Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Xét $m=n=p=0$ ta luôn có $m+n+p=0$ và $m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}=\vec{0}$ nhưng không thể suy ra được $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng. Xét $m+n+p\ne 0$ thì chắc chắn có một trong ba số $m,n,p$ khác 0. Giả sử $m\ne 0\to m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}=\vec{0}\leftrightarrow \vec{a}=-\frac{n}{m}\vec{b}-\frac{p}{m}\vec{c}\to \vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng.

Gọi $Q\left(x;y;z\right)$ khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(-2;-3;0\right)$; $\overrightarrow{QP}=\left(-x;-y;4-z\right)$. Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\iff \{\begin{array}{l}-x=-2\\ -y=-3\\ 4-z=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\\ z=4\end{array}$. Vậy $Q\left(2;3;4\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: A(0;0;0), B(0;10;0), D(0;0;20), E(30;0;0). Mái nghiêng DCHG với C(0;10;15) (vì BC=15), H(30;0;20), G(30;10;15).
a) Đúng. Ăng ten S(10;30;32). Khoảng cách từ S đến các đỉnh mái: SH = √((30−10)²+(0−30)²+(20−32)²) = √(400+900+144) = √1444 = 38 (m); SD = √1144 ≈ 33,8; SC = √(100+400+289) = √789 ≈ 28,1; SG = √1089 = 33. Trên mái (hình bình hành DCHG), hàm bình phương khoảng cách đến S là hàm lồi nên giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh, xa nhất là SH = 38m.
b) Sai. K thỏa KA + 2KB + 3KC = 0 nên K = (A + 2B + 3C)/6 với C(0;10;15): K(0; 25/3; 7,5). Khi đó KD·KH = (0; −25/3; 12,5)·(30; −25/3; 12,5) = 625/9 + 156,25 > 0, giá trị dương chứ không âm.
c) Sai. G(30;10;15), không phải G(30;10;20).
d) Đúng. C(0;10;15) vì C nằm trên đường thẳng qua B song song trục Oz, cao BC = 15.
a) (AI giải đề cho tôi)
S(10;30;32). Khoảng cách xa nhất từ điểm trên mái đến S đạt tại đỉnh H(30;0;20): SH = √(400+900+144) = √1444 = 38m.
b) (AI giải đề cho tôi)
K(0;25/3;7,5). KD·KH = 625/9 + 156,25 > 0 nên giá trị dương, không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
G(30;10;15) vì mái nghiêng từ D(0;0;20), C(0;10;15) xuống phía E với H(30;0;20), G(30;10;15).
d) (AI giải đề cho tôi)
C thẳng hàng với B theo phương Oz, BC = 15 nên C(0;10;15).

(AI giải đề cho tôi)
Chim mẹ nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ nên có tọa độ $(0;y;z)$. Cách trục $Oy$ một khoảng $10m$ nên $|z|=10$; cách trục $Oz$ một khoảng $3m$ nên $|y|=3$. Theo hình vẽ chim mẹ ở phía dương của $Oy$ và $Oz$ nên $M(0;3;10)$. Hai con giun trên mặt đất: $G_1(3;-1;0)$ và $G_2(3;6;0)$. Chim con $C(-1;-2;4)$.

Đường đi $M\to G_1\to C$:
$$M{G}_1=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+(-10{)}^2}=\sqrt{125},G_{1}C=\sqrt{(-4{)}^2+(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{33}$$
Tổng: $\sqrt{125}+\sqrt{33}\approx 11,1803+5,7446=16,9249$.

Đường đi $M\to G_2\to C$:
$$M{G}_2=\sqrt{3^2+3^2+(-10{)}^2}=\sqrt{118}\approx 10,8628,G_{2}C=\sqrt{(-4{)}^2+(-8{)}^2+4^2}=\sqrt{96}\approx 9,7980$$
Tổng: $\approx 20,6608$.

Vậy quãng đường ngắn nhất là $\sqrt{125}+\sqrt{33}\approx 16,9$ m, khớp đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{j}=(0;1;0)$ và $\vec{k}=(0;0;1)$ nên $\vec{u}=\vec{j}-4\vec{k}=(0;1;0)-4(0;0;1)=(0;1;-4)$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án của đề (mã đề 2022, câu 2: C).

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(0-2;-4-0;5-(-3))=(-2;-4;8)$.
$\overrightarrow{AC}=(-1-2;2-0;0-(-3))=(-3;2;3)$. (0,25 điểm)
Ta thấy $\frac{-2}{-3}\ne \frac{-4}{2}$ nên hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. (0,25 điểm)
Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Gọi $D(x;y;z)$.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. (0,25 điểm)
Ta có $\overrightarrow{DC}=(-1-x;2-y;0-z)$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}-1-x=-2\\ 2-y=-4\\ -z=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\\ z=-8\end{array}$. (0,25 điểm)
Vậy $D(1;6;-8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A đúng vì $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ nên $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành tại A). B đúng theo quy tắc đường chéo hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. C đúng vì $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. D sai vì $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ (quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng ABCD), không có thành phần $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Vậy mệnh đề sai là D, trùng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ $\vec{u}=\vec{j}-4\vec{k}=0\vec{i}+1\vec{j}-4\vec{k}$ nên có tọa độ $(0;1;-4)$. Do đó đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 1101 (Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nhà kho: $A(0;0;0)$, $B(0;10;0)$, $E(30;0;0)$, $D(0;0;20)$, $F(30;10;0)$. Mái nghiêng là mặt phẳng chứa $D(0;0;20)$, $C(0;10;15)$, $H(30;0;20)$, $G(30;10;15)$.

a) Từ $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\vec{0}$ suy ra $K=\frac{A+2B+3C}{6}=\left(0;\frac{25}{3};\frac{15}{2}\right)$. Với $H(30;0;20)$: $\overrightarrow{KD}=\left(0;-\frac{25}{3};\frac{25}{2}\right)$, $\overrightarrow{KH}=\left(30;-\frac{25}{3};\frac{25}{2}\right)$, nên $\overrightarrow{KD}\cdot \overrightarrow{KH}=\frac{625}{9}+\frac{625}{4}>0$. Vậy khẳng định giá trị âm là SAI.

b) Ăng ten $S(10;30;32)$. Khoảng cách từ $S$ tới các đỉnh mái: $SD=\sqrt{100+900+144}=\sqrt{1144}\approx 33,8$; $SC=\sqrt{100+400+289}=\sqrt{789}\approx 28,1$; $SH=\sqrt{400+900+144}=\sqrt{1444}=38$; $SG=\sqrt{400+400+289}=\sqrt{1089}=33$. Xa nhất là $38m$ → ĐÚNG.

c) $C$ nằm trên đường thẳng qua $B$ theo phương $Oz$ với chiều cao $BC=15m$: $C(0;10;15)$ → ĐÚNG.

d) $G$ nằm trên mái phía trên $F(30;10;0)$, cùng mặt phẳng mái với $C(0;10;15)$ nên $G(30;10;15)$, không phải $(30;10;20)$ → SAI.

Khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 3): S Đ Đ S.

a) (AI giải đề cho tôi)
$K=(0;25/3;15/2)$; $KD\cdot KH=625/9+625/4>0$ nên không âm → SAI.

b) (AI giải đề cho tôi)
$S(10;30;32)$; khoảng cách xa nhất tới mái là $SH=\sqrt{1444}=38m$ → ĐÚNG.

c) (AI giải đề cho tôi)
$C(0;10;15)$ vì $BC=15m$ theo phương $Oz$ → ĐÚNG.

d) (AI giải đề cho tôi)
$G(30;10;15)$ vì $G$ thuộc mặt phẳng mái chứa $C(0;10;15)$, $H(30;0;20)$, không phải $(30;10;20)$ → SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Chim mẹ nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên có hoành độ x=0. Khoảng cách tới trục Oz là |y|=3, khoảng cách tới trục Oy là |z|=10, theo hình vẽ chim mẹ ở phía dương nên M(0;3;10). Chim con C(-1;-2;4). Hai con giun trên mặt đất: G1(3;-1;0) và G2(3;6;0). Quãng đường chim mẹ bay từ M đến giun rồi đến C là tổng hai đoạn thẳng.
- Đường qua G1: MG1 = √(3²+4²+10²) = √125 = 5√5 ≈ 11,1803; G1C = √(4²+1²+4²) = √33 ≈ 5,7446. Tổng ≈ 16,9249.
- Đường qua G2: MG2 = √(3²+3²+10²) = √118 ≈ 10,8628; G2C = √(4²+8²+4²) = √96 ≈ 9,7980. Tổng ≈ 20,6608.
Vậy quãng đường ngắn nhất ≈ 16,9 m (khớp đáp án 16,9).

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(0-2;-4-0;5-(-3))=(-2;-4;8)$.
$\overrightarrow{AC}=(-1-2;2-0;0-(-3))=(-3;2;3)$. (0,25 điểm)
Ta thấy $\frac{-2}{-3}\ne \frac{-4}{2}$ nên hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. (0,25 điểm)
Vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Gọi $D(x;y;z)$.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. (0,25 điểm)
Ta có $\overrightarrow{DC}=(-1-x;2-y;0-z)$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}-1-x=-2\\ 2-y=-4\\ -z=8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\\ z=-8\end{array}$. (0,25 điểm)
Vậy $D(1;6;-8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A đúng vì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$. B đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. D đúng vì $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành trên mặt $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$). C sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$. Vậy mệnh đề sai là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB: $I=\left(\frac{4+2}{2};\frac{1+3}{2};\frac{-3+(-7)}{2}\right)=(3;2;-5)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2793, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\vec{u}=2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ có tọa độ là các hệ số tương ứng của $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$, tức $\vec{u}=(2;-3;4)$. Kết quả này trùng với đáp án A và với đáp án của đề (Mã đề 2793, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cộng từng thành phần: $\vec{u}+\vec{v}=(1+1;0+(-1);-1+2)=(2;-1;1)$. Kết quả trùng với đáp án B và với đáp án của đề (mã 2793, câu 11 là B).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(3-1;4-2;-2-1)=(2;2;-3)$ → Đúng. b) Trung điểm $BC$: $M\left(\frac{3+(-1)}{2};\frac{4+(-3)}{2};\frac{-2+2}{2}\right)=(1;\frac{1}{2};0)\ne (2;1;-1)$ → Sai. c) $\overrightarrow{BC}=(-4;-7;4)$ nên $BC=\sqrt{16+49+16}=\sqrt{81}=9\ne 7$ → Sai. d) $\overrightarrow{AB}=(2;2;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;-5;1)$ không tỉ lệ nên $A,B,C$ không thẳng hàng → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 2793, Câu 1: Đúng, Sai, Sai, Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-1;4-2;-2-1)=(2;2;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $BC$ là $M(1;\frac{1}{2};0)$, không phải $(2;1;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC=\sqrt{(-4{)}^2+(-7{)}^2+4^2}=9\ne 7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;-3)$ và $\overrightarrow{AC}=(-2;-5;1)$ không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_0-1;y_0+2;z_0-4)=(3;-1;2)$ nên $x_0-1=3\Rightarrow x_0=4$; $y_0+2=-1\Rightarrow y_0=-3$; $z_0-4=2\Rightarrow z_0=6$. Vậy $B(4;-3;6)$ và $x_0-y_0+z_0=4-(-3)+6=13$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MN}=N-M=(1-2;-2-1;1-2)=(-1;-3;-1)$ và $\overrightarrow{MP}=P-M=(2-2;-3-1;2-2)=(0;-4;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}=(-1)(0)+(-3)(-4)+(-1)(0)=0+12+0=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4. 12, Mã đề 2793).

Câu 1. (1.0đ)
+ Do $P\in (Oxy)$ và $a=2b\Rightarrow P(2b;b;0)$. (0,2)
+ Tính $\overrightarrow{MP}=(2b-4;b-2;-2)$, (0,2)
$\overrightarrow{NP}=(2b+4;b-3;-3)$. (0,2)
+ Vì $\widehat{MPN}=90^{\circ }\Rightarrow \overrightarrow{MP}.\overrightarrow{NP}=0$
$\iff (2b-4)(2b+4)+(b-3)(b-2)+6=0$
$\iff 5b^2-5b-4=0\iff b=\frac{5\pm \sqrt{105}}{10}$ (0,2)
+ Vậy có hai điểm $P_1\left(\frac{5+\sqrt{105}}{5};\frac{5+\sqrt{105}}{10};0\right)$
và $P_2\left(\frac{5-\sqrt{105}}{5};\frac{5-\sqrt{105}}{10};0\right)$. (0,2)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=3\cdot 1+0\cdot (-1)+1\cdot (-2)=3+0-2=1$. Kết quả khớp với đáp án D (mã đề 2793, câu 7: D).