $V_{\max }=\frac{1}{27}{V}_{ABCD}=\frac{a^3}{27}$.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là trọng tâm tam giác $BCD$.
Chọn đáp án B.

Thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 6^2\cdot 3=108\pi$.
Chọn đáp án C.

Thể tích khối lập phương cạnh $3a$ là $V=(3a{)}^3=27a^3$.
Chọn đáp án D.

Độ dài đường sinh của hình nón là:
$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2+a^2}=\sqrt{4a^2}=2a$.
Diện tích xung quanh là:
$S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot a\cdot 2a=2\pi a^2$.
Chọn đáp án A.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}OA\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\right)=6$. Chọn B.

Công thức diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi rl$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn D.

Diện tích đáy hình vuông là $B=2^2=4$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 6=8$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.

Đáy của lăng trụ tam giác đều là tam giác đều cạnh $a=\sqrt{3}$, diện tích đáy là $B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Chiều cao của lăng trụ bằng cạnh bên: $h=\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=Bh=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{3}=\frac{9}{4}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.