Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $\frac{x^2-2x+6}{x+1}=x-3+\frac{9}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{9}{x+1}\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 110, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-2}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{3x+1}{x-2}=+\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-2}=3$ nên $y=3$ là tiệm cận ngang. Vậy a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng, khớp với đáp án nguồn a)Đ - b)S - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-2}=3$ nên $y=3$ là tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-2}=3\ne 2$ nên $y=2$ không phải tiệm cận.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định tại $x=3$ ($y=10$), nên $x=3$ không phải tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{3x+1}{x-2}=+\infty$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1>0$, tiệm cận ngang $y=1>0$, hàm số nghịch biến trên mỗi nhánh, và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương (nhánh trái cắt trục hoành tại điểm $x_0$ với $0<x_0<1$, nên $f(0)>0$).

- Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1>0\Rightarrow a,c$ cùng dấu.
- Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}=1>0\Rightarrow \frac{d}{c}<0\Rightarrow d$ trái dấu với $c$, do đó $d$ trái dấu với $a\Rightarrow ad<0$.
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $\Rightarrow y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}<0\Rightarrow ad-bc<0\Rightarrow bc>ad$.
- $f(0)=\frac{b}{d}>0\Rightarrow b$ cùng dấu với $d$; mà $d$ trái dấu với $c$ nên $bc<0$.

Vậy $ad<bc<0$, tức mệnh đề đúng là $ad<bc<0$. Điều này khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-4x+3}{2x+2}$ xác định với $x\ne -1$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $2x+2=0\Rightarrow x=-1$; tiệm cận ngang $y=\frac{-4}{2}=-2$. Vậy tâm đối xứng là $(-1;-2)$, trùng với đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 110: Câu 5 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: cực trị tại $x=-1$ ($y=-3$) và $x=3$ ($y=5$), tiệm cận đứng $x=1$ nên $n=-m$. Phương trình tiệm cận xiên: chia đa thức, $y=\frac{x^2+bx+c}{mx+n}=\frac{1}{m}x+\frac{bm-n}{m^2}+\dots$ Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{m{x}^2+2nx+(cn-bm)}{(mx+n{)}^2}$ có nghiệm $-1,3$ nên $m{x}^2+2nx+(cn-bm)=m(x+1)(x-3)=m(x^2-2x-3)$, suy ra $2n=-2m\Rightarrow n=-m$ (khớp) và $cn-bm=-3m\Rightarrow b+c=3$. Giá trị: $f(-1)=\frac{1-b+c}{-2m}=-3\Rightarrow 1-b+c=6m$; $f(3)=\frac{9+3b+c}{2m}=5\Rightarrow 9+3b+c=10m$. Với $c=3-b$: $4-2b=6m$ và $12+2b=10m$ $\Rightarrow 5(2-b)=3(6+b)\Rightarrow b=-1$, suy ra $m=1$, $c=4$, $n=-1$. Tiệm cận xiên: $y=\frac{1}{m}x+\frac{bm-n}{m^2}=x+\frac{-1+1}{1}=x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+2x-3}{x+4}=x-2+\frac{5}{x+4}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x+4}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$. Kiểm tra các điểm: $M(3;1)$: $3-2=1$ đúng; $N(2;2)$: $2-2=0\ne 2$; $Q(0;2)$: $0-2=-2\ne 2$; $P(2;3)$: $2-2=0\ne 3$. Vậy tiệm cận xiên đi qua điểm $M(3;1)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2024x+2025}{x-5}$ có mẫu số $x-5=0$ khi $x=5$ và ${\lim }_{x\to 5^{\pm }}y=\pm \infty$, nên đường tiệm cận đứng là $x=5$. (Tiệm cận ngang là $y=2024$ nhưng đề hỏi tiệm cận đứng.) Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+2025}{x-2}=x+\frac{2025}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2025}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 10$ nên $y=10$ là tiệm cận ngang. Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ có dấu || và $f(x)\to -\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Tổng: 2 tiệm cận ngang + 1 tiệm cận đứng = 3 đường.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ xác định với $x\ne -1$. Tại $x=-1$, mẫu số bằng 0 nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$, do đó tiệm cận đứng là $x=-1$. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{2}{1}=2$, do đó tiệm cận ngang là $y=2$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{x-1}$ có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{x-1}=0$, nên tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$. Đường $x=1$ là tiệm cận đứng. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{(x+1{)}^2+1}$. Xét $x\to +\infty$: $\frac{y}{x}=\sqrt{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}\to 1$ và $y-x=\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}+x}\to 1$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$ khi $x\to +\infty$. Xét $x\to -\infty$: $\frac{y}{-x}\to 1$ và $y-(-x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}-x}\to -1$, nên có tiệm cận xiên $y=-x-1$ khi $x\to -\infty$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận xiên, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=x^3-3x^2-m-1$. Hàm số xác định khi $g(x)>0$. Tiệm cận ngang: khi $x\to +\infty$, $y\to 0$ nên có đường tiệm cận ngang $y=0$ (khi $x\to -\infty$ thì $g(x)\to -\infty$, hàm không xác định). Để có 4 tiệm cận cần thêm 3 tiệm cận đứng, tức $g(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu tại mỗi nghiệm (nghiệm đơn). Ta có $g^{\prime }(x)=3x(x-2)$: cực đại tại $x=0$, $g(0)=-m-1$; cực tiểu tại $x=2$, $g(2)=-5-m$. Điều kiện 3 nghiệm phân biệt: $-m-1>0$ và $-5-m<0$, tức $m<-1$ và $m>-5$. Vậy $-5<m<-1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;0)$, $f$ tăng từ $-7$ đến $3$; trên $(0;1)$, $f$ giảm từ $3$ đến $-\infty$; $f(1)=1$; trên $(1;+\infty )$, $f$ giảm từ $1$ đến $-\infty$.

Tiệm cận đứng của $g(x)=\frac{2025}{f(x)-1}$ xảy ra khi $f(x)=1$: trên $(-\infty ;0)$ có một nghiệm (vì $f$ tăng từ $-7$ đến $3$), trên $(0;1)$ có một nghiệm (vì $f$ giảm từ $3$ đến $-\infty$), và tại $x=1$ thì $f(1)=1$ nên $g$ không xác định và ${\lim }_{x\to 1^{+}}g(x)=+\infty$. Vậy có 3 tiệm cận đứng.

Tiệm cận ngang: khi $x\to -\infty$, $f\to -7$ nên $g\to \frac{2025}{-8}$ (một TCN); khi $x\to +\infty$, $f\to -\infty$ nên $g\to 0$ (một TCN). Vậy có 2 tiệm cận ngang.

Tổng cộng $3+2=5$ đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{1}=1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+2}{x-2}=1$). Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-3x+1}{x-4}$ xác định khi $x\ne 4$. Tại $x=4$: tử số $=16-12+1=5\ne 0$, mẫu số bằng $0$, nên ${\lim }_{x\to 4^{\pm }}y=\pm \infty$. Vậy đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=4$ (đáp án khớp với bảng đáp án đề 0102, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-4x+5}{x+3}=-4+\frac{17}{x+3}$, có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận ngang $y=-4$; $y^{\prime }=\frac{-17}{(x+3{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
a) Hai tiệm cận cùng hai trục tạo thành hình chữ nhật với các đỉnh $(0;0),(-3;0),(-3;-4),(0;-4)$, diện tích $3\times 4=12$. Đúng.
b) Trên $[0;5]$ hàm nghịch biến nên GTLN tại $x=0$: $y(0)=\frac{5}{3}$. Đúng.
c) Giao điểm hai tiệm cận là $I(-3;-4)$. Đúng.
d) Trên $[-2;-1]$ hàm nghịch biến: $y(-2)=\frac{13}{1}=13$, $y(-1)=\frac{9}{2}$. Tổng max + min $=13+\frac{9}{2}=\frac{35}{2}=17,5\ne 35$. Sai (đúng ra là $\frac{35}{2}$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận $x=-3$, $y=-4$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật diện tích $3\times 4=12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[0;5]$ nên GTLN $=y(0)=\frac{5}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận ngang $y=-4$ là $I(-3;-4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;-1]$: max $=y(-2)=13$, min $=y(-1)=\frac{9}{2}$, tổng $=\frac{35}{2}=17,5\ne 35$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: khi $x\to 1^{\pm }$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến gần đường thẳng $y=x$ (đường được vẽ nét mảnh trên hình) nên có thêm tiệm cận xiên $y=x$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận (1 đứng và 1 xiên). Điều này khớp với đáp án A.

Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận xiên. Vậy tổng cộng có 2 đường tiệm cận.

Xét $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x+1}{x-4}=+\infty$. Do đó hàm số có phương trình đường tiệm cận đứng là $x=4$.