Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=1$. Giao điểm $I(-2;1)$ nên $T=a+b=-2+1=-1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Nhánh bên trái ($x<1$) đi lên tới $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$, nhánh bên phải đi xuống tới $-\infty$ khi $x\to 1^{+}$. Do đó ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$: khẳng định C đúng. A sai vì hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0$ không có cực trị. B sai vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{a}{c}=1$ (tiệm cận ngang). D sai vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, hàm số gián đoạn tại $x=-2$ (y' âm trên hai khoảng, khi $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $y\to +\infty$). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+2025}{x-2}=x-3+\frac{2019}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2019}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x}{x^2-1}$ xác định khi $x^2-1\ne 0$, tức $x=\pm 1$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{4x}{x^2-1}=\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{4x}{x^2-1}=\infty$, nên $x=-1$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $x^2-x+2=(x-2)(x+1)+4$ nên $f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=2$. Đúng.
b) Vì $f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-2}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$ nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên. Đúng.
c) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-2{)}^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}$. Trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$, tức hàm số đồng biến (không phải nghịch biến). Sai.
d) $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=4$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=4$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu (cực đại tại $x=0$). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{\pm }}\frac{x^2-x+2}{x-2}=\pm \infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$, nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$, hàm đồng biến trên các khoảng đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=4$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu; cực đại tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-4x-2}{x-1}=x-3-\frac{5}{x-1}$. Vậy tiệm cận xiên là $d:y=x-3$. Kiểm tra các điểm: $M(1;1)$: $1\ne 1-3=-2$; $N(2;-3)$: $-3\ne -1$; $P(-1;-4)$: $-1-3=-4$ đúng; $Q(5;1)$: $1\ne 2$. Vậy $d$ đi qua $P(-1;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của Câu 10: khi $x\to -2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ (nhánh trái đi từ $1$ xuống $-\infty$), và khi $x\to -2^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$ (nhánh phải xuất phát từ $+\infty$ rồi giảm về $1$ khi $x\to +\infty$). Vì hàm số tiến tới vô cùng khi $x\to -2$, đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (Lưu ý: khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận đứng.) Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{3x^2-5x+3}{2x-1}=\frac{3}{2}x-\frac{7}{4}+\frac{5}{4(2x-1)}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{4(2x-1)}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{4}$, tức $a=\frac{3}{2},b=-\frac{7}{4}$. Suy ra $2a+4b=3-7=-4$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $\frac{4x^2-7x+1}{3x-1}=\frac{4}{3}x-\frac{17}{9}-\frac{8/9}{3x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, phần dư tiến về 0 nên tiệm cận xiên là $y=\frac{4}{3}x-\frac{17}{9}$, tức $a=\frac{4}{3},b=-\frac{17}{9}$. Kiểm tra: $\left(\frac{4}{3}x-\frac{17}{9}\right)(3x-1)=4x^2-\frac{17}{3}x-\frac{4}{3}x+\frac{17}{9}=4x^2-7x+\frac{17}{9}$, khớp tử số trừ phần dư $-\frac{8}{9}$. Vậy $3a+9b=3\cdot \frac{4}{3}+9\cdot \left(-\frac{17}{9}\right)=4-17=-13$, trùng với đáp án nguồn $-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $\frac{x^2-2x+6}{x+1}=x-3+\frac{9}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{9}{x+1}\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 110, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-2}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{3x+1}{x-2}=+\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-2}=3$ nên $y=3$ là tiệm cận ngang. Vậy a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng, khớp với đáp án nguồn a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-2}=3$ nên $y=3$ là tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-2}=3\ne 2$ nên $y=2$ không phải tiệm cận.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định tại $x=3$ ($y=10$), nên $x=3$ không phải tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{3x+1}{x-2}=+\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-4x+3}{2x+2}$ xác định với $x\ne -1$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $2x+2=0\Rightarrow x=-1$; tiệm cận ngang $y=\frac{-4}{2}=-2$. Vậy tâm đối xứng là $(-1;-2)$, trùng với đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 110: Câu 5 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+2x-3}{x+4}=x-2+\frac{5}{x+4}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x+4}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$. Kiểm tra các điểm: $M(3;1)$: $3-2=1$ đúng; $N(2;2)$: $2-2=0\ne 2$; $Q(0;2)$: $0-2=-2\ne 2$; $P(2;3)$: $2-2=0\ne 3$. Vậy tiệm cận xiên đi qua điểm $M(3;1)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+2025}{x-2}=x+\frac{2025}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2025}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 10$ nên $y=10$ là tiệm cận ngang. Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ có dấu || và $f(x)\to -\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Tổng: 2 tiệm cận ngang + 1 tiệm cận đứng = 3 đường.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{(x+1{)}^2+1}$. Xét $x\to +\infty$: $\frac{y}{x}=\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}\to 1$ và $y-x=\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}+x}\to 1$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$ khi $x\to +\infty$. Xét $x\to -\infty$: $\frac{y}{-x}\to 1$ và $y-(-x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}-x}\to -1$, nên có tiệm cận xiên $y=-x-1$ khi $x\to -\infty$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận xiên, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-4x+5}{x+3}=-4+\frac{17}{x+3}$, có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận ngang $y=-4$; $y^{\prime }=\frac{-17}{(x+3{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
a) Hai tiệm cận cùng hai trục tạo thành hình chữ nhật với các đỉnh $(0;0),(-3;0),(-3;-4),(0;-4)$, diện tích $3\times 4=12$. Đúng.
b) Trên $[0;5]$ hàm nghịch biến nên GTLN tại $x=0$: $y(0)=\frac{5}{3}$. Đúng.
c) Giao điểm hai tiệm cận là $I(-3;-4)$. Đúng.
d) Trên $[-2;-1]$ hàm nghịch biến: $y(-2)=\frac{13}{1}=13$, $y(-1)=\frac{9}{2}$. Tổng max + min $=13+\frac{9}{2}=\frac{35}{2}=17,5\ne 35$. Sai (đúng ra là $\frac{35}{2}$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận $x=-3$, $y=-4$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật diện tích $3\times 4=12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[0;5]$ nên GTLN $=y(0)=\frac{5}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận ngang $y=-4$ là $I(-3;-4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;-1]$: max $=y(-2)=13$, min $=y(-1)=\frac{9}{2}$, tổng $=\frac{35}{2}=17,5\ne 35$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: khi $x\to 1^{\pm }$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến gần đường thẳng $y=x$ (đường được vẽ nét mảnh trên hình) nên có thêm tiệm cận xiên $y=x$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận (1 đứng và 1 xiên). Điều này khớp với đáp án A.

Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận xiên. Vậy tổng cộng có 2 đường tiệm cận.