Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x-1}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-2{)}^2}<0$ (nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến trên $\mathbb{R}$).
- B: $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$, nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=x^3+x$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
- D: $y=\frac{x+1}{x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+3{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-3$, nên không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(1-x{)}^2(x+1{)}^3(3-x)$. Vì $(1-x{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+1{)}^3(3-x)$ quyết định. Xét $(x+1{)}^3(3-x)>0\iff x>-1$ và $x<3$, tức $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;3)$. Trong các đáp án, khoảng $(1;3)$ nằm trong $(-1;3)$ nên hàm số đồng biến trên $(1;3)$. Các khoảng $(-\infty ;1)$, $(-\infty ;-1)$, $(3;+\infty )$ đều chứa điểm với $f^{\prime }(x)<0$ (ví dụ $x=-2$ hoặc $x=4$) nên không đồng biến. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x=\frac{250-p}{0,01p}=\frac{250}{0,01p}-100=\frac{25000}{p}-100$ với $0<p<250$. Đạo hàm $x^{\prime }(p)=-\frac{25000}{p^2}<0$ trên $(0;250)$, nên $x$ là hàm số nghịch biến theo $p$. Vậy khi giá bán tăng thì số lượng sản phẩm bán ra luôn giảm. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $p=\frac{354}{1+0,01x}$ ta giải theo $x$: $1+0,01x=\frac{354}{p}\Rightarrow x=\frac{354-p}{0,01p}=\frac{35400}{p}-354$. Đạo hàm $x^{\prime }(p)=-\frac{35400}{p^2}<0$ với mọi $p>0$, nên khi giá bán $p$ tăng thì số lượng sản phẩm bán được $x$ giảm đi. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-2;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ là khoảng nghịch biến. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=f(3-x)$ nên $y^{\prime }=-f^{\prime }(3-x)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff f^{\prime }(3-x)>0$. Theo bảng biến thiên, $f^{\prime }(t)>0$ khi $t\in (-1;1)$. Do đó $-1<3-x<1\iff 2<x<4$, tức hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;4)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$, tức hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ (đáp án D) nằm hoàn toàn trong miền nghịch biến. Đáp án A $(-1;1)$ sai vì hàm không nghịch biến trên toàn khoảng này (đứt tại $x=0$ và đổi chiều biến thiên); B $(4;+\infty )$ và C $(-\infty ;2)$ không phải miền nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3^x-9$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow 3^x=9\Rightarrow x=2$. Với $x<2$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>2$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $y(2)=\frac{9}{\ln 3}-18+17=\frac{9}{\ln 3}-1$. Xét các mệnh đề: A đúng vì hàm nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;0)$; B sai vì trên $(0;+\infty )$ hàm nghịch biến trên $(0;2)$ rồi mới đồng biến trên $(2;+\infty )$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(0;+\infty )$; C đúng; D đúng. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=\sqrt{x^2-6x+5}$ xác định khi $x^2-6x+5\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 5$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+5}}$. Với $x\ge 5$ thì $x-3>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, do đó hàm đồng biến trên $(5;+\infty )$, suy ra đồng biến trên $(6;+\infty )$ (khoảng con của $(5;+\infty )$). Với $x\le 1$ thì $x-3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$. Vậy A đúng; B sai vì $(2;5)$ không thuộc tập xác định; C sai vì hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$; D sai vì hàm đồng biến trên $(6;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x\ln x$ xác định trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=\ln x+1$. $y^{\prime }=0\iff x=e^{-1}=\frac{1}{e}$. Với $x\in (0;\frac{1}{e})$ thì $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;\frac{1}{e})$; với $x\in (\frac{1}{e};+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $(\frac{1}{e};+\infty )$. Do đó: A sai (hàm không đồng biến trên toàn $(0;+\infty )$); B sai (hàm nghịch biến trên $(0;\frac{1}{e})$, không phải $(0;1)$); C sai; D đúng vì $(1;+\infty )\subset (\frac{1}{e};+\infty )$ nên hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc bốn có cực tiểu tại $x=-1$ (giá trị $-3$), cực đại tại $x=0$ (giá trị $2$), cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $-1$). a) Sai: trên khoảng $(-1;0)$ hàm nghịch biến nên $f(x)$ không đồng biến trên toàn khoảng $(-3;2)$. b) Đúng: $y=f(x+2)$ đồng biến khi $x+2$ thuộc khoảng đồng biến của $f$, tức $x+2\in (1;+\infty )\iff x\in (-1;+\infty )$. c) Sai: hàm bậc bốn có ba điểm cực trị $x=-1,0,1$. d) Đúng: trên đoạn $[-1;1]$, so sánh $f(-1)=-3$, $f(0)=2$, $f(1)=-1$ nên giá trị lớn nhất bằng $2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-1;0)$ hàm số nghịch biến (đi từ cực tiểu $x=-1$ lên cực đại $x=0$ là tăng, nhưng giữa $-1$ và $0$... thực tế đồ thị đi lên từ $x=-1$ đến $x=0$), tuy nhiên trên khoảng $(-3;-1)$ hàm nghịch biến, nên $f(x)$ không đồng biến trên toàn khoảng $(-3;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$, nên $f(x+2)$ đồng biến khi $x+2>1$, tức $x\in (-1;+\infty )$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có ba điểm cực trị: cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=1$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$: $f(-1)=-3$, $f(0)=2$, $f(1)=-1$, nên $\max f=2$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
f(x)=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1), f'(x)=-2/(x-1)^2<0 với mọi x≠1. a) Đúng. b) Đúng vì f'<0 trên (-∞;1). c) Sai: hàm nghịch biến trên từng khoảng (-∞;1) và (1;+∞) nhưng không nghịch biến trên tập hợp ℝ\{1} (ví dụ f(0)=-1 < f(2)=3, vi phạm tính nghịch biến). d) Đúng vì f'(x)≠0 với mọi x trong tập xác định nên hàm không có cực trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=1+2/(x-1) nên f'(x)=-2/(x-1)^2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;1), f'(x)=-2/(x-1)^2<0 nên hàm nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ nghịch biến trên từng khoảng (-∞;1) và (1;+∞); trên ℝ\{1} không nghịch biến vì f(0)=-1<f(2)=3.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=-2/(x-1)^2≠0 trên tập xác định nên hàm không có cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ là parabol hướng lên cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=3$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên hai khoảng đó; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;3)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này. Vậy khẳng định đúng là B. Kiểm tra các phương án: A sai vì trên $(1;3)$ có $f^{\prime }<0$; C sai vì trên $(-1;1)$ có $f^{\prime }<0$ nhưng trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }>0$; D sai vì trên $(-1;3)$ hàm nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí $T(x)=50000+5x$ nên $M(x)=\frac{T(x)}{x}=5+\frac{50000}{x}$, xác định trên $\mathcal{D}=[1;+\infty )$ → a đúng. $M^{\prime }(x)=-\frac{50000}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$ nên hàm nghịch biến trên $[1;+\infty )$ → b sai. Vì nghịch biến nên $M$ đạt GTLN tại $x=1$: $M(1)=5+50000=50005$ USD → c đúng. Khi $x\to +\infty$, $\frac{50000}{x}\to 0$ nên $M(x)\to 5$, tức chi phí trung bình xấp xỉ 5 USD/sản phẩm → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(x)=50000+5x$ nên $M(x)=5+\frac{50000}{x}$ với $x\ge 1$, tập xác định $\mathcal{D}=[1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M^{\prime }(x)=-\frac{50000}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$, nên $M(x)$ nghịch biến (không đồng biến) trên $[1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$ nên GTLN đạt tại $x=1$: $M(1)=5+50000=50005$ USD.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }M(x)={\lim }_{x\to +\infty }\left(5+\frac{50000}{x}\right)=5$, nên khi $x$ đủ lớn chi phí trung bình xấp xỉ 5 USD/sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có cực đại tại $x=-1$ (giá trị $3$) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $-1$). Hàm bậc ba với $a>0$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(-1;1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x+4}{x-1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không xác định trên toàn $\mathbb{R}$, loại.
- B: $y=-x^3-2x-3$ có $y^{\prime }=-3x^2-2<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=-x^3-3x^2+3$ có $y^{\prime }=-3x^2-6x=-3x(x+2)$ đổi dấu, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$, loại.
- D: $y=-x^4-2x^2+3$ có $y^{\prime }=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$, loại.
Vậy hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là hàm ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x\in (-2;0)$ hoặc $x\in (2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(-2;0)$ xuất hiện, nên chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$; $y^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$, đồng thời nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$. Do đó A, B, D sai (A: $(-1;3)$ chứa khoảng đồng biến $(-1;1)$; B: $(-\infty ;1)$ chứa $(-1;1)$ đồng biến; D: $(-1;+\infty )$ chứa $(-1;1)$ đồng biến). Chỉ có C đúng.