Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
D nằm trên trục hoành nên $D(x;0;0)$. Tính $BC=\sqrt{(-1-3{)}^2+(1-1{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$. Điều kiện $AD=BC$: $A{D}^2=(x-3{)}^2+(0+4{)}^2+0^2=25\Rightarrow (x-3{)}^2=9\Rightarrow x=6$ hoặc $x=0$. Vậy $D(0;0;0)$ hoặc $D(6;0;0)$, chọn đáp án B (khớp với các phương án in ở trang 32).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(-1;2;-3),B(1;0;2),C(x;y;-2)$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AC}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(2;-2;5)$. Ta có $\overrightarrow{AC}=(x+1;y-2;1)$. Từ $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$, so thành phần thứ ba: $1=5k\Rightarrow k=\frac{1}{5}$. Suy ra $x+1=\frac{2}{5}\Rightarrow x=-\frac{3}{5}$ và $y-2=-\frac{2}{5}\Rightarrow y=\frac{8}{5}$. Vậy $x+y=-\frac{3}{5}+\frac{8}{5}=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng nên $\vec{a}=k\vec{b}$ với $k>0$. Từ hoành độ: $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2>0$. Khi đó $m-1=2\cdot 3=6\Rightarrow m=7$; và $3=2\cdot (-2n)=-4n\Rightarrow n=-\frac{3}{4}$. Vậy $m=7,n=-\frac{3}{4}$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;0;3)$, $B(2;3;-4)$, $C(-3;1;2)$: $x_D=1+(-3)-2=-4$; $y_D=0+1-3=-2$; $z_D=3+2-(-4)=9$. Vậy $D(-4;-2;9)$, khớp phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EB}$, ta có $E-C=2(B-E)$ nên $3E=C+2B$. Với $B(1;2;-3)$, $C(7;4;-2)$: $$E=\left(\frac{7+2\cdot 1}{3};\frac{4+2\cdot 2}{3};\frac{-2+2\cdot (-3)}{3}\right)=\left(3;\frac{8}{3};-\frac{8}{3}\right).$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc đoạn $AB$ và $MA=2MB$ nên $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$, tức $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=2$: $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$, suy ra $M=\frac{A+2B}{3}$. Tọa độ: $x_M=\frac{3+2\cdot 2}{3}=\frac{7}{3}$, $y_M=\frac{1+2\cdot (-3)}{3}=-\frac{5}{3}$, $z_M=\frac{-2+2\cdot 5}{3}=\frac{8}{3}$. Vậy $M\left(\frac{7}{3};-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, với $\overrightarrow{AB}=(2-1;1-0;2-1)=(1;1;1)$ và $\overrightarrow{AD}=(1-1;-1-0;1-1)=(0;-1;0)$. Suy ra $C=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(1;0;1)+(1;1;1)+(0;-1;0)=(2;0;2)$. Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=C^{\prime }-C=(4-2;5-0;-5-2)=(2;5;-7)$. Vậy $A^{\prime }=A+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(1;0;1)+(2;5;-7)=(3;5;-6)$. Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(0;0;-3)$ nên $A^{\prime }(0;0;-3)$. Cạnh $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ nên $B^{\prime }(3;0;-3)$. Đỉnh $C$ thỏa $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(3;0;0)+(0;3;0)=(3;3;0)$ nên $C(3;3;0)$. Trọng tâm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }C$: $G=\left(\frac{0+3+3}{3};\frac{0+0+3}{3};\frac{-3-3+0}{3}\right)=(2;1;-2)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;0;1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;1;1)$. Tích có hướng $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(0\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot 1-(-1)\cdot 1;-1\cdot 1-0\cdot 1)=(-1;2;-1)$, nên $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $MNP$ vuông tại $N$ nên $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=0$. Ta có $\overrightarrow{NM}=(2-(-1);3-1;-1-1)=(3;2;-2)$ và $\overrightarrow{NP}=(1-(-1);m-1-1;2-1)=(2;m-2;1)$. Tích vô hướng: $3\cdot 2+2(m-2)+(-2)\cdot 1=6+2m-4-2=2m$. Đặt $2m=0$ suy ra $m=0$. Vậy chọn đáp án $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=(2;-2;-4)$, $\vec{b}=(1;-1;1)$.
- A: $\vec{a}+\vec{b}=(2+1;-2-1;-4+1)=(3;-3;-3)$, đúng.
- B: Xét tỉ số tọa độ: $\frac{2}{1}=2$, $\frac{-2}{-1}=2$, $\frac{-4}{1}=-4$. Vì các tỉ số không bằng nhau nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương → mệnh đề B sai.
- C: $|\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3}$, đúng.
- D: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+(-2)(-1)+(-4)(1)=2+2-4=0$ nên $\vec{a}\perp \vec{b}$, đúng.
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{b}=(-4;-2;6)=-2(2;1;-3)=-2\vec{a}$, nên A đúng và hai vectơ ngược hướng (C đúng). Độ dài: $|\vec{b}|=\sqrt{16+4+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$ và $|\vec{a}|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}$, nên $|\vec{b}|=2|\vec{a}|$, D đúng. Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2(-4)+1(-2)+(-3)(6)=-8-2-18=-28\ne 0$, nên phát biểu B là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;0;-4)$, $\overrightarrow{BD}=(0;1;0)$, $\overrightarrow{BC}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{AC}=(1;0;-4)$, $\overrightarrow{CD}=(-1;1;0)$.

Kiểm tra từng mệnh đề:
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=0+0+0=0$ nên $AB\perp BD$ (đúng).
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0+0+0=0$ nên $AB\perp BC$ (đúng).
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0+0+(-4)(-4)=16\ne 0$ nên $AB$ không vuông góc với $AC$ (sai).
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0+0+0=0$ nên $AB\perp CD$ (đúng).

Vậy mệnh đề sai là $AB\perp AC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{A^{\prime }C}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }C}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{AC}$. Mặt khác $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vậy đẳng thức đúng.
b) $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{B^{\prime }B}$ (vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$), do đó $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, trong khi $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. Hai vectơ khác nhau (ngược dấu thành phần $B{B}^{\prime }$), nên sai.
c) $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}-\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }O}=\overrightarrow{C^{\prime }O}$. Đúng.
d) Đặt $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;a;-a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-a)$, tích vô hướng $=0+0+a^2=a^2\ne 0$. Vậy sai (góc giữa hai đường chéo này có $\cos =\frac{1}{2}$, góc $60^{\circ }$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }C}-\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ vì $ABCD$ là hình vuông.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\ne \overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}-\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }O}=\overrightarrow{C^{\prime }O}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;a;-a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-a)$ thì tích vô hướng bằng $a^2\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: theo hiệu hai vectơ, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (không phải $\overrightarrow{BC}$). b) Đúng: trong hình bình hành $ABCD$, $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ theo quy tắc hình bình hành (đường chéo từ đỉnh chung $B$). c) Đúng: tính chất tích của số với vectơ $|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$ luôn đúng với mọi $k\in \mathbb{R}$, $\vec{a}\ne \vec{0}$. d) Đúng: với hai vectơ khác $\vec{0}$, góc giữa chúng thỏa $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vectơ: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, không phải $\overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành với đỉnh chung $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất chuẩn của phép nhân số với vectơ: $|k\vec{a}|=|k||\vec{a}|$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định nghĩa tích vô hướng cho công thức góc: $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ với hai vectơ khác $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 55: a) a+b=(1+3;2+1;-3+5)=(4;3;2) đúng. b) 2a-3b=(2-9;4-3;-6-15)=(-7;1;-21), đề ghi 21 nên sai. c) a.b=1.3+2.1+(-3).5=3+2-15=-10≠10 nên sai. d) |a|=√14, |b|=√35, cos(a,b)=(-10)/(√14·√35)=(-10)/(7√10)=-√10/7 đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
a+b=(1+3;2+1;-3+5)=(4;3;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
2a-3b=(2-9;4-3;-6-15)=(-7;1;-21), thành phần thứ ba là -21 chứ không phải 21.
c) (AI giải đề cho tôi)
a.b=3+2-15=-10≠10.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(a,b)=(-10)/(√14·√35)=(-10)/(7√10)=-√10/7.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+4+3}{3};\frac{2-2+4}{3};\frac{4+1+7}{3}\right)=\left(\frac{8}{3};\frac{4}{3};4\right)$ → đúng.
b) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=A+C-B=(1+3-4;2+4+2;4+7-1)=(0;8;10)$ → đúng.
c) $M$ thuộc đoạn $AB$ với $MB=2MA$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $M=\frac{2A+B}{3}=\left(\frac{2+4}{3};\frac{4-2}{3};\frac{8+1}{3}\right)=\left(2;\frac{2}{3};3\right)$ → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}=(3;-4;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(2;2;3)$; $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6-8-9=-11<0$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{34}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{17}$ nên $\cos BAC=\frac{-11}{\sqrt{34}\sqrt{17}}=-\frac{11\sqrt{2}}{34}$ (âm), không phải $\frac{11\sqrt{2}}{34}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{8}{3};\frac{4}{3};4\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$D=A+C-B=(0;8;10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M=\frac{2A+B}{3}=\left(2;\frac{2}{3};3\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-11<0$ nên $\cos BAC=-\frac{11\sqrt{2}}{34}$, giá trị dương trong đề là sai.

(AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;3;0), A'(0;0;4) nên C(2;3;0), C'(2;3;4), B'(2;0;4), D'(0;3;4).
a) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;3;4)$ → đúng.
b) Tâm hình hộp là trung điểm AC': $(1;\frac{3}{2};2)\ne (0;0;0)$ → sai.
c) $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }}-\overrightarrow{C}=(-2;0;4)$, tích vô hướng $=2\cdot (-2)+3\cdot 0+4\cdot 4=-4+16=12\ne 16$ → sai.
d) $A{B}^{\prime }=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,472$; $A{D}^{\prime }=\sqrt{3^2+4^2}=5$; $B^{\prime }{D}^{\prime }=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\approx 3,606$. Chu vi $\approx 13,08<13,5$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;3;4)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm $A{C}^{\prime }$: $(1;\frac{3}{2};2)\ne (0;0;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(-2;0;4)$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=-4+16=12\ne 16$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A{B}^{\prime }=\sqrt{20}\approx 4,47$, $A{D}^{\prime }=5$, $B^{\prime }{D}^{\prime }=\sqrt{13}\approx 3,61$; chu vi $\approx 13,08<13,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên, đơn vị km.
a) A cách 2km về nam nên x=2; 3,5km về đông nên y=3,5; cao 0,8km nên z=0,8. Vậy A(2;3,5;0,8), không phải A(3,5;2;0,8) → sai.
b) B cách 1km về bắc nên x=-1; 3,5km về tây nên y=-3,5; cao 0,6km nên z=0,6. Vậy B(-1;-3,5;0,6) → đúng.
c) $\overrightarrow{AB}=(-1-2;-3,5-3,5;0,6-0,8)=(-3;-7;-0,2)$, nên $AB=\sqrt{9+49+0,04}=\sqrt{58,04}\approx 7,62$ km ≠ 7,11 km → sai.
d) $\overrightarrow{BC}=(4-(-1);8,5-(-3,5);0,6-0,6)=(5;12;0)$, $BC=\sqrt{25+144}=13$ km. Vận tốc $v=13:2=6,5$ km/h → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) A(2;3,5;0,8) vì 2km về nam cho x=2, 3,5km về đông cho y=3,5, cao 0,8km.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) 1km về bắc cho x=-1, 3,5km về tây cho y=-3,5, cao 0,6km: B(-1;-3,5;0,6).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) AB=√(3²+7²+0,2²)=√58,04≈7,62 km, không phải 7,11 km.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) BC=√(5²+12²)=13 km, vận tốc 13/2=6,5 km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ: $B(0;0;0)$, $C(a;0;0)$, $M\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $A\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $S\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6};a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ (tâm tam giác đều $ABC$). Khi đó $\overrightarrow{AM}=\left(0;-\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $|\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; $\overrightarrow{SB}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{6};-a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$, $|\overrightarrow{SB}|=a$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{SB}=0+\frac{a^2}{4}+0=\frac{a^2}{4}$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{SB}\right)=\frac{a^2/4}{a\cdot a\sqrt{3}/2}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}\approx 0,29$.