Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ của Câu 70: đồ thị có đường thẳng đứng $x=x_0$ mà khi $x\to x_0^{+}$ và $x\to x_0^{-}$ thì $f(x)\to \pm \infty$, nên đồ thị có một đường tiệm cận đứng. Ngoài ra, khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến gần đến một đường thẳng nghiêng (nhánh đồ thị ở hai đầu bám theo một đường thẳng có hệ số góc khác 0), tức là có một đường tiệm cận xiên. Đồ thị không có tiệm cận ngang (vì $f(x)$ không tiến tới hằng số khi $x\to \pm \infty$). Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận đứng là $x=2$ (đường đứt nét dọc qua $x=2$) và tiệm cận ngang là $y=1$ (đường đứt nét ngang qua $y=1$). Giao điểm của hai tiệm cận là $I(2;1)$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x+5}{x+2}=\frac{(x+2)(x+1)+3}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 74: Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng nét liền đi qua điểm $(-1;0)$ (cắt trục hoành tại $-1$) và cắt trục tung tại $(0;1)$. Hệ số góc $a=\frac{1-0}{0-(-1)}=1$, nên phương trình đường thẳng là $y=x+1$. Kiểm tra điểm $(-2;-1)$: $-2+1=-1$ đúng. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+1$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y = x/(x²−9). a) Điều kiện: x²−9≠0 ⟺ x≠±3, nên D = ℝ\{−3;3}: đúng. b) y=0 ⟺ x=0, và x=0 thuộc tập xác định, đồ thị cắt trục hoành tại (0;0): sai. c) Bậc tử < bậc mẫu nên lim y = 0 khi x→±∞, tiệm cận ngang y=0: đúng. d) Đồ thị có 2 tiệm cận đứng x=±3 và 1 tiệm cận ngang y=0, tổng cộng 3 đường tiệm cận: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
x²−9=0 ⟺ x=±3 nên D = ℝ\{−3;3}.
b) (AI giải đề cho tôi)
y=0 khi x=0, điểm (0;0) thuộc đồ thị nên đồ thị cắt trục hoành.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên lim_{x→±∞} y = 0, tiệm cận ngang y=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 2 tiệm cận đứng x=−3, x=3 và 1 tiệm cận ngang y=0, tức 3 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=\frac{(x+2{)}^2+1}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$, xác định với $x\ne -2$.
- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên TCĐ là $x=-2$, không phải $x=2$ → a sai.
- Tiệm cận xiên: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+2)\right]=\lim \frac{1}{x+2}=0$ nên TCX là $y=x+2$, không phải $y=x-1$ → b sai.
- Vậy $x=-2$ và $y=x+2$ lần lượt là TCĐ và TCX của $(C)$ → c đúng.
- Giao điểm hai tiệm cận: $x=-2$, $y=0$, tức $I(-2;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :3x+4y+1=0$ là $\frac{|3(-2)+4(0)+1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-5|}{5}=1$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là $x=-2$ (do mẫu $x+2=0$), không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ nên TCX là $y=x+2$, không phải $y=x-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là $x=-2$ và TCX là $y=x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm hai tiệm cận là $I(-2;0)$; $d(I,\Delta )=\frac{|-6+1|}{5}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x+1}{3-x}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. a) $y^{\prime }=\frac{4(3-x)+(4x+1)}{(3-x{)}^2}=\frac{13}{(3-x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 3$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$ → đúng. b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\lim \frac{4x+1}{3-x}=-4$, nên tiệm cận ngang là $y=-4$, không phải $y=4$ → sai. c) ${\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=3$ → đúng. d) Viết $y=-4+\frac{13}{3-x}$. Với $M(x;y)$ trên (C): khoảng cách đến tiệm cận ngang $y=-4$ là $\left|y+4\right|=\frac{13}{|3-x|}$; khoảng cách đến tiệm cận đứng $x=3$ là $|x-3|=|3-x|$. Tích bằng $\frac{13}{|3-x|}\cdot |3-x|=13\ne 14$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{13}{(3-x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 3$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4x+1}{3-x}=-4$, tiệm cận ngang là $y=-4$ chứ không phải $y=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{4x+1}{3-x}=+\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M(x;y)$ trên (C), $y=-4+\frac{13}{3-x}$. Tích khoảng cách $=\frac{13}{|3-x|}\cdot |3-x|=13\ne 14$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+3-\frac{5}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Khi $x\to -1^{\pm }$ thì $-\frac{5}{x+1}\to \mp \infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng: đúng.
b) Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$, không tồn tại giới hạn hữu hạn ${\lim }_{x\to \pm \infty }y$, nên không có tiệm cận ngang: đúng.
c) $y=0\iff x+3-\frac{5}{x+1}=0\iff \frac{(x+3)(x+1)-5}{x+1}=0\iff x^2+4x-2=0\iff x=-2\pm \sqrt{6}$. Với $x=3$ thì $y=6-\frac{5}{4}=\frac{19}{4}\ne 0$, nên đồ thị không cắt trục hoành tại $(3;0)$: sai.
d) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+3)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-5}{x+1}=0$, nên $y=x+3$ là tiệm cận xiên: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -1^{\pm }$, $-\frac{5}{x+1}\to \mp \infty$ nên $x=-1$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$, không tồn tại giới hạn hữu hạn nên không có tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$: $y=6-\frac{5}{4}=\frac{19}{4}\ne 0$. Nghiệm của $y=0$ là $x=-2\pm \sqrt{6}$, không phải $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }[y-(x+3)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-5}{x+1}=0$ nên $y=x+3$ là tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ (nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -1^{+}$ và $x\to -1^{-}$). Đồ thị còn tiến gần đường thẳng $y=x-1$ (đi qua điểm $(0;-1)$ với hệ số góc 1) khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x-1$. Vì có tiệm cận xiên nên không có tiệm cận ngang. Vậy:

a) Đúng - đồ thị không có tiệm cận ngang ($\lim \frac{f(x)}{x}=1\ne 0$).

b) Sai - đồ thị có hai đường tiệm cận (một đứng $x=-1$ và một xiên $y=x-1$).

c) Sai - tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $y=-1$ ($y=-1$ là một đường thẳng nằm ngang, không thể là tiệm cận đứng).

d) Đúng - tiệm cận xiên là $y=x-1$.

a) Đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-1$ nên không có tiệm cận ngang.

b) Đồ thị có hai đường tiệm cận: đứng $x=-1$ và xiên $y=x-1$.

c) Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$, không phải $y=-1$.

d) Từ hình, đồ thị tiến đến đường thẳng đi qua $(0;-1)$ có hệ số góc 1 khi $x\to \pm \infty$, tức tiệm cận xiên $y=x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $f(x)=\frac{x^2+ax+5}{x-1}=x+b+\frac{c}{x-1}$ với $(x-1)(x+b)=x^2+(b-1)x-b$. Suy ra $b-1=a$ và $-b=5\Rightarrow b=-5$, do đó $a=-6$. Tiệm cận xiên là $y=x-5$. Kiểm tra qua $M(3;-2)$: $3-5=-2$ ✓. Vậy $a=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+2}{x-3}=x+1+\frac{5}{x-3}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+1$, tức $\alpha =1$, $b=1$. Suy ra $2{\alpha }^2-b=2-1=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$ nên $x=-1$, tức $a=-1$. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$ nên $y=3$, tức $b=3$. Vậy $a+b=-1+3=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+7}{x-3}=x-2+\frac{1}{x-3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$, tức $a=1$, $b=-2$. Vậy $a+b=1+(-2)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều rộng là $\frac{100}{x}$, nên $P(x)=2\left(x+\frac{100}{x}\right)$, xác định trên $(0;+\infty )$. Khi $x\to 0^{+}$ thì $P(x)\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to +\infty$ thì $P(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)$ là hàm bậc bốn, từ bảng biến thiên ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$. Đường tiệm cận ngang $y=L$ tồn tại khi ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=L$ hữu hạn. Vì cả hai giới hạn đều là $-\infty$ (vô hạn), đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang nào. Vậy đáp số là $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$, chi phí năm tiệm cận với tiệm cận ngang của $f(x)=\frac{2000x-1500}{35x+5}$: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\frac{2000}{35}=\frac{400}{7}\approx 57,142857$ (triệu đồng). Làm tròn đến 1 chữ số thập phân ta được $57,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-3x-7}{x+2}=x-5+\frac{3}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-5$. Kiểm tra: $(x+2)(x-5)=x^2-3x-10$, cộng $3$ được $x^2-3x-7$ — đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ nên A đúng; có tiệm cận xiên $y=x+1$ nên B đúng; khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ nên C đúng. Trên hình, điểm $A(1;1)$ là điểm cực đại của nhánh bên trái tiệm cận đứng, không nằm trên trục $Ox$; đồ thị cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ khoảng $x=-1$, không phải tại $A(0;1)$. Vậy khẳng định D SAI.