Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=2$, tức $cx+b=0\iff x=-\frac{b}{c}=2$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1$: $y(0)=\frac{2}{b}=-1\Rightarrow b=-2$. Suy ra $-\frac{-2}{c}=2\Rightarrow c=1$. Vậy $b=-2,c=1$, khớp với đáp án D (đáp án nguồn: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5x-1}{2x+6}$ xác định khi $2x+6\ne 0\iff x\ne -3$. Khi $x\to -3$ thì mẫu số tiến về 0 trong khi tử số $5(-3)-1=-16\ne 0$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-3$. Tiệm cận ngang: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5x-1}{2x+6}=\frac{5}{2}$, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{5}{2}$. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên $x=-2$ là tiệm cận đứng. Tương tự, khi $x\to 2^{\pm }$ thì $f(x)\to \pm \infty$, nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có 2 tiệm cận đứng. Về tiệm cận ngang: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang (một bên đủ để kết luận); khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to -\infty$ nên không có thêm tiệm cận ngang bên phải. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+1=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$, tức ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)={\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$. Do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=2$. (Chú ý: $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng vì $f(x)\to +\infty$ khi $x\to -{\frac{1}{2}}^{-}$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -{\frac{1}{2}}^{+}$.) Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x-\sqrt{x^2+2x+3}$. Khi $x\to +\infty$: $\sqrt{x^2+2x+3}=x\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}\approx x+1$, nên $y\approx x-(x+1)=-1$. Khi $x\to -\infty$: $\sqrt{x^2+2x+3}\approx -x-1$, nên $y\approx x-(-x-1)=2x+1\to -\infty$ (không phải tiệm cận ngang). Vậy tiệm cận ngang là $y=-1$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=3$; vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-3$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-3$. Hai giới hạn này khác nhau nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=3$ và $y=-3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to -2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-2$. Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Hai giá trị này khác nhau, do đó đồ thị có 2 tiệm cận ngang. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{x\to 9^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=9$. Còn $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=2$ chỉ là giới hạn một bên tại điểm hữu hạn $x=2$ (nội miền), không phải giới hạn khi $x\to \pm \infty$, nên không tạo ra tiệm cận ngang $y=2$. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-1$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$. (Tại $x=1$ hàm số có tiệm cận đứng, không phải ngang.) Vậy số đường tiệm cận ngang là 2, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ suy ra đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Từ $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$ suy ra đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$. Vậy đồ thị có hai tiệm cận đứng phân biệt là $x=2$ và $x=-2$, do đó chọn A. Các phương án B, C, D đều sai vì không phản ánh đầy đủ hai tiệm cận đứng này.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x+1}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng màu xanh (tiệm cận xiên) đi qua gốc tọa độ $O$ và có hệ số góc dương bằng 1 (đi qua các điểm như $(1;1)$, $(-1;-1)$). Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị hàm số $y=f(x)$ (đường màu hồng) tiến dần đến đường thẳng này, tức là ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-x]=0$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-2x+3}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+2}{x-1}=x-1+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: có hai đường tiệm cận đứng (hai đường nét đứt thẳng đứng) và một đường tiệm cận ngang (đường nét đứt nằm ngang khi $x\to \pm \infty$). Vậy tổng số tiệm cận là $2+1=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử số bằng bậc mẫu số, ta xét giới hạn khi $x\to \pm \infty$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x^2-3}{x^2-1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1$. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$ (đúng như hình vẽ, hai nhánh đồ thị tiến về đường thẳng $y=1$ khi $x\to \pm \infty$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số tiến đến vô cùng khi $x\to 2$ và $x\to -2$ (hai đường tiệm cận đứng nét đứt tại $x=2$ và $x=-2$). Vậy tiệm cận đứng là $x=2$ và $x=-2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$ (bên trái). Khi $x\to 1^{-}$, $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$, $f(x)\to 3$ (giá trị hữu hạn khác $+\infty$ ngay sát phải), nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 5$ nên có thêm tiệm cận ngang $y=5$ (bên phải). Vậy tổng số tiệm cận ngang (2: $y=0$ và $y=5$) và tiệm cận đứng (1: $x=1$) là $2+1=3$.