Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: quy hoạch/tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm $I$ và $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc: An làm $3x+2y\le 180$ giờ; Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Hàm lợi nhuận (triệu đồng): $P=0,5x+0,4y$. Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(60;0)$, giao điểm của $3x+2y=180$ và $x+6y=220$, và $(0;\frac{220}{6})$. Giải hệ: từ $y=\frac{180-3x}{2}$ thay vào $x+6y=220$: $x+540-9x=220\Rightarrow x=40$, $y=30$. Kiểm tra: $3(40)+2(30)=180$ ✓, $40+6(30)=220$ ✓. Xét $P$ tại các đỉnh: $P(0;0)=0$; $P(60;0)=30$; $P(40;30)=0,5(40)+0,4(30)=20+12=32$; $P(0;36,67)\approx 14,67$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $32$ triệu đồng, đạt tại $x=40$, $y=30$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $20x+10y\ge 140\iff 2x+y\ge 14$; $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$; $0\le x\le 10$, $0\le y\le 10$. Chi phí $C=4x+3y$. Giao hai đường thẳng $2x+y=14$ và $2x+5y=30$: trừ hai phương trình được $4y=16\Rightarrow y=4$, $x=5$, khi đó $C=4\cdot 5+3\cdot 4=32$. Kiểm tra các đỉnh khác: $(10;2)$ cho $C=46$; $(2;10)$ cho $C=38$; $(10;10)$ cho $C=70$. Vậy chi phí thấp nhất là 32 triệu đồng tại $(x;y)=(5;4)$.

Đáp số: 25.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (lít) là số nước A và B cần chế tạo ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: bột trái cây $10x+20y\le 800\iff x+2y\le 80$; đường $20x+10y\le 700\iff 2x+y\le 70$. Hàm lợi nhuận $P=20x+18y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0),(35;0),(20;30),(0;40)$, trong đó $(20;30)$ là giao của $x+2y=80$ và $2x+y=70$ (giải: $x=20,y=30$). Tính $P$: tại $(35;0)$: $P=700$; tại $(20;30)$: $P=400+540=940$; tại $(0;40)$: $P=720$. Vậy $P$ lớn nhất $=940$ nghìn đồng tại $x=20$, tức chế tạo 20 lít nước A. Đáp án A.

Đáp số: 155.

Đáp số: 9.

Đáp số: 64.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc thời gian: sản xuất 1 mũ loại 2 mất $t$, loại 1 mất $2t$; tổng thời gian một ngày cho phép $500t$ nên $2m+n\le 500$. Ngoài ra $0\le m\le 150$, $0\le n\le 200$. Lợi nhuận $P=8m+5n$. Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$: $P=0$; $(150;0)$: $P=1200$; $(0;200)$: $P=1000$; $(150;200)$ (thỏa $2\cdot 150+200=500$): $P=8\cdot 150+5\cdot 200=2200$ lớn nhất. Vậy $m=150$, $n=200$, $m+n=350$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số lô linh kiện loại $A$ và loại $B$ sản xuất mỗi tuần, $x,y\ge 0$. Ràng buộc: máy Phay $2x+3y\le 120$; máy Tiện $4x+2y\le 160$ (tức $2x+y\le 80$). Lợi nhuận $P=3x+4y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(40;0)$, giao điểm hai đường thẳng và $(0;40)$. Giải hệ $2x+3y=120$, $2x+y=80$: trừ hai phương trình được $2y=40\Rightarrow y=20$, $x=30$. Kiểm tra: $2(30)+3(20)=120$ ✓, $4(30)+2(20)=160$ ✓. Giá trị $P$: tại $(40;0)$: $120$; tại $(0;40)$: $160$; tại $(30;20)$: $3(30)+4(20)=90+80=170$. Vậy lợi nhuận cao nhất mỗi tuần là $170$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn (bảng đáp án trang 12, Câu 6: 170).

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $x+y\le 8$, $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$, $x\ge 0,y\ge 0$. Hàm mục tiêu $F=3x+4y$. Các đỉnh miền nghiệm: $(0,0)$, $(8,0)$, $(0,6)$, giao của $x+y=8$ và $2x+3y=18$: từ $x+y=8$ suy ra $2x+2y=16$, trừ đi được $y=2$, $x=6$. Tính $F$: tại $(8,0)$: $24$; tại $(0,6)$: $24$; tại $(6,2)$: $3\cdot 6+4\cdot 2=26$. Vậy $F_{\max }=26$, đạt được khi trồng 6 sào đậu và 2 sào cà (tổng công $=120+60=180\le 180$, tổng đất $=8$). Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại $I$ và loại $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc về thời gian: An làm $3x+2y\le 180$ giờ, Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Hàm lãi (đơn vị: trăm nghìn đồng): $P=5x+4y$. Miền ràng buộc có các đỉnh: $(0;0)$, $(60;0)$, $(0;\frac{110}{3})$ và giao điểm của $3x+2y=180$ với $x+6y=220$: giải hệ được $16y=480\Rightarrow y=30$, $x=40$, tức $(40;30)$. Giá trị $P$: tại $(60;0)$: $300$; tại $(0;\frac{110}{3})$: $\approx 146,7$; tại $(40;30)$: $5\cdot 40+4\cdot 30=320$ trăm nghìn đồng $=32$ triệu đồng. Vậy lãi lớn nhất là $32$ triệu đồng, đạt được khi sản xuất $40$ sản phẩm loại $I$ và $30$ sản phẩm loại $II$ (thời gian: An $3\cdot 40+2\cdot 30=180$ giờ, Bình $40+6\cdot 30=220$ giờ, đều hợp lệ). Kết quả khớp với đáp án nguồn 32.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B ($x,y\ge 0$, $x,y\in \mathbb{Z}$). Ràng buộc về lượng sơn: sơn xanh $6x+2y\le 12\iff 3x+y\le 6$; sơn vàng $2x+2y\le 8\iff x+y\le 4$. Hàm lợi nhuận: $P=10x+8y$ (triệu đồng). Miền ràng buộc là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(2;0)$, $(1;3)$, $(0;4)$, trong đó $(1;3)$ là giao điểm của $3x+y=6$ và $x+y=4$ (kiểm tra: $6\cdot 1+2\cdot 3=12$ kg sơn xanh, $2\cdot 1+2\cdot 3=8$ kg sơn vàng, đều thỏa mãn). Tính $P$ tại các đỉnh: $P(0;0)=0$; $P(2;0)=20$; $P(1;3)=10+24=34$; $P(0;4)=32$. Vì $x,y$ nguyên và $(1;3)$ nguyên nên giá trị lớn nhất đạt được tại đỉnh. Vậy tiền lãi lớn nhất là $34$ triệu đồng, khi sơn 1 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B (dùng hết 12 kg sơn xanh và 8 kg sơn vàng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y\ge 0$ lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II. Ràng buộc: nguyên liệu $2x+2y\le 200\iff x+y\le 100$; thời gian $2x+5y\le 300$. Lợi nhuận $P=0,3x+0,6y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(100;0)$, $(50;50)$ (giao của $x+y=100$ và $2x+5y=300$), $(0;60)$. Tính $P$: tại $(100;0)$: $30$; tại $(50;50)$: $15+30=45$; tại $(0;60)$: $36$. Vậy $P_{\max }=45$ triệu đồng, tức $a=45$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng bắp, $y$ (ha) là diện tích trồng cà chua ($x,y\ge 0$). Điều kiện: $x+y\le 6$ (diện tích đất) và $10x+20y\le 100\iff x+2y\le 10$ (thời gian canh tác). Hàm mục tiêu: $P=30x+50y$ (triệu đồng). Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0),(6;0),(6;2),(0;5)$. Tính $P$: tại $(0;0)$: $P=0$; tại $(6;0)$: $P=180$; tại $(6;2)$: $P=180+100=280$; tại $(0;5)$: $P=250$. Vậy giá trị lớn nhất là $P=280$ triệu đồng, đạt khi trồng 6 ha bắp và 2 ha cà chua (dùng hết 6 ha đất và đúng 100 ngày).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) lần lượt là lượng thịt bò và thịt lợn cần mua ($x,y\ge 0$, $x\le 1,6$, $y\le 1,1$).

Ràng buộc dinh dưỡng (đổi gam ra kg):
- Protein: $0,8x+0,6y\ge 0,9$
- Lipit: $0,2x+0,4y\ge 0,4$

Hàm chi phí: $P=450000x+350000y$ (đồng), cần tìm $\min P$.

Miền ràng buộc là đa giác với các đỉnh (tính bằng kg):
- Giao hai đường thẳng $0,8x+0,6y=0,9$ và $0,2x+0,4y=0,4$: nhân phương trình thứ hai với 2 rồi trừ, được $0,4x-0,2y=0,1\Rightarrow y=2x-0,5$; thay vào: $0,8x+0,6(2x-0,5)=0,9\Rightarrow 2x=1,2\Rightarrow x=0,6$, $y=0,7$. Đỉnh $A(0,6;0,7)$.
- Trên đường lipit với $x=1,6$: $0,32+0,4y=0,4\Rightarrow y=0,2$. Đỉnh $B(1,6;0,2)$.
- Trên đường protein với $y=1,1$: $0,8x+0,66=0,9\Rightarrow x=0,3$. Đỉnh $C(0,3;1,1)$.

Tính $P$ tại các đỉnh:
- $P(A)=450000\cdot 0,6+350000\cdot 0,7=270000+245000=515000$ đồng.
- $P(B)=450000\cdot 1,6+350000\cdot 0,2=720000+70000=790000$ đồng.
- $P(C)=450000\cdot 0,3+350000\cdot 1,1=135000+385000=520000$ đồng.

Vậy chi phí nhỏ nhất là $515000$ đồng, đạt được khi gia đình mua $0,6$ kg thịt bò (600 g) và $0,7$ kg thịt lợn (700 g). Kiểm tra: protein $=0,8\cdot 600+0,6\cdot 700=480+420=900$ g (đủ), lipit $=0,2\cdot 600+0,4\cdot 700=120+280=400$ g (đủ).

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $a+4b\le 24$ (hương liệu), $a+b\le 9$ (nước), $30a+10b\le 210\iff 3a+b\le 21$ (đường), $a,b\ge 0$. Cần max $F=60a+80b$. Các đỉnh: giao $a+4b=24$ và $a+b=9$ cho $(4;5)$, $F=640$; giao $a+b=9$ và $3a+b=21$ cho $(6;3)$, $F=600$; $(0;6)$, $F=480$; $(7;0)$, $F=420$. Max tại $(a;b)=(4;5)$ nên $a-b=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $m,n$ (kg) là lượng thịt bò, thịt lợn. Ràng buộc: $0\le m\le 1,6$, $0\le n\le 1,1$; protein: $800m+600n\ge 900\iff 4m+3n\ge 4,5$; lipit: $200m+400n\ge 400\iff m+2n\ge 2$. Chi phí $F=200000m+160000n$ (đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao của $4m+3n=4,5$ và $m+2n=2$: thay $m=2-2n$ được $8-8n+3n=4,5\Rightarrow n=0,7$, $m=0,6$ (thỏa mọi ràng buộc), $F=200000(0,6)+160000(0,7)=232000$ đồng. Đỉnh khác: $m=1,6,n=0,2$ cho $F=352000$; $m=1,125,n=0$ không đủ lipit; $m=0$ không đủ protein. Vậy chi phí nhỏ nhất tại $m=0,6$, $n=0,7$, nên $m+n=1,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (kg) lần lượt là lượng sản phẩm P và Q cần sản xuất, $x\ge 0,y\ge 0$. Từ bảng số liệu (nguyên liệu A: tổng 10 kg, cần 2 kg cho 1 kg P và 2 kg cho 1 kg Q; nguyên liệu B: tổng 4 kg, cần 0 kg cho P và 2 kg cho Q; nguyên liệu C: tổng 12 kg, cần 2 kg cho P và 4 kg cho Q), ta có hệ ràng buộc:
$$2x+2y\le 10\iff x+y\le 5$$
$$2y\le 4\iff y\le 2$$
$$2x+4y\le 12\iff x+2y\le 6$$
Hàm lợi nhuận: $f(x,y)=3x+5y$ (triệu đồng).

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $O(0;0)$, $A(5;0)$, $B(4;1)$ — giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ (trừ hai phương trình được $y=1$, suy ra $x=4$), và $C(0;2)$.

Tính $f$ tại các đỉnh:
- $f(0;0)=0$
- $f(5;0)=15$
- $f(4;1)=3\cdot 4+5\cdot 1=17$
- $f(0;2)=10$

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $17$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $4$ kg sản phẩm P và $1$ kg sản phẩm Q. Kiểm tra lại ràng buộc: nguyên liệu A dùng $2\cdot 4+2\cdot 1=10\le 10$; nguyên liệu B dùng $2\cdot 1=2\le 4$; nguyên liệu C dùng $2\cdot 4+4\cdot 1=12\le 12$ — đều thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (kg thịt bò), $y$ (kg thịt lợn), $0\le x\le 1,5$, $0\le y\le 1$. Ràng buộc dinh dưỡng: $800x+600y\ge 900\iff 8x+6y\ge 9$ và $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$. Hàm mục tiêu: $P=200x+100y$ (nghìn đồng), cần nhỏ nhất.

Miền ràng buộc có các đỉnh:
- Giao hai đường thẳng: $8x+6y=9$, $x+2y=2$. Thay $x=2-2y$: $16-16y+6y=9\Rightarrow y=0,7$, $x=0,6$. Điểm $(0,6;0,7)$, $P=120+70=190$.
- Với $x=1,5$: từ $x+2y\ge 2$ được $y\ge 0,25$; đỉnh $(1,5;0,25)$, $P=300+25=325$.
- Với $y=1$: từ $8x+6\ge 9$ được $x\ge 0,375$; đỉnh $(0,375;1)$, $P=75+100=175$.

So sánh: $P$ nhỏ nhất bằng $175$ nghìn đồng tại $x=0,375$ kg, $y=1$ kg (kiểm tra: protein $=800\cdot 0,375+600=900$ ✓, lipit $=75+400=475\ge 400$ ✓).

Vậy gia đình nên mua $0,375$ kg thịt bò và $1$ kg thịt lợn, số tiền ít nhất là $175$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoại trội cần sản xuất. Ràng buộc: $2x+y\le 6$ (nguyên liệu A), $x+2y\le 8$ (nguyên liệu B), $0\le x\le 2$, $x\le y+1$, $x,y\ge 0$. Doanh thu $F(x,y)=60x+30y$ (triệu đồng).

b) Đúng: $x,y$ là số tấn sơn sản xuất nên $x\ge 0,y\ge 0$.

d) Đúng: sơn nội thất 60 triệu/tấn, sơn ngoại trội 30 triệu/tấn nên $F(x,y)=60x+30y$ (triệu đồng).

c) Sai: miền ràng buộc có các đỉnh $(0;0),(2;0),(2;2),\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right),(0;4)$. Lưu ý trên đường $x=2$, điều kiện $2x+y\le 6$ cho $y\le 2$ nên điểm $(2;3)$ không khả thi. Tính $F$: $F(2;2)=180$, $F\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right)=180$, $F(0;4)=120$, $F(2;0)=120$. Vậy doanh thu lớn nhất là $180$ triệu đồng, không phải $200$ triệu đồng → sai.

a) Đúng: thêm điều kiện $x+y\le 4,5$. Xét các đỉnh của miền mới: giao $x+y=4,5$ với $2x+y=6$ cho $(1,5;3)$, $F=180$; giao $x+y=4,5$ với $x+2y=8$ cho $(1;3,5)$, $F=165$; đỉnh $(2;2)$, $F=180$; $(0;4)$, $F=120$. Doanh thu lớn nhất $180$ triệu đồng đạt tại $(2;2)$ và $(1,5;3)$; trong các phương án tối ưu, lượng sơn nội thất nhỏ nhất là $1,5$ tấn → đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2: Đ Đ S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thêm điều kiện $x+y\le 4,5$: các đỉnh mới gồm $(1,5;3)$ (giao với $2x+y=6$) và $(2;2)$ đều cho $F=180$ triệu đồng; điểm $(1;3,5)$ cho $F=165$. Vậy trong các phương án tối ưu, $x$ nhỏ nhất là $1,5$ tấn → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$x,y$ là số tấn sơn sản xuất nên $x\ge 0,y\ge 0$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Miền ràng buộc có các đỉnh $(0;0),(2;0),(2;2),\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right),(0;4)$ (trên $x=2$ thì $2x+y\le 6$ cho $y\le 2$ nên $(2;3)$ không khả thi). $F(2;2)=180$, $F\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right)=180$, $F(0;4)=120$, $F(2;0)=120$. Doanh thu lớn nhất là $180$ triệu đồng, không phải $200$ triệu đồng → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$F(x,y)=60x+30y$ (triệu đồng) → đúng.