Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có $a^2=16$, $b^2=9$ nên $c^2=a^2+b^2=25$, $c=5$. Tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F_1(-5;0)$, $F_2(5;0)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia hai vế của $5x^2-3y^2=1$ cho 1, ta được $\frac{x^2}{1/5}-\frac{y^2}{1/3}=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$ với $p>0$ (đỉnh tại gốc tọa độ, trục đối xứng là Ox, bề lõm hướng về phía dương). Xét các phương trình: $x^2=6y$ và $x^2=-6y$ có trục đối xứng là Oy (dạng $x^2=2py$), không phải dạng chính tắc chuẩn theo Ox; $y^2=-6x$ có $2p=-6<0$ nên không thỏa mãn $p>0$. Riêng $y^2=6x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=6\Rightarrow p=3>0$, đúng là phương trình chính tắc của parabol với bề lõm hướng theo chiều dương của trục hoành. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường chuẩn của parabol $y^2=2px$ là $x=-\frac{p}{2}$. Theo đề, $x+\frac{1}{4}=0\iff x=-\frac{1}{4}$, nên $\frac{p}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow p=\frac{1}{2}$. Vậy phương trình chính tắc là $y^2=2px=x$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=\frac{1}{2}x$ có dạng chính tắc $y^2=2px$ với $2p=\frac{1}{2}\Rightarrow p=\frac{1}{4}$. Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F\left(\frac{1}{8};0\right)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=2px$ có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$. Theo đề, $\frac{p}{2}=5\Rightarrow p=10$, nên phương trình chính tắc là $y^2=20x$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2=2px$. So sánh với $y^2=x$ ta được $2p=1$, suy ra $p=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol (H) đi qua A(5;0) và có tiêu điểm F2(9;0), nên tâm tại O, trục thực là Ox, c = 9. a) Hai tiêu điểm đối xứng qua O nên F1(-9;0) → đúng. b) Tiêu cự 2c = 18 ≠ 9 → sai. c) A(5;0) thuộc trục thực nên a = 5, b² = c² - a² = 81 - 25 = 56, phương trình chính tắc x²/25 - y²/56 = 1 → đúng. d) Theo định nghĩa, |MF1 - MF2| = 2a = 10 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai tiêu điểm đối xứng qua tâm O trên trục Ox: F1(-9;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2·9 = 18, không phải 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
a = 5 (qua A(5;0) trên trục thực), b² = 81 - 25 = 56, nên x²/25 - y²/56 = 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hypebol, |MF1 - MF2| = 2a = 10.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm cách điểm chính giữa đáy ô thoáng 75 cm ứng với hoành độ $x=75/30=2,5$ (đơn vị trên bản vẽ). Với elip $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$, thay $x=2,5$: $\frac{6,25}{16}+\frac{y^2}{4}=1\Rightarrow y^2=4\left(1-\frac{6,25}{16}\right)=4\cdot \frac{9,75}{16}=\frac{39}{16}$, nên $y=\frac{\sqrt{39}}{4}\approx 1,5612$ đơn vị. Chiều cao thực tế $h=30\cdot \frac{\sqrt{39}}{4}=7,5\sqrt{39}\approx 46,84$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Cổng có chiều rộng $d=6$ nên hai chân cổng tại $x=\pm 3$. Chiều cao $h=|y(3)|=\left|-\frac{1}{2}\cdot 3^2\right|=\frac{9}{2}=4,5$ mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,5.

(AI giải đề cho tôi)
Cổng rộng $d=6$ nên hai chân cổng có hoành độ $x=\pm 3$. Thay $x=3$ vào $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ ta được $y=-\frac{9}{2}=-4,5$. Chiều cao cổng là khoảng cách từ đỉnh $O(0;0)$ đến chân cổng: $h=0-(-4,5)=4,5$ mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,5.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{8}=1$ có $a^2=1$, $b^2=8$, nên $c^2=a^2+b^2=1+8=9\Rightarrow c=3$. Tiêu cự $2c=6$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình x^2/9 - y^2/16 = 1 là hypebol với a^2=9, b^2=16 nên c^2=a^2+b^2=25, c=5. a) Đúng, đây là hypebol. b) Sai, tiêu cự 2c = 10 chứ không phải 2√5. c) Đúng, tiêu điểm F1(-5;0), F2(5;0). d) Thay N(3√41/5; 16/5): x^2/9 = 41/25, y^2/16 = 16/25, tổng = 57/25 ≠ 1 nên N không nằm trên hypebol, khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dạng x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 với a^2=9, b^2=16 là phương trình hypebol.
b) (AI giải đề cho tôi)
c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 nên c = 5, tiêu cự 2c = 10 ≠ 2√5.
c) (AI giải đề cho tôi)
c = 5 và hypebol có trục thực là Ox nên tiêu điểm F1(-5;0), F2(5;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ N: (3√41/5)^2/9 = 41/25 và (16/5)^2/16 = 16/25, tổng bằng 57/25 ≠ 1 nên N không thuộc hypebol, do đó không thể nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm $F_1(-2;0),F_2(2;0)$ nằm trên trục $Ox$ nên $c=2$, tức $c^2=4$. Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2=b^2+c^2$. Xét các đáp án: B có $a^2=36,b^2=4\Rightarrow c^2=32\ne 4$ (loại); D có $a^2=36,b^2=32\Rightarrow c^2=36-32=4\Rightarrow c=2$ (thỏa mãn). Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho thấy đường cong gồm hai nhánh đối xứng qua gốc tọa độ, mỗi nhánh mở về hai phía của trục hoành (dạng hai cung cong hướng ra ngoài, tiệm cận hai đường thẳng qua gốc) — đây là đặc trưng của hypebol. Elip và đường tròn là đường cong khép kín, parabol chỉ có một nhánh. Vậy đường cong trong hình là hypebol.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng, tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)=(10;0)$ nên $p=20$. Đường chuẩn của parabol $y^2=2px$ là $x=-\frac{p}{2}=-10$, tức $x+10=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=4$ vào phương trình hypebol $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$: $\frac{16}{16}-\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow -\frac{y^2}{9}=0\Rightarrow y=0$. Vậy điểm thuộc hypebol là $M(4;0)$, đáp án C. Kiểm tra các điểm khác: $M(4;3)$: $1-1=0\ne 1$; $M(4;2)$: $1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\ne 1$; $M(4;1)$: $1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình x²/16 + y²/9 = 1 có a²=16 > b²=9 nên là Elip (a đúng). c² = 16−9 = 7, c = √7, tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7 nên b sai. Tiêu điểm là F₁(−√7;0), F₂(√7;0), không phải (±2√7;0) nên c sai. Với M thuộc elip: MF₁ + MF₂ = 2a = 8; kết hợp MF₁ + 2MF₂ = 11 suy ra MF₂ = 3, MF₁ = 5; khi đó 2MF₁ + MF₂ = 13 (d đúng, MF₂ = 3 thỏa mãn |a−b| ≤ MF₂ ≤ a+b).
a) (AI giải đề cho tôi)
a²=16 > b²=9 nên conic là Elip.
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = 16−9 = 7, c = √7, tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7.
c) (AI giải đề cho tôi)
c = √7 nên tiêu điểm là F₁(−√7;0), F₂(√7;0), không phải (±2√7;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
MF₁ + MF₂ = 8 và MF₁ + 2MF₂ = 11 suy ra MF₂ = 3, MF₁ = 5, nên 2MF₁ + MF₂ = 13.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Xét các phương án: A có $a=b=3$ (đường tròn, không phải elip); B có $a=4>b=3>0$ thỏa mãn; C vế phải bằng $-1$ (sai); D là phương trình hyperbol. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=20x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=20\Rightarrow p=10$. Tiêu điểm là $F\left(\frac{p}{2};0\right)=F(5;0)$. Vậy đáp án C.