Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân thức: $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}=x-4+\frac{10}{x+2}$. a) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$, đúng hai đường tiệm cận → Đúng. b) Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $x-y-4=0$ là $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$ → Sai. c) Giao điểm hai tiệm cận: $x=-2$, $y=-2-4=-6$, tức $I(-2;-6)$ → Đúng. d) $y^{\prime }=1-\frac{10}{(x+2{)}^2}$; nghiệm $x=-2\pm \sqrt{10}\approx -5,16$ và $1,16$ đều ngoài đoạn $[-3;1]$. Tính tại hai đầu: $f(-3)=\frac{9+6+2}{-1}=-17$, $f(1)=\frac{1-2+2}{3}=\frac{1}{3}$. Vậy giá trị lớn nhất trên $[-3;1]$ là $\frac{1}{3}$, không phải $-17$ → Sai. Kết quả Đ-S-Đ-S khớp bảng đáp án mã đề 102 (DSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$: đúng hai đường tiệm cận.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $O$ đến $x-y-4=0$ là $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $I(-2;-6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;1]$ không có điểm tới hạn; $f(-3)=-17$, $f(1)=\frac{1}{3}$, nên GTLN là $\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $2x^2+6x-m-3=0$ cần có hai nghiệm phân biệt để đồ thị có hai tiệm cận đứng. $\Delta =36+8(m+3)=8m+60>0\iff m>-7,5$. Với $m\in [-10;10]$ nguyên: $m\in \{-7,-6,\dots ,10\}$ (18 giá trị). Loại trường hợp nghiệm trùng với $x=1$ (làm tử số bằng 0, mất tiệm cận đứng): $2+6-m-3=0\iff m=5$. Vậy còn $18-1=17$ giá trị, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{1}=1$ vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x+1}=1$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}=x-4+\frac{6}{x+2}$.
a) Tiệm cận xiên là $y=x-4$, tức $x-y-4=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$ là $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$ → Sai.
b) Trên đoạn $[-3;1]$: $f(-3)=\frac{9+6+2}{-1}=-17$, $f(-1)=\frac{1+2+2}{1}=5$, $f(0)=1$, $f(1)=\frac{1}{3}$. Vậy GTLN bằng $5$ (tại $x=-1$), còn $-17$ là GTNN → Sai.
c) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$, tức hai đường tiệm cận → Đúng.
d) Giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $I(-2;-6)$ → Đúng. Kết quả SSDD khớp bảng đáp án mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên $y=x-4$; khoảng cách từ $O$ là $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;1]$: $f(-3)=-17$, $f(-1)=5$, $f(0)=1$, $f(1)=\frac{1}{3}$; GTLN bằng $5$, $-17$ là GTNN.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=x-4$: hai đường tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $I(-2;-6)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{2x^2+6x-m-3}$ có hai đường tiệm cận đứng khi mẫu số $2x^2+6x-m-3=0$ có hai nghiệm phân biệt và không nghiệm nào trùng với $x=1$ (nghiệm của tử số).

1) Hai nghiệm phân biệt: $\Delta =36+8(m+3)=8m+60>0\iff m>-\frac{60}{8}=-7,5$.

2) Loại trường hợp nghiệm trùng $x=1$: thay $x=1$ vào mẫu: $2+6-m-3=0\iff m=5$. Khi $m=5$ mẫu số có nghiệm $x=1$ trùng tử số, đồ thị chỉ có một tiệm cận đứng (nghiệm còn lại $x=-4$).

Vậy $m\in (-7,5;10]$, $m\ne 5$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-7,-6,\dots ,4,6,\dots ,10\}$, tức $18-1=17$ giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (17).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{1}=1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+1}=1$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 2, Mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ (loại A vì đó là tiệm cận đứng, không phải xiên). Đường thẳng màu xanh (tiệm cận xiên) cắt trục tung tại $y=\frac{5}{4}$ và có hệ số góc dương nhỏ; đường thẳng $y=x+\frac{1}{2}$ có hệ số góc 1 (loại B), đường $y=x-\frac{5}{4}$ cũng hệ số góc 1 (loại D). Đường tiệm cận xiên đi qua điểm $(0,\frac{5}{4})$ và gần điểm $(1,\frac{7}{4})$ nên có dạng $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$, khớp với đồ thị khi $x\to \pm \infty$. Đáp án C, trùng đáp án nguồn (đề 0102, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$. Tại $x=1$, mẫu và tử cùng triệt tiêu nên hàm số không có tiệm cận đứng tại $x=1$ (đồ thị bị thủng, giới hạn hữu hạn). Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 0102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 5$ nên có tiệm cận ngang $y=5$; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to -5$ nên có tiệm cận ngang $y=-5$. Tổng cộng $1$ tiệm cận đứng và $2$ tiệm cận ngang, tức $3$ đường tiệm cận. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ và nhánh đồ thị tiến gần đường thẳng $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ khi $x\to \pm \infty$ (đường này cắt trục tung tại $\frac{5}{4}$, đúng như hình vẽ). Vậy tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án đề 0101.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua $(0;3)$ và $(3;0)$ nên có phương trình $y=-x+3$. a) Giao hai tiệm cận: $x=2$, $y=-2+3=1$ tức $(2;1)\ne (1;2)$ → Sai. b) Nhánh trái đạt cực tiểu tại $x=1$ (giá trị 3), nhánh phải đạt cực đại tại $x=3$ (giá trị $-1$), không có cực đại tại $x=1$ → Sai. c) Đồ thị có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận xiên, tổng 2 đường tiệm cận → Đúng. d) Trên nhánh trái hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ rồi đồng biến trên $(1;2)$; nhánh phải đồng biến trên $(2;3)$ rồi nghịch biến trên $(3;+\infty )$. Vậy hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$ → Đúng. Khớp với đáp án nguồn 2a S, 2b S, 2c Đ, 2d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận xiên $y=-x+3$ (đi qua $(0;3)$ và $(3;0)$), giao điểm là $(2;1)$, không phải $(1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu (nhánh trái); cực đại của hàm là tại $x=3$ trên nhánh phải.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một tiệm cận đứng $x=2$ và một tiệm cận xiên $y=-x+3$, tổng cộng 2 đường tiệm cận.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo đồ thị, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ (trước điểm cực tiểu $x=1$) và nghịch biến trên $(3;+\infty )$ (sau điểm cực đại $x=3$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$. Tại $x=1$, tử và mẫu cùng triệt tiêu nên hàm số không xác định tại $x=1$ nhưng ${\lim }_{x\to 1}y=\frac{x+2}{x+1}{|}_{x=1}=\frac{3}{2}$ (giới hạn hữu hạn), do đó $x=1$ không phải tiệm cận đứng. Tại $x=-1$: mẫu bằng 0, tử $=(-1{)}^2-1-2=-2\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$, vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. (Tiệm cận ngang là $y=1$.) Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 5$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=5$; khi $x\to +\infty$ thì $y\to -5$ nên có tiệm cận ngang $y=-5$. Tại $x=-1$ (điểm không xác định của hàm số), $y\to +\infty$ khi $x\to -1^{-}$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Tổng số tiệm cận: $2+1=3$, khớp đáp án B (đáp án nguồn cũng là B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 2$. Do đó ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)={\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$, nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=2$. Các phương án $x=-2$, $x=2$ là dạng tiệm cận đứng (không đúng vì hàm số xác định và nghịch biến trên các khoảng quanh $x=-2$); $y=-2$ không xuất hiện trong bảng biến thiên. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số không có cực trị → a) Đúng. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$ → b) Đúng. Hàm số xác định khi $x\ne -1$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$ (không phải $x=1$) → c) Sai. Đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;2)$ → d) Đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số không có cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{x+1}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2x-1}{x+1}=+\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của hai tiệm cận: $I(-1;2)$.

Giải:
+ Ta có:
${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \Rightarrow$ đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng
${\lim }_{x\to +\infty }\left[y-(x-1)\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x+1}=0\Rightarrow$ đường thẳng $y=x-1$ là tiệm cận xiên
Giao điểm của hai đường tiệm cận: $I(-1;-2)$
$T=3a-b=-1$

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tại $x=1$, mẫu số bằng 0 và ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{2x+1}{x-1}=\pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. (Ngoài ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.) Đáp án khớp với mã đề 0122, câu 4: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta viết lại $y=\frac{2(x+1)-3}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$.
a) $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số không có cực trị. → Đúng.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$. → Đúng.
c) ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$. → Sai.
d) Đồ thị $y=2-\frac{3}{x+1}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $I(-1;2)$. → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên hàm số không có cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{x+1}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm hai tiệm cận: $I(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tại $x=1$, mẫu số bằng 0 và ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{2x+1}{x-1}=\pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. (Ngoài ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.) Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0121: Câu 2 là C.

Giải:
+ Ta có:
${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \Rightarrow$ đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng
${\lim }_{x\to +\infty }\left[y-(x-1)\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x+1}=0\Rightarrow$ đường thẳng $y=x-1$ là tiệm cận xiên
Giao điểm của hai đường tiệm cận: $I(-1;-2)$
$T=3a-b=-1$