Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Nhánh bên trái ($x<1$) đi lên tới $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$, nhánh bên phải đi xuống tới $-\infty$ khi $x\to 1^{+}$. Do đó ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$: khẳng định C đúng. A sai vì hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne 0$ không có cực trị. B sai vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{a}{c}=1$ (tiệm cận ngang). D sai vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại hàm số: $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}=-x+2-\frac{1}{x+1}$ (vì $-x^2+x+1=(x+1)(-x+2)-1$).
a) Tiệm cận xiên là $y=-x+2$; tại $x=1$ thì $y=1\ne 2$ nên đường này KHÔNG đi qua $A(1;2)$ → Sai.
b) Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → Sai.
c) ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$ → Đúng.
d) $y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Hàm đồng biến khi $|x+1|>1$ tức $x<-2$ hoặc $x>0$. Trên khoảng $(-3;6)$ có $y^{\prime }<0$ tại ví dụ $x=-1,5$ (và hàm không xác định tại $x=-1$) nên hàm không đồng biến trên cả khoảng → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên là $y=-x+2$; tại $x=1$ có $y=1\ne 2$, nên không đi qua $A(1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x+1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}$; hàm đồng biến khi $x<-2$ hoặc $x>0$. Trên $(-3;6)$ có $y^{\prime }<0$ (ví dụ $x=-1,5$) và hàm không xác định tại $x=-1$, nên không đồng biến trên cả khoảng.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2+bx+c}{mx}=\frac{x}{m}+\frac{b}{m}+\frac{c}{mx}$. Tiệm cận xiên có hệ số góc $\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}\Rightarrow m=-2$. Đồ thị qua $A(1;1)$: $\frac{1+b+c}{-2}=1\Rightarrow b+c=-3$. Qua $B(5;1)$: $\frac{25+5b+c}{-10}=1\Rightarrow 5b+c=-35$. Trừ hai phương trình: $4b=-32\Rightarrow b=-8$, suy ra $c=5$. Vậy $f(-1)=\frac{1-8+5}{-2\cdot (-1)}=\frac{-2}{2}=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x+1}\to 0$ nên $y=x-1-\frac{2}{x+1}\to x-1$. Vậy tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-1$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+1}=1$, nên tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, hàm số gián đoạn tại $x=-2$ (y' âm trên hai khoảng, khi $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $y\to +\infty$). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+2025}{x-2}=x-3+\frac{2019}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2019}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{a{x}^2+bx+2025}{x+2}=ax+(b-2a)+\frac{2025-2(b-2a)}{x+2}$. Tiệm cận xiên là $y=ax+(b-2a)=x+4$, suy ra $a=1$ và $b-2a=4\Rightarrow b=6$. Khi đó $P=a^2+b^2=1+36=37$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ xác định với $x\ne -1$. Tại $x=-1$, mẫu số bằng 0 và tử số $2(-1)+1=-1\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{2x+1}{x+1}=\pm \infty$. Do đó đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (Ngoài ra $y=2$ là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận đứng.) Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x}{x^2-1}$ xác định khi $x^2-1\ne 0$, tức $x=\pm 1$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{4x}{x^2-1}=\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{4x}{x^2-1}=\infty$, nên $x=-1$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$. Tại $x=2$, mẫu số bằng 0 và tử số $2\cdot 2-1=3\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $x^2-x+2=(x-2)(x+1)+4$ nên $f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=2$. Đúng.
b) Vì $f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-2}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$ nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên. Đúng.
c) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-2{)}^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}$. Trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$, tức hàm số đồng biến (không phải nghịch biến). Sai.
d) $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=4$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=4$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu (cực đại tại $x=0$). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{\pm }}\frac{x^2-x+2}{x-2}=\pm \infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$, nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$, hàm đồng biến trên các khoảng đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=4$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu; cực đại tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x+1}{(3-x)\sqrt{x-m}}$, tập xác định: $x>m$, $x\ne 3$.

Tiệm cận ngang: khi $x\to +\infty$, $y\to 0$, nên $y=0$ luôn là tiệm cận ngang (tập xác định luôn chặn dưới nhưng không chặn trên).

Tiệm cận đứng:
- $x=3$: là tiệm cận đứng khi $3$ thuộc giới hạn được xét, tức $m<3$ (khi đó $x\to 3^{\pm }$, mẫu $\to 0$, tử $\to 4\ne 0$). Nếu $m\ge 3$ thì $x=3$ không nằm trong miền xác định lân cận... thực chất với $m=3$, khi $x\to 3^{+}$ mẫu $\to 0^{+}$, tử $=4\ne 0$ nên $x=3$ vẫn là tiệm cận đứng (miền xác định $(3;+\infty )$).
- $x=m$: là biên của tập xác định; ${\lim }_{x\to m^{+}}\frac{x+1}{(3-x)\sqrt{x-m}}=\frac{m+1}{(3-m)\cdot 0^{+}}$ vô cực khi $m+1\ne 0$ và $m\ne 3$. Nếu $m=-1$ thì $\frac{x+1}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}\to 0$, không phải tiệm cận.

Đếm số tiệm cận theo $m$:
- $m<3$, $m\ne -1$: có $x=m$, $x=3$, $y=0$ → 3 tiệm cận (loại).
- $m=-1$: có $x=3$, $y=0$ → đúng 2 tiệm cận (nhận).
- $m=3$: có $x=3$, $y=0$ → đúng 2 tiệm cận (nhận).
- $m>3$: có $x=m$, $y=0$ → đúng 2 tiệm cận (nhận).

Vậy $m=-1$ hoặc $m\ge 3$. Với $m\in [-50;50]$ nguyên: $m=-1$ cho 1 giá trị, $m\in \{3,4,\dots ,50\}$ cho 48 giá trị.

Tổng: $1+48=49$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-4x-2}{x-1}=x-3-\frac{5}{x-1}$. Vậy tiệm cận xiên là $d:y=x-3$. Kiểm tra các điểm: $M(1;1)$: $1\ne 1-3=-2$; $N(2;-3)$: $-3\ne -1$; $P(-1;-4)$: $-1-3=-4$ đúng; $Q(5;1)$: $1\ne 2$. Vậy $d$ đi qua $P(-1;-4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{2x+4}$ có bậc tử và bậc mẫu bằng nhau, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{2}=1$. Khớp với đáp án A trong bảng HDC (mã đề 0102).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của Câu 10: khi $x\to -2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ (nhánh trái đi từ $1$ xuống $-\infty$), và khi $x\to -2^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$ (nhánh phải xuất phát từ $+\infty$ rồi giảm về $1$ khi $x\to +\infty$). Vì hàm số tiến tới vô cùng khi $x\to -2$, đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (Lưu ý: khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận đứng.) Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{3x^2-5x+3}{2x-1}=\frac{3}{2}x-\frac{7}{4}+\frac{5}{4(2x-1)}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{4(2x-1)}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{4}$, tức $a=\frac{3}{2},b=-\frac{7}{4}$. Suy ra $2a+4b=3-7=-4$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $\frac{4x^2-7x+1}{3x-1}=\frac{4}{3}x-\frac{17}{9}-\frac{8/9}{3x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, phần dư tiến về 0 nên tiệm cận xiên là $y=\frac{4}{3}x-\frac{17}{9}$, tức $a=\frac{4}{3},b=-\frac{17}{9}$. Kiểm tra: $\left(\frac{4}{3}x-\frac{17}{9}\right)(3x-1)=4x^2-\frac{17}{3}x-\frac{4}{3}x+\frac{17}{9}=4x^2-7x+\frac{17}{9}$, khớp tử số trừ phần dư $-\frac{8}{9}$. Vậy $3a+9b=3\cdot \frac{4}{3}+9\cdot \left(-\frac{17}{9}\right)=4-17=-13$, trùng với đáp án nguồn $-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to -\infty$ thì $y\to 3$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 3$. Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=3$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 0101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{x-2}$ xác định khi $x\ne 2$. Tại $x=2$, mẫu số bằng 0 và tử số $3\cdot 2-1=5\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 0101: C).